Метод обобщенной потенциальной энергии

Гибридные методы перемещений и метод обобщенной потенциальной энергии [c.178]

Подход, основанный на обобщенной потенциальной энергии, можно пояснить, по-иному интерпретируя выражение (6.60а). Рассмотрим вычисление энергии деформации и и поверхностных интегралов как не связанные друг с другом операции. Взятая отдельно, энергия деформаций зависит от перемещений внутри элемента А. В этом частном виде метода обобщенной потенциальной энергии [6.6— [c.185]

Альтернативным к описанному выше подходу, основанному на методе обобщенной потенциальной энергии, является подход [6.9, 6.101, в котором основные матрицы жесткости элементов [ко] определяются численно и суммируются, образуя глобальную матрицу жесткости без какой-либо корректировки соотношений, отражающих разрывность перемещений для отдельных элементов. Далее в виде ограничений выписываются соотношения, отражающие выполнение в среднем условий межэлементной непрерывности, и эти ограничения при помощи метода множителей Лагранжа добавляются к глобальным уравнениям. Так как этот подход правильнее отнести к процедуре анализа конструкции в целом, возвратимся к нему снова в гл. 7. [c.186]

Так как идеи построения элементов с помощью гибридных методов и метода обобщенной потенциальной энергии иллюстрировались на простых примерах, то приведенные построения не обладают общностью. Это отчетливо видно из замечаний относительно построения некоторых полей перемещений и граничных усилий (см. текст, следующий за (6.56)). Однако в главах, касающихся расчета плоского напряженного состояния и изгиба конструкций, мы вновь [c.186]

Метод обобщенной потенциальной энергии [c.215]

Альтернативой к формулировкам на базе принципов минимума потенциальной и дополнительной энергии с непрерывными и разрывными полями на границе соседних элементов служат подходы, вытекающие из принципов минимума обобщенной потенциальной и дополнительной энергии, применение гибридных подходов и функционала со многими полями. Метод, опирающийся на принцип минимума обобщенной потенциальной энергии, используемый при построении соотношений для отдельного элемента, дает корректирующую матрицу жесткости элемента. В гл. 7 показано, что уравнения, соответствующие этой матрице, можно использовать и в глобальном конечно-элементном представлении, полученном на базе принципа минимума потенциальной энергии с разрывными вдоль границ элементов полями перемещений. [c.199]

Для того,чтобы воспользоваться этими методами,нужно составить выражения для кинетической энергии Т системы, ее потенциальной энергии U и виртуальной работы SW, воздействующих на систему неконсервативных сил. Величина U зависит от обобщенных координат системы, а величина Т - от координат и обобщенных скоростей. [c.74]

Из сказанного выше видно, что основная идея С. А. Чаплыгина получения уравнений движения неголономных систем заключается в отказе от метода множителей Лагранжа и применении непосредственного исключения зависимых обобщенных скоростей. Ограничения, наложенные С. А. Чаплыгиным на уравнения связей, кинетическую и потенциальную энергии, легко устранимы. Это, собственно, и было выполнено П. Аппелем, а затем Больцманом и Гамелем. [c.164]

В заключение следует отметить, что для определения /-интеграла вместо метода конечных элементов, связанного с установлением обобщенного уравнения ползучести, или вместо экспериментального определения потенциальной энергии U на основе уравнения (5.53) можно применить простой приближенный метод, описываемый в следующем разделе (метод податливости [84]). [c.192]

Название соответствующего раздела в первой из работ Лагранжа вполне характеризует суть дела Общий метод для определения движения любой системы тел, действующих друг на друга, в предположений, что эти тела совершают только бесконечно малые колебания около их положений равновесия ( тела и здесь, конечно,— материальные точки). Как это до сих пор излагается в курсах теоретической механики, Лагранж показывает, что живая сила системы Т, с точностью до величины высшего порядка малости, является квадратичной формой первых производных от обобщенных координат, а. потенциальная энергия V — квадратичной формой самих координат (коэффициенты в Г и F —постоянные) и составляет уравнения движения вида [c.265]

В этом примере кинематический метод определения коэффициента с значительно более эффективен, чем обычный способ построения выражения для потенциальной энергии с последующим разложением в ряд по степеням обобщенной координаты. [c.111]

Таким образом, в данном случае указанный выше метод нахождения обобщенных сил можно упростить если система голономна, а все заданные силы потенциальны, то обобщенная сила Qi, соответствующая обобщенной координате дг, равна взятой с обратным знаком частной производной потенциальной энергии по этой координате. Эта формула является естественным обобщением формулы [c.376]

Идея обобщения энергетических методов связана с обобщением утверждения, которое лежит в основе доказательства энергетических теорем потенциальная энергия системы (дополнительная работа), подсчитанная для упругого состояния, представляющего собой разность допустимого и истинного состояний, должна быть положительна. На языке функционального анализа это означает, что соответствующим образом определенное (в энергетической норме) расстояние между пробной функцией, отвечающей допустимому состоянию, и решением должно быть положительно. Соответственно отыскание среди множества кинематически (статически) допустимых пробных функций такой, для которой это расстояния равно нулю, означает, что найдено решение, доставляющее минимум функционалу потенциальной энергии системы (дополнительной работы). [c.97]

При исследовании движения механических систем методом канонических уравнений Гамильтона полезно придерживаться следующего порядка вычислений. Как и в методе уравнений Лагранжа 2-го рода, прежде всего устанавливаем число степеней свободы рассматриваемой механической системы точек. Затем выбираем независимые обобщенные координаты и составляем выражения для кинетической и потенциальной энергии в функции обобщенных координат и обобщенных скоростей. Составив функцию L = T+U T—V, по формулам (62) находим обобщенные импульсы pi, р2,. .Ps. Разрешая полученную систему линейных уравнений относительно обобщенных скоростей, мы можем по формуле (64) найти И в функции канонических переменных qu 2,. , qs, pu р2,. .., Ps H времени t Зная функцию H = H qu Ръ Ps, 0. можно написать канонические уравнения (67) и затем интегрировать полученную систему уравнений. [c.515]

Применение методов аналитической механики к решению нетривиальных задач требует уже при составлении уравнений подробных сведений по вопросам, на которых, как правило, останавливаются весьма кратко. В связи с этим в книге значительное внимание уделено способам введения обобщенных координат, теории конечных поворотов, методам вычисления кинетической энергии и энергии ускорений, потенциальной энергии сил различной природы, рассмотрению сил сопротивления. После этих вводных глав, имеющих в известной степени и самостоятельное значение, рассмотрены методы составления дифференциальных уравнений движения голономных и неголономных систем в различных формах, причем обсуждаются вопросы их взаимной связи подробно рассмотрены вопросы определения реакций связей и некоторые задачи аналитической статики. Мы считали полезным привести геометрическое рассмотрение движения материальной системы, как движение изображающей точки в римановом пространстве этот материал нашел, далее, применение в задачах теории возмущений. Специальная глава отведена динамике относительного движения, к которому приводятся многочисленные прикладные задачи. Далее рассмотрены канонические уравнения, канонические преобразования и вопросы интегрирования. Значительное место уделено теории возмущений и ее разнообразным применениям. Последняя глава посвящена принципу Гамильтона—Остроградского, принципу наименьшего действия Лагранжа и теории возмущений траекторий. [c.9]

Книга содержит систематическое изложение теоретической механики и основ механики сплошных сред. Большое внимание уделено фундаментальным понятиям и законам механики Ньютона — Галилея, законам изменения и сохранения импульса, кинетического момента и энергии, уравнениям Лагранжа, Гамильтона и Гамильтона — Якоби для класса обобщенно-потенциальных сил, а также законам механики сплошных сред, на единой основе которых рассматриваются идеальная и вязкая жидкости, упругое тело. В книге подробно излагаются-, задача двух тел и классическая теория рассеяния, законы изменения импульса, кинетического момента и энергии относительно неинерциальных систем отсчета, теория линейных колебаний систем под действием потенциальных, гироскопических и диссипативных сил, метод Крылова — Боголюбова для слабо нелинейных систем, методы усреднения уравнений движения. Книга содержит большое количество примеров интересных для физиков, в частности рассматриваются примеры на движения зарядов в заданных электромагнитных полях, задачи на рассеяние частиц, колебания молекул, нелинейные колебания, колебания систем с медленно меняющимися параметрами, примеры из магнитогидродинамики. Книга рассчитана на студентов и аспирантов физических специальностей. [c.2]

Метод фиктивной нулевой обобщенной силы. Выражение, определяющее количество потенциальной энергии упругой деформации [c.241]

Метод фиктивной нулевой обобщенной силы. Выражение, определяющее количество потенциальной энергии упругой деформации и, накопленной телом или системой при статическом действии еил,, можно представить в виде однородной функции второго порядка от обобщенных сил Р,- либо от обобщенных перемещений 6 , если между последними существует линейная зависимость. [c.195]

Несмотря на простоту и наглядность индуктивного метода, предпочтение все-таки следует отдать второму способу построения классической механики. Преимущество вариационной концепции заключается прежде всего в ее независимости от конкретного выбора системы обобщенных координат и, следовательно, от выбора системы отсчета напротив, беря за основу построения механики уравнения движения Ньютона, мы ограничиваем себя использованием только инерциальных систем отсчета. Действительно, в формулировке принципа Гамильтона — Остроградского фигурируют только такие физические величины (кинетическая и потенциальная энергия), которые не связаны с какой-либо частной системой обобщенных координат. Поэтому указанный принцип оказывается инвариантным относительно любого точечного преобразования координат (28.17), в том числе и относительно точечного преобразования, связанного с переходом от инерциальной системы отсчета к любой неинерциальной системе координат. [c.186]

Одномерную задачу в этом предельном случае можно решить точно [29]. Метод решения кажется довольно сложным, но по существу он есть не что иное как искусное обобщение метода Дайсона — Шмидта (см. 8.5), указывающего нам строгую процедуру расчета плотности состояний любой одномерной системы. Применимость этого подхода основана на том, что когда электрон последовательно встречает на своем пути б-образные сингулярности потенциальной энергии, совокупность этих событий можно рассматривать как марковский процесс. Поэтому фазовую переменную , [c.575]

Метод Релея. Метод Релея, являющийся обобщением энергетического метода, может быть применен для определения первой критической скорости многодисковых роторов, валы которых имеют переменное сечение. Подробно метод Релея рассмотрен в первом томе [33], здесь мы лишь кратко напомним сущность его. Вначале задаемся формой упругой кривой при первом (основном) виде колебания. После этого вычисляем наибольшие значения потенциальной и кинетической энергий системы, которые затем приравниваем друг к другу и из полученного таким образом уравнения определяем приближенное значение первой критической скорости. [c.78]

В гибридных методах используются не только обобщенные формулировки известных энергетических принципов, но и представление характеристик элемента с помощью нескольких полей. Например, внутри элемента задается один вид поля перемещений и (или) напряжений, на границе элемента задается независимо в другой форме поле напряжений и (или) перемещений. Все поля, за исключением одного, задаются в терминах обобщенных параметров. Последнее поле выражается в терминах физических степеней свободы. Соответствующее энергетическое выражение (модификация потенциальной и дополнительной энергии) записывается вначале в терминах обоих классов параметров и требуется выполнение условий стационарности для набора обобщенных параметров. В результате приходим к системе уравнений для обобщенных параметров, выраженных в терминах физических степеней свободы. Эти соотношения используются для исключения обобщенных параметров из выражения для энергии. Получающееся в результате выражение для энергии содержит в этом случае искомую матрицу жесткости или податливости в обычной форме. [c.199]

В этом рассуждении, однако, не учитывается роль взаимного влияния соседних минимумов Т (К). Одновременно с сужением долин потенциального рельефа становятся тоньше и разделяющие их гребни (рис. 13.10). В этих условиях может все еще оказаться возможным построить локализованную волновую функцию, отвечающую отрицательной энергии, допустив, что она охватывает много таких ям и горбов. Эта фундаментальная идея [20, 26, 27, 9.84] есть просто обобщение представлений, развитых в методе Лифшица для хвостов плотности состояний в сплавах замещения [см. формулу (9.83)], и ее можно просто сформулировать с помощью феноменологических понятий. [c.573]

Предлагаемые гибридные методы перемещений и метод обобщенной потенциальной энергии являются альтернативами методов, использующих единственное аппроксимирующее поле и характеризующихся межэлементной согласованностью. Как гибридные методы, так и метод обобщенной потенциальной энергии базируются на применении нескольких полей, когда одно поле перемещений задано внутри элемента, другое поле перемещений или напряжений определено независимым образом на границах элемента. В гибридном методе уравнения для элемента выводятся в результате исключения обобщенных параметров, а в методе обобщенной потенциальной энергии подправляются несоответствия в перемещениях вдоль границ элементов, образовавшиеся в результате использования полей, характеризующихся межэлементной несогласованностью. [c.178]

Пример 51. Для обобщенных коордннат qi = X, 172 == ц, в примере 41 ( 5.2) кинетическая и потенциальная энергии имеют вид, соответствующий выражениям (6.47). Поэтому можно применить метод разделения переменных. [c.169]

Второй метод является обобщением известного способа доказательства теоремы Лагранжа — Дирихле об устойчивости равновесия при условии существования минимума потенциальной энергии в положении равновесия. [c.332]

Лагранж (1736—1813). Достижения Лагранжа, этого величайшего математика XVIII века, во многих отношениях параллельны работам Эйлера. Лагранж вполне независимо от Эйлера получил решение изопериметрических задач, сделав это совершенно новыми методами. Он разработал для этой цели новое, вариационное исчисление. Он также понял преимущество вариационных принципов в связи с той свободой, которую мы получаем, описывая положение механической системы при помощи выбираемой по нашему усмотре-ншо совокупности параметров ( обобщенные координаты ). Если принцип виртуальных перемещений и принцип Далам-бера позволили рассматривать механическую систему как нечто целое, не разбивая ее на изолированные частицы, то уравнения Лагранжа добавили еще одно, чрезвычайно важное свойство — инвариантность относительно произвольных преобразований координат Это позволило выбирать системы координат, удобные для данной конкретной задачи. В своей Аналитической механике (1788) Лагранж создал новое, необычайно мощное оружие для решения любых механических задач при помощи чистых вычислений, без каких бы то ни было физических или геометрических соображений, при условии, что кинетическая и потенциальная энергии заданы в абстрактной аналитической форме. Относясь к этому выдающемуся результату со своей обычной скромностью. Лагранж писал в предисловии к своей книге Читатель не найдет в этой книге рисунков. Развитые мною методы не требуют ни каких бы то ни было построений, ни геометрических или механических аргументов — одни только алгебраические операции в соответствии с последовательными едиными правилами . Лагранж таким образом создал программу и основания аналитической механики. [c.390]

Методы составления дифференциальных уравнений колебаний упругих систем. Они изложены В разделе 1 данного тома. При выводе уравнений динамики надо согласно принципу Даламбера к действующим силам добавить распределенные силы инерции. В случаях, когда упругая система взаимодействует с упругоподве-шенными сосредоточенными массами, целесообразно применять метод уравнений Лагранжа II рода. С этой целью надо составить выражения для кинетической энергии системы, потенциальной энергии деформаций и выражения для обобщенных сил, затем с помощью уравнений Лагранжа II рода получить дифференциальные уравнения колебаний. Метод уравнений Лагранжа удобен для получения дифференциальных уравнений вынужденных колебаний, когда формы свободных колебаний известны. [c.330]

Из-за авторского предпочтения приближенные уравнения задачи теории упругости будут часто выводиться из принципа виртуальной работы, поскольку он остается справедливым независимо от соотношений напряжения — деформации и суш,ество-вания потенциальных функций. Приближенный метод решения, использующий принцип виртуальной работы, будет называться обобш.енным методом Галеркина ). Для консервативных задач теории упругости результаты, получаемые с помощью сочетания принципа виртуальной работы и обобщенного метода Галеркина, эквивалентны результатам, получаемым с помощью сочетания принципа стационарности потенциальной энергии и метода Ре-лея—Ритца. [c.21]

Итак, пусть сплошное тело мысленно разбито на конечные элементы, как указано в 13.3, и при формулировке метода конечных элементов рассматривается как совокупность этих элементов. В этом параграфе рассмотрим вариационные принципы, которые обычно используются в МКЭ. Для этого проследим в табл. 14.1 вывод вариационных принципов, начиная с принципа стационарности потенциальной энергии, последовательно выводя модифицированный принцип потенциальной энергии, модифицированный обобщенный принцип и кончая модифицированным принципом Хеллингера — Рейсснера. [c.363]

С математической точки зрения МКЭ представляет собой обобщение метода Рэлея—Ритца—Галеркина, обеспечивающего минимизацию функционала потенциальной энергии путем отыскания линейной комбинации пробных функций [c.8]

Мы не можем применить методы, использованные на предыдущих страницах, к микроканоническим средним (обобщенных) сил 2) .., с которыми система воздействует на внешние тела, так как эти величины не являются функциями ни кинетической, ни потенциальной энергии всей системы или какой-либо ее части. Мы люжем, однако, воспользоваться методом, описанным на стр. 120. [c.127]

Обычная процедура нахождения матриц жесткости для отдельных элементов, на которые разделена конструкция, основана на предположении, что перемещения можно представить в виде степенных рядов (по координатам). В этом случае деформации находятся путем дифференцирования, а матрица жесткости получается из условия равенства виртуальных работ для внутренних и внешних сил. Если используют принцип минимума полной потенциальной энергии, то приходят к известному методу перемещений. Другой известный метод — метод сил — основан на принципе минимума дополнительной энергии. В каждом из этих подходов могут возникать трудности, связанные с возможным появлением разрывов исследуемых величин в узловых точках. Нагрузка от распределенного по поверхности элемента давления должна быть сведена к сосредоточенным силам, приложенным в узлах при этом вычисление внутренней энергии элементов может быть сложным. Если с большой математической строгостью подойти к вопросам обобщения метода, проверки его основных положений, исследования сходимости и т. д., то его еще не сразу можно применить к расчетам реальных консг-рукций. [c.106]

Наиболее удобным и простым методом решения задач дина-иики для несвободных систем является метод Лагранжа, основанный на понятии обобщенных координат. Движение системы исследуется в обобщенной системе координат, т. е. в независимых один от другого параметрах, изменение которых в функции времени лолностью определяет движение системы. Число этих параметров равно числу степеней свободы системы и соответствует числу уравнений Лагранжа. Для получения дифференци- альных уравнений движения методом Лагранжа необходимо составить выражение для кинетической и потенциальной энергии системы в функции выбранных обобщенных координат. [c.110]

Рассмотрим произвольную консервативную систему с голономными п стационарными связями, имеющую одну степень свободы. Положение системы будем определять обобщенной координатой д, отсчит1>1ваемой от положения устойчивого равновесия. Предположим, что система отклонена на небольшую величину от положения равновесия и ей сообщена небольшая начальная скорость. Тогда вследствие устойчивости положения равновесия система будет совершать движение вблизи этого положения равновесия, т. е. обобщенная координата 7 и ее скорость ц будут все время малы по модулю. Это обстоятельство дает возможность применить приближенный метод исследования движения, основанный на том, что нелинейные в общем случае дифференциальные уравнения движения упрощаются и заменяются на приближенные. линейные уравнения. Для этого, очевидно, достаточно выражения для кинетической и потенциальной энергий разложить в ряды по степеням д к ц, сохранив в них члены не выше второго порядка малости. [c.464]

Если точка С лежит выше точки Со, то потенциальная энергия имеет в этом положении системы максимум, ее разложение в ряд Маклорена по степеням обобщенной координаты или абсциссы X начинается с членов второго порядка и по теореме Ляпунова равновесие неустойчиво. Если же точка С совпадает с точкой Со, т. е. лежит на круге перегибов, то указанное раз-ложение лачинается с членов не ниже третьего порядка в этом случае необходимо более детальное исследование — его можно проделать и геометрическими методами, но для этого нужны дополнительные сведения по кинематической геометрии ) по- [c.500]

В этом разделе изучаются два гибридных метода, основанных на рассмотрении функционала потенциальной энергии. В первом из них (гибрид I) поле перемещений внутри элемента выражается в терминах обобщенных перемещений, а поле напряжений на границе описывается независимо в терминах узловых сил. В результате получается матрица податливостп элемента. Второй метод (гибрид II) основывается на предложенной выше концепции в том смысле, что поле перемещений внутри элемента и граничные напряжения выражаются в терминах обобщенных параметров, а перемещения на границе независимо описываются с помощью узловых перемещений. Это приводит к матрице жесткости элемента. [c.178]

Идея представления конструкций в виде набора дискретных элементов восходит к раннему периоду исследования конструкций летательных аппаратов, когда, например, крылья и фюзеляжи рассматривались как совокупности стрингеров, обшивки и работающих на сдвиг панелей. Хренников [1941] ввел метод каркасов — предшественник общих дискретных методов строительной механики — и применил его, представляя плоское упругое тело в виде набора брусьев и балок. Топологические свойства некоторых типов дискретных систем изучались Кроном [1939] ), который разработал универсальные методы анализа сложных электрических цепей и строительных конструкций. Курант [1943] дал приближенное решение задачи кручения Сен-Венана, используя кусочнолинейное представление функции искажения в каждом из треугольных элементов, совокупностью которых заменялось поперечное сечение тела, и формулируя задачу с помощью принципа минимума потенциальной энергии. Пример применения Курантом метода Ритца содержит в себе все основные моменты процедуры, известной теперь как метод конечных элементов. Аналогичные идеи использовал позже Пойа [1952]. Метод гиперокружностей , предложенный в 1947 г. Прагером и Сингом [1947] и подробно исследованный Сингом [1957] ), легко может быть приспособлен для конечноэлементных применений он проливает новый свет на приближенные методы решения некоторых краевых задач математической физики. В 1954 г. Аргирис и его сотрудники ) начали публикацию серии работ, в которых они далеко развили некоторые обобщения линейной теории конструкций и представили методы [c.12]

Идея метода, развитого в этой главе, состоит в том, что в качестве собственного значения однородных задач, которые порождают систему собственных функций, берется диэлектрическая проницаемость. Дифрагированное поле представляется в виде ряда по этим собственным функциям. Собственное значение е есть диэлектрическая проницаемость вспомогательного тела, занимающего ту же область, что и тело, на котором происходит дифракция. Истинная диэлектрическая проницаемость не входит в однородную задачу. Поэтому, в частности, на собственных значениях никак не скажется комплексность нстинного е. Собственные значения вещественны, если в задаче нет других потерь, кроме диэлектрических. Если же, например, есть излучение, то метод сохраняется, дифрагированное поле по-прежнему представимо в виде ряда по собственным функциям, но собственные значения — комплексны. Знак мнимой части собственного значения положителен — это соответствует тому, что во вспомогательной однородной задаче тело является активным, в нем выделяется энергия, компенсирующая потери. Далее в этой главе приведены обобщения на случай дифракции на неоднородном теле и на векторные задачи, описываемые уравнениями Максвелла. В 7 весь этот аппарат применен к решению квантовомеханической задачи об упругом рассеянии на потенциальном поле. [c.24]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...