Уравнения колебаний. упругих тел

Во второй половине мемуара для анализа равновесия упругого тела (в той же молекулярной постановке) Навье применил принцип виртуальных перемещений и в результате получил еще раз те же уравнения равновесия, а также выражение граничных условий на поверхности тела, где задано распределение напряжений. В заключение он дал уравнения колебаний упругого тела, вредя соответствующие инерционные члены. [c.49]

Уравнения колебаний упругих тел 1) [c.111]

Все рассмотренные методы механики справедливы лишь для систем с конечным или счетным числом степеней свободы. Однако известны механические задачи, связанные с исследованием непрерывных систем, например задача о колебании упругого тела. Здесь мы имеем дело с непрерывной системой, каждая точка которой принимает участие в колебаниях. Поэтому движение этого тела может быть описано только посредством задания координат всех его точек как функций времени. Развитые нами ранее методы нетрудно модифицировать так, чтобы распространить их и на эти задачи. Наиболее прямой метод такого распространения состоит в аппроксимации непрерывной системы дискретной и последующем переходе к пределу в уравнениях движения. [c.377]

Вклад в науку о подобии сделали такие ученые, как Коши, который установил законы звуковых явлений в геометрически подобных телах (на основе уравнений движений упругих тел) Гельмгольц, который определил условия подобия гидродинамических явлений Филлипс, установивший законы колебаний мостов, и др. [c.9]

Рассмотрим колебания упругого тела на одноосном виброизоляторе с нелинейным упругим элементом и вязким демпфером (рис 12, а) Если [р] — оператор динамической жесткости тела в точке А (точка крепления виброизолятора), то уравнение движения системы может быть приведено к виду [c.245]

Выведенные до сих пор вариационные принципы касались краевой задачи теории упругости. В последних двух параграфах этой главы рассмотрим вариационные формулировки задачи о свободных колебаниях упругого тела при малых перемещениях. Задача формулируется так, что тело свободно на 5 и закреплено на S . Поскольку мы ограничиваемся случаем малых перемещений, все уравнения задачи линейны, а перемещения и напряжения в теле изменяются гармонически во времени. Обозначив амплитуды напряжений, деформаций и перемещений через. ......., и, [c.66]

Многочисленные исследования были посвящены в XIX в. вопросу колебаний упругих тел, в том числе струн, стержней, пластинок и оболочек. Интегралы уравнений колебания упругого пространства для любых начальных условий были даны в конце 20-х годов Д. Пуассоном и М. В. Остроградским. Тогда же Пуассон обнаружил существование двух волн, распространяющихся но изотропному упругому телу с различными скоростями, относящимися как У"Ъ 1. Стокс показал впоследствии что более быстрая волна является продольной волной объемного сжатия материала, а более медленная— поперечной волной вихря смещений, не вызывающей изменения плотности. В упомянутом выше мемуаре Пуассона (1829) рассмотрена и первая конкретная пространственная задача о колебаниях шара. Следует отметить исследо [c.58]

Здесь при составлении обобщенной силы Ф нужно принимать во внимание лишь внешние силы, приложенные к упругой системе. Уравнение вида (146) может быть написано для каждой из координат ф, 0,. .., и этим уравнением воспользуемся при исследовании колебаний упругих тел. [c.319]

Все эти экспериментальные исследования, несомненно, послужили мощным толчком к тому, чтобы предпринимать попытки к теоретическим исследованиям по вопросу о составлении дифференциальных уравнений движения жидкости с учётом не только давления", но и внутреннего трения. К этому времени стали открываться возможности для теоретических исследований такого рода в связи с развитием механика упруго деформируемого тела. Накопление исследований и решений конкретных задач по теории изгиба брусьев, по теории кручения стержней и по теории колебаний стержней и пластинок на основе использования закона Гука о пропорциональности напряжений деформациям создало все предпосылки не только к тому, чтобы установить общие уравнения равновесия и колебаний упругих тел, но и к тому, чтобы закон Гука в несколько изменённой форме распространить на жидкость и на основе этого создать дифференциальные уравнения движения жидкости с учётом внутреннего трения. Этим обстоятельством и объясняется тот факт, что создатели математической теории упругости—Навье, Пуассон, Коши, Сен-Венан и Стокс оказались одновременно и создателями математической теории движения вязкой жидкости. [c.14]

Известно, что любая форма смещения точек оси стержня представима рядом вида (2) по собственным формам колебаний в приближенном решении число собственных форм (слагаемых ряда) может быть взято конечным и часто весьма небольшим. Более того, в выражении (3) допустимо использование вместо собственных форм колебаний других функций от х, разумно описывающих характер упругой линии оси стержня. Подобного рода предположения — конечность я, допускаемый произвол выбора функциональной зависимости вектора перемещения от координат точек упругого тела — практически оправдываются расчетами колебаний стержней и плит на неподвижных опорах. Нет оснований считать их неприемлемыми при составлении общих уравнений движения упругого тела. Первое из упомянутых предположений, сводящее задачу к рассмотрению системы с конечным числом степеней свободы, исключает из рассмотрения вообще весьма трудно учитываемые колебания высоких частот. Второе не должно значительно повлиять на результат, поскольку, как увидим ниже, выбором функций, которыми задается вектор и, определяются численные значения некоторых интегральных характеристик они мало изменяются от этого выбора, если, конечно, он сделан достаточно разумно. [c.476]

Интегральное уравнение (36) позволяет определить амплитуду вынужденных колебаний упругого тела, обусловленных дей- [c.732]

Уравнения движения упругих тел были выведены еще в начале прошлого столетия. Первоначально они использовались для решения одномерных задач о динамическом растяжении —сжатии и кручении стержней, изгибе балок и колебаниях круговых цилиндров и сфер. Лишь в начале нашего века эти уравнения были применены для решения сейсмических проблем. [c.291]

Даниил Бернулли (1700—1782) — академик Петербургской академии наук является одним из основоположников учения о колебаниях упругих тел. Он впервые получил дифференциальное уравнение поперечных колебаний призматического бруса и исследовал его для нескольких частных случаев. [c.559]

Методом граничных интегральных уравнений решались различные динамические задачи. В частности, двумерные задачи динамической теории упругости рассматривались в работах [5—7, 117, 439, 568], трехмерные — в [373, 374, 439, 463, 464, 477, 546]. Задачи о колебаниях упругих тел и пластин, а также задачи на собственные значения изучались в работах (87, 441, 503, 531, 544 и др.]. Существует несколько под содов к решению нестационарных задач методом граничных -интегральных уравнений. Можно использовать шаговую по времени схему, когда решение ищется последовательно в различные моменты времени. При этом используются фундаментальные решения динамических дифференциальных уравнений, которые называются запаздывающими потенциалами. Такой подход к решению динамических задач теории упругости использован в работах [374, 484, 494—496, 556]. Другой подход заключается в применении преобразования Лапласа по времени. В этом случае интегральные уравнения записываются для функций ч пространстве преобразований Лапласа и они решаются при различных значениях параметра преобразования [373]. Затем выполняется численное обратное преобразование Лапласа [196, 440, 465, 466, 536]. В работах [517, 556] рассматривались оба эти подхода и сравнивалась их эффективность с точки зрения точности и затрат машинного времени. Более эффективным оказался метод, основанный на применении преобразования Лапласа. Этот метод применялся к решению динамических задач в работах [5—7, 117, 140, 373, 463, 464, 472, 518, 568]. Метод решения динамических задач с использованием функций Грина соответствующих статических задач разработан в [448]. Более полный обзор применения метода граничных интегральных уравнений и граничных элементов в динамических задачах сделан в работах [44, 442, 462]. [c.105]

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ И ФОРМ КОЛЕБАНИЙ УПРУГИХ ТЕЛ С ТРЕЩИНАМИ МЕТОДОМ ГРАНИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [c.127]

Из системы (Д.56) определяем амплитуды перемещений, вызванных действием массовых сил и неизвестные амплитуды перемещений и поверхностных сил на границе. Система однородных уравнений (Д.57) имеет нетривиальные решения только для таких значений (о , которые соответствуют частоте собственных колебаний упругого тела и (л = 1, 2,. .., оо). Заметим, что для Я. = уравнения (Д.56) не имеют решения. В этом случае имеет место резонанс упругой системы. [c.205]

Уравнения длг малых колебаний упругого тела [c.290]

Из всего этого видно, что картина динамических деформаций упругих тел обычно весьма сложна и, соответственно этому, решение данных задач, как правило, сопряжено со значительными математическими трудностями. Не следует думать, однако, что проблема исследования уравнений динамики упругого тела целиком сводится к изучению возникновения и развития волновых процессов. С практической точки зрения отнюдь не меньшее значение имеет изучение установившихся свободных или вынужденных колебаний упругих тел. [c.203]

Первый, кто дал теоретическое объяснение закону Савара, был Коши. В Ме-муаре, представленном Академии наук в 1879 г., он показал, что этот закон следует из линейности уравнений движения. Он рассмотрел общие уравнения движения упругого тела для малых отклонений частиц, не предполагая, что упругие свойства в различных направлениях одинаковы. Эти уравнения служат для определения перемещений ( , ц, ) частицы в функции времени t и координат (х, у, z) частицы в ее невозмущенном положении, и их можно разбить иа два класса. Одни прилагаются ко всем внутренним точкам упругого тела, другие — к точкам его поверхности. Эти уравнения можно найти в любом курсе по упругости, Непосредственной проверкой можно убедиться, что эти уравнения сохраняются при замене переменных 5, т). i, х, у, г, t на k i, kr, kt,, kx, ky, kz, kt, где k — произвольная постоянная, если только силы изменяются в отношении k 1. Следовательно, если силы отсутствуют, то для того, чтобы период колебаний и перемещения т , изменились в отношении 1 к, достаточно изменить в этом отношении размеры упругого тела и начальные значения 5, т , Таким образом, мы получили обобщение закона Савара, данное Коши. Если высоту тона звучащего тела, пластины или упругого стержня измерять числом колебаний в единицу времени, то она изменяется обратно пропорционально линейным размерам тела, пластины или стержня в предположении, что все размеры меняются в одном и том же отношении. [c.316]

Из линейности волнового уравнения и граничных условий следует, таким образом, что суперпозиция произвольного числа нормальных колебаний упругого тела удовлетворяет волновому уравнению и условиям на границах и является одним из возможных его движений. [c.219]

При рассмотрении колебаний упругих тел будем полагать, что материал тела однороден, изотропен и следует закону Гука. Дифференциальные уравнения движения, установленные в предыдущей главе для системы частиц, будем применять также и здесь. [c.289]

Рассмотрим задачу о собственных колебаниях упругого тела с частично или полностью закрепленной фаницей. После замены переменных и = Но(г) + у(г, /) уравнение (6.1) представим в виде [c.248]

Способ Бубнова — Галеркина. Способ, разработанный Н. Г. Бубновым и Б. Г. Галеркиным, получил широкое распространение для приближенного решения различных задач статики н динамики упругих тел. Для большей наглядности рассмотрим применение этого способа на примере решения задачи о поперечных колебаниях стержня переменного сечения, описываемых дифференциальным уравнением [c.586]

Гармонические крутильные или торсионные колебания совершает тело, подвешенное на упругой нити. Уравнение вращательного движения тела вокруг вертикальной оси, проходящей через точку подвеса, имеет вид [c.589]

Наиболее важный результат, получаемый при этом предположении, — это Приближенное значение компонента напряжения Z . Если мы имеем дело с равновесием и пластинка плоская, то Zj, = 0 даже во втором приближении при том же условии, когда средняя поверхность кривая, Zg исчезает в первом приближении, ио во втором приближении мы принимаем этот компонент пропорциональным Л 1-—2 и линейной функции главных кривизн, а также величинам, определяющим изменение кривизны. Результаты относительно Zg и его выражения через Лиг можно иллюстрировать исследованием колебания бесконечно большой пластинкя конечной толщины, Которое базируется иа общих уравнениях колебания упругого тела. Такого род исследование произвел Релей 2) из его результатов видио, что в этом случае имеются виды колег аний, когда Z, исчезает во всей пластинке, для остальных же видов выражение Zj может быть развернуто в ряд по возрастающим степеням h к z, в кою-рь,й не будут входить члены ниже четвертого порядка. [c.568]

Колебание тонкой сферической оболочки. Случай, когда средняя поверхность— сфера, а оболочка тонка, исследован Ламбом ) с помощью общих уравнений колебания упругого тела. Колебания сопровождаются удлинениями они распадаются на два класса, аналогичных колебаниям шарового тела ( 194). Этн два класса получаются путем отбрасывания соответствеяиа радиального компонента смещения и радиального компонента вращения. При каждом колебании нормального типа, принадлежащем к тому Или иному классу, смещения выражаются при помощи сферических функций какого- [c.576]

В предельном случае плоской пластинки виды колебаний распадаются на два главных класса один из них соответствует деформациям без удлинений со смещениями, нормальными к плоскости пластинки, второй — деформациям, сопровождаемым удлинениями, когда смещения параллельны плоскости пластиики [см. 314, d), е) и 333]. Случай неограниченной пластинки конечной толщины рассматривал Релей ), исходя из общих уравнений колебания упругого тела и прилагая метод, родственный описанному в 214, Здесь могут быть продольные колебания, когда смещения параллельны плоскости пластиики колебания этого класса распадаются на два подкласса к первому относятся такие, в которых средняя плоскость не испытывает деформации, ко второму относятся колебания, в которых смещения аналогичны касательным смещениям в замкнутой тонкой сферической оболочке. Возможны также колебания второго класса, при которых смещение имеет как нормальный к плоскости пластинки компонент, так и компонент, лежащий в этой плоскости если пластинка тонка, то первый компонент будет мал по сравнению со вторым. Нормальный компонент смещения исчезает на средней плоскости, а нормальный компонент вращения исчезает всюду, так что эти колебания аналогичны колебаниям второго класса в замкнутой тонкой сферической оболочке. Имеется далее ёще класс колебаний изгиба, когда смещение имеет и норушльный и касательный компоненты, причем последний мал по сравнению с нормальным в случае, если пластинка тонка. Касательный компонент исчезает на средней плос сости, так что деформацию приближенно можно считать не имеющей удлинения. При этих колебаниях линейные элементы, которыг вначале были нормальны к средней плоскости, в течение всего движения остаются прямолинейными и нормальными к той же плоскости. Частота колебания приблизительно пропорциональна толщине пластинки. Подобные колебания без удлинений в замкнутой тонкой сферической оболочке невозможны. [c.577]

При выводе уравнения (11.17) мы предполагали, что каждая точка системы может совершать лишь один вид перемещения, описываемого величиной т]. Однако в более общей задаче, такой, например, как задача о колебаниях упругого тела, будут иметь место перемещения по всем трем направлениям. В этом случае будет иметься не одна обобщенная координата, а три, которые мы будем обозначать индексом / r j X, X2,Xz,t), где / = 1, 2, 3. В более общем случае может быть и не три обобщенные координаты, а больше, и тогда й будет функцией всех обобщенных координат и их производных по х х , Xz, t. Каждой обобщенной координате t j xuX2,X3,t) будет соответствовать одно уравнение движения, имеющее вид [c.383]

В случае непериодического воздействия внешних сил для описания вынужденных колебаний упругого тела поверхностнг1я нагрузка и искомое решение представляются в виде разложений в ряд по системе собственных фундаментальных функций [161. Подстановка этих рядов в уравнения движения позволяет получить уравнения для определения неизвестных функций времени. Рассмотренный метод будет продемонстрирован на примере круговой трехслойной пластины далее (см. гл. 7). [c.125]

При выводе уравнения (ос) величина h рассматривается как малая. Но большая или малая глубина потока есть понятие относительное мы говорим, что поток — малой глубины, если эта глубина мала по сравнению с длинами волн, распространяющихся на поверхности Поэтому теория Лагранжа есть теория длинных волн, как и принято ее сейчас называть. Сам Лагранж приписывал ей чрезмерную общность он ссылается на то, что волнение на поверхности жидкости ненамного проникает в ее глубь (в океанах, например, на глубине около 30 м почти не ощутимы самые мощные бури), и поэтому полагал, что можно считать волны распространяющимися на поверхности потока 272 незначительной глубины. Однако теория и опыт показывают, что выводы Лагранжа применимы как хорошее приближение лишь при малых глубинах. Во всяком случае теория Лагранжа является первой успешной попыткой гидродинамического анализа одного из видов волн на поверхности тяжелой жидкости. Вместе с работами о колебаниях упругих тел она составляет основное, что дал XVIII в. в теории колебаний и волн. [c.272]

Последовательное изучение малых колебаний упругих тел, как колебаний линейных систем с бесконечно большим числом степеней свободы, провел Клебш в своей Теории упругости твердых тел Используя уже достаточно хорошо развитый к тому времени математический аппарат для краевых задач, Клебш свободно применяет для упругих колебательных систем понятие нормальных координат соответствующих им фундаментальных функций, доказывает, что эти функции образуют ортогональную систему (по отношению к естественно вводимой весовой функции), составляет на основании краевых условий уравнение частот, в общем случае трансцендентное, доказывает свойства его корней, определяет коэффициенты разложения произвольной функции по фундаментальным функциям краевой задачи и т. д. [c.278]

Теория колебаний развилась из исследований Галилея о малых колебаниях маятника. Однако опыты Галилея, в сущности, лишь наметили путь для дальнейшей работы в этой области. Возникновение учения о колебаниях упругих тел в механике связано с именами академиков Петербургской Академии наук — Д. Бернулли, Эрмана и Л. Эйлера. В 1716 г. Эрман нашёл решение некоторых сложных задач о колебаниях маятника в 1740 г. Эйлер обобщил принцип Эрл)ана и применил его к исследованию колебаний струн и тонких брусьев. В 1751 г, Эйлер и Бернулли впервые получили дифференциальные уравнения поперечных колебаний. Хотя общая теория колебаний систем с конечным числом степеней свободы была дана в 1762—1765 гг. в работах Лагранжа, но по его же собственному признанию эти работы представляли собой возврат к методу Эрмана и Эйлера . [c.769]

Б у р чу л а д 3 е Т. В. а) К TeopiiH граничных задач колебания упругого тела (Тр. Тбилисского ун-та, т. 64, 1957) б) О некоторых плоских граничных задачах для анизотропных упругих тел (Тр. Матем. ин-та АН Груз. ССР, т. 27, 1960) в) О фундаментальных решениях одной системы дифференциальных уравнений (Сообщ. АН Груз. ССР, т. 20, № 4, 1958) г) О некоторых обобщенных потенциалах для анизотропных тел (там же, т. 23, № 2, 1959) д) Асимптотические формулы собственных функций некоторых граничных задач колебания анизотропного упругого тела (там же, т. 23, № 4, 1959) е) Об асимптотическом распределении собственных функций колебания упругого тела (там же, т. 15, № 4, 1954). [c.467]

С. Большие деформации пластинок и оболочек. Теория тонких пластинок и оболочек была развита по преимуществу для целей изучения колебаний этих тел и затем уж применялась к вопросам статическим. Соответствующие смещения при колебаниях всюду крайне незначительны. Обычная приближенная теория изгиба пластинок под действием давления основывается на распространении на более общие случаи результатов некоторых точных нли приближенных решений уравнений равновесия упругого тела ). В этих решениях предполагается, что смещение, если не считать того, которое соответствует движениям тела как абсолютно твердого, всюду весьма мало по сравнению с линейными его размерами. Таким образом теория будет применима до тех пор, пока прогиб будет составлять весьма малую долю от толщины пластинки. Теории Кирхгофа и Клебша и теория гл. XXIV имели своей целью указать пределы возможных смещений средней поверхности, при которых оболочка не будет еще перенапряжена. Условие этого заключается в том, что при больших деформациях оболочки средняя поверхность должна либо точно налагаться на недоформированную среднюю поверхность оболочки, либо должна быть близка к поверхности, налагающейся на нее. [c.580]

Наконец, третий способ получается путем применения понятия энергии. Мы принимаем, что существугЛ упругий потенциал и выводим уравнения равновесия или колебания упругого тела способом, указанным в 115. Пусть энергия части тела, ограниченной какой-нибудь поверхностью S, увеличивается при увеличении смещения. Это прирашение энергии выразится при помощи интеграла по поверхности следующего вида [c.645]

После всего сказанного остается решить вопрос о том, каковы будут колебания упругого тела, когда его собственный период колебания не совпадает ни с четным ни с нечетным числом периодов внешних сил, действующих на данное тело и изменяющихся гармонически. В этом случае мы имеем дело с т. н. комбинированным колебанием с постоянно изменяющейся амплитудой, то увеличивающейся то уменьшающейся. Как его амплитуда Р, так и сдвиг фазы 0 являются величинами переменными, зависящими от времени t. Подобные колебательные движения известны в физике под названием биений. Амплитуда Р определится из уравнения Р2 BIn2 0 -Ь Р2 0S2 0 = Р2 = f sin2 Ду + [c.94]

Задачи на собственные значения, которые мы будем записывать в виде Ьи = Ки или, более общо, Ьи = ХВи, очень часто встречаются в приложениях. Назовем здесь лишь задачи о продольном изгибе стержней и выпучивании оболочек, колебании упругих тел и о многогрупповой диффузии в ядерных реакторах. К счастью, как и для стационарных уравнений Ьи = Д для этих задач также полезна идея Рэлея — Ритца. В самом деле, эта идея исходит из описания Рэлея основной частоты как наименьшего значения отношения Рэлея. Поэтому шаг, который был предпринят в последние 15 лет, вполне евтествен и неизбежен применить новые идеи метода конечных элементов к этой давно установленной вариационной форме задачи на собственные значения. [c.251]

Твердое тело, подвешенное на упругой проволоке, совершает крутильные колебания под действием внешнего момента nis г = т.0 os pt, где то и р — положительные постоянные, гг — ось, направленная вдоль проволоки. Момент сил упругости проволоки Шупр г = —сф, где с — коэффициент упругости, а ф — угол закручивания. Момент инерции твердого тела относительно оси г равен /г- Силами сопротивления движению пренебречь. Определить уравнение движения твердого тела в случаях 1) р, [c.283]

Уравнения состояния кондеисироваипых тел и их фаз. Уравнения для внутренней энергии и давления твердых тел или жидкостей соответствуют двухпараметрпческой среде, когда внутренняя энергия н давление зависят от двух переменных — истинной плотности вещества р° и температуры. Прп этом внутреннюю энергию и давление при температурах, меньших 10 К, представляют в виде суммы двух составляющих, которые соответственно описывают упругие свойства холодного тела прп гидростатическом сжатии up, Рр) и эффекты гармопичсскпх колебаний атомов в решетке (ut,Pt), характеризуемых температурой [c.242]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...