Вариация энергии деформации

Уравнение (8) описывает любую упругую нелинейность, но предполагает независимость от пути интегрирования для кривых нагрузка — деформация. Для бесконечно малого приращения трещины второй член в уравнении (8) также бесконечно мал и может быть отброшен. Таким образом, при отсутствии внутренних напряжений в твердом теле выражение для вариации энергия деформации упрощается [c.217]

Вариация энергии деформации,- соответствующая произвольной вариации прогиба 6mi,, [c.65]

Подсчитаем вариацию энергии деформации оболочки. Для оболочки, рассматриваемой как трехмерное тело, имеем [c.296]

Вариация энергии деформации, согласно (2.14), [c.35]

Из уравнений (3.3), (3.4) вытекает, что виртуальная работа внешних сил и сил инерции равна вариации энергии деформации. Нужно отметить, что в случае смешанных граничных условий поверхностный интеграл, входяш ий в вариационные уравнения, берется только по той части поверхности За-, где заданы напряжения. [c.121]

Отсюда заключаем, что статически возможная вариация существующего в упругом теле, при данных силах и граничных условиях, напряжённого состояния производится без изменения внешних поверхностных сил, если вариация энергии деформации равна нулю, а сама энергия деформации упругого тела принимает минимальное значение. [c.322]

Вариация энергии деформации растяжения и сдвига срединной поверхности, энергии деформации изгиба и кручения, а также внешних сил на возможных перемещениях запишется в виде [c.109]

Принцип виртуальной работы характеризуется вариацией энергии деформации и потенциала прикладываемых нагрузок. Если рассмотреть варьируемые величины и V, то можно установить ряд полезных свойств, которыми они обладают. Это рассмотрение показывает, что задача анализа конструкций, основанная на подсчете вариации суммы 7+У, относится к хорошо разработанной области математики, известной как вариационное исчисление [6.1—6.4]. Ряд важных результатов в этом разделе математики можно непосредственно применить к задачам конечно-элементного анализа конструкций. [c.160]

Первый член в-этом уравнении соответствует вариации энергии деформации V конструкции, а второй — вариации потенциальной энергии внешней нагрузки ). Тогда вместо уравнения (2.28) имеем [c.37]

Здесь в правой части равенства второе слагаемое представляет собой первую вариацию удельной потенциальной энергии деформации, которая с учетом (3.23) равна [c.100]

Как отмечалось, Гриффитс предложил для решения поставленной задачи энергетическую формулировку критерия разрушения на основе закона сохранения энергии трещина начнет распространяться, когда приращение поверхностной энергии (при вариации длины трещины 6Z > 0) компенсируется соответствующим выделением потенциальной энергии деформации (при отсутствии других видов энергии) [c.33]

В принципе возможных перемещений работа внешних сил ЬА возникает на вариации перемещений Ьи. Этой работы нет при отсутствии вариации перемещений, как нет и просто работы А. В принципе возможных перемещений отклоненное состояние не есть состояние равновесия, так как при вариации только перемещений (нри постоянных силах) новые перемещения не находятся в согласии с силами на основании линейной связи по Гуку. Тем не менее, для отклоненного состояния потенциальная энергия деформации записывается по той же формуле, что и для состояния равновесия, с тем, однако, условием, чтобы эта запись производилась через внутренние усилия и перемещения (поскольку переход от внутренних факторов к поверхностным требует соблюдения линейной связи между перемещениями и усилиями, или, иначе, такой переход справедлив, если перемещения вызваны приложенными силами). [c.53]

Полная потенциальная энергия деформации выражается через перемещения и их производные. Методы, основанные на начале возможных перемещений, часто называют методами, вариации перемещений. [c.323]

Вариацию обратимой энергии деформации при виртуальном росте трещины (1А можно представить в виде [c.216]

Вариацию потенциальной энергии деформации оболочки и виртуальную работу внешних сил можно представить в виде [см. [c.334]

Вариация потенциальной энергии деформации [c.123]

Другими словами, в линейных задачах теории упругости вторая вариация полной потенциальной энергии выражается той же положительно определенной квадратичной формой (3.17), что и удельная потенциальная энергия деформации. Следовательно, б"5 > О, и всякое положение равновесия упругой линейной системы устойчиво, поскольку полная потенциальная энергия имеет минимальное значение. [c.78]

Удельная энергия деформации. Среды Генки. Основываясь на равенствах (2.2.5) и (2.3.5), введем в рассмотрение функцию инвариантов деформации Л ( б , Г), вариация которой определяется равенством [c.109]

Учет температурных слагаемых. Свободная энергия. Отбросим предположение, что процесс деформирования происходит изотермически или адиабатически. Тогда отпадает возможность отождествления удельной элементарной работы внешних сил с вариацией удельной потенциальной энергии деформации само это понятие приходится отбросить. Его роль отходит к одному из термодинамических потенциалов — или к свободной энергии, или к потенциалу Гиббса (п. 3.5). [c.118]

Стационарность потенциальной энергии системы. Элементарная работа внешних сил Ь а е) может быть отождествлена с вариацией потенциальной энергии деформации 6а, равной вариации свободной энергии в изотермическом процессе и внутренней энергии в адиабатическом ) [c.148]

В формуле (2.1.1) содержится утверждение, что работа внешних массовых и поверхностных сил на виртуальном перемещении б точек упругого тела из положения равновесия, определяемого вектором и, равна вариации потенциальной энергии деформации. При этом на той части G>i поверхности О, на которой заданы перемещения, следует принять Ьи = О, так что [c.149]

Вариация потенциальной энергии деформации записывается в виде [c.438]

Итак, в том и другом процессах может быть введена в рассмотрение величина, называемая удельной потенциальной энергией деформации. Эта величина, обозначаемая А, зависит от компонент тензора деформации, а ее вариация равна [c.631]

Метод Ритца был применен также и в сочетании с принципом наименьшей работы ). При этом установлено, что если дано тело с действующими на него поверхностными силами и рассматриваются такие изменения компонент напряжения, что это не отражается ни на уравнениях равновесия, ни на краевых условиях, то истинными значениями этих компонент напряжения будут те, при которых вариация энергии деформации обращается в нуль. Например, в двумерной задаче с функцией напряжения <р энергия деформации выразится двойным интегралом [c.479]

Для иллюстрации сказанного рассмотрим защемленный на одном конце однородный брус, растягиваемый силой Р, приложенной к другому его концу. Перемещение конца бруса в состоянии равновесия и = PL/iEF). В отклоненном состоянии перемещение и + Ьи = PL/iEF) + Ьи, и это состояние не есть состояние равновесия, так как этому новому перемещению не соответствует по закону Гука сохранившаяся прежней сила Р. Работа силы Р на вариации перемещения равна 6А = Рби. Потенциальная энергия деформации равна 6W = [ ffj Se dF, где [c.47]

Под знаком тройного интеграла здесь стоит вариация плотности дополнительной энергии деформации t/ - На рис. 3.9, а это показано для случая одноосного напряженного состояния и нелинейно-упругого материала. Произведение ебст = 6t/o , где = СТЕ — t/o, выражается площадью диаграммы деформирования материала, заштрихованной на рис. 3.9, а, б. В общем случае [c.62]

Для определения приращения удельной потенциальной энергии деформации функцию й (8 у+(бе,Д где 6еи= (1/2) (6ui,y + 6uj,i) — вариации компонент тензора деформации, соответствующие вариаци-"ям бы , разложим в ряд Тейлора [c.99]

Заметим, что в уравнении (9.471) первое слагаемое представляет собой вариацию потенциальной энергии деформации, а второе — ва-жацию работы внешних сил при варьировании узловых перемещений. 1оскольку при этом внешние силы и напряжения не варьируются, уравнение (9.471) можно записать так [c.335]

Равенство 28W° = б ° будет справедливо при одновременной вариации силы и перемещения, связанных между собой законом Гука. Действительно, в данном примере работа сплы па полном перемещении А ° = Ри. Энергия деформации на полных перемещениях, согласно теореме Клапейрона W° = /гРи, т. е. 2W° =А°. Работа силы па вариации перемещения равна 8А° = Р8и + и8Р = = 2РЬи (так как Р — ки и 8Р = к8и). Для энергии деформации на вариации перемещения получим [c.54]

При изменении длины трещины на величину б/ вариация полной энергии содержит два слагаемых, и бЛв2- Первое из них — это изменение (уменьшение) потенциальной энергии деформации, происходящее вследствие того, что в окрестности трещины при увеличении ее размера напряжения снижаются. При этом область концентрации напряжений перемещается в новые вершины трещины. В остальной же части тела напряжения практически не изменяются. Второе слагаемое бЛвх представляет собой изменение (увеличение) поверхностной энергии, происходящее вследствие изменения на величину 2Ы суммарной поверхности (точнее, длины, поскольку задача плоская) берегов трещины. Равенство нулю вариации полной энергии системы выразится так ) [c.576]

В выражении (10) работа внешних сил и потенциальная энергия деформации не связаны теоремой Клапейрона (из-за релаксации напряжений с ростом трещины). Формально можно bW представить в виде суммы bW=bA +biW, где 6aW — вариация потенциальной энергии деформаций, вызванная работой внешних сил 26aW=8A, 8[W — вариация потенциальной энергии, вызванная вариацией длины трещины. Тогда условие (10) примет вид [c.27]

В принципе минимума дополнительной работы приравнивается нулю выражение разности вариаций потенциальной энергии деформации, выраженной через напряжения, и работы вариаций поверхностных сил J ubfj + vbfy + wbf do. [c.437]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...