Принцип потенциальной энергии

Модели для анализа напряжений и деформаций часто оказываются более удобными, если представлены в интегральной форме, вытекающей из вариационных принципов механики. Вариационный принцип Лагранжа (принцип потенциальной энергии) гласит, что потенциальная энергия системы получает стационарное значение на тех кинематически возможных перемещениях, отвечающих заданным граничным условиям, которые удовлетворяют условиям равновесия. Поэтому модель представляют в виде выражения потенциальной энергии П системы как разности энергии деформации Э и работы массовых и приложенных поверхностных сил А [c.158]

Принцип потенциальной энергии. Если система получает возможные перемещения, то внешние силы остаются неизменными, т. е. не варьируются. Вследствие этого уравнение (6.41) можно записать в виде [c.123]

Согласно принципу потенциальной энергии [см. (6.51)] имеем [c.202]

Другим методом исследования бифуркации состояния равновесия оболочек и пластин является энергетический метод. На основании принципа потенциальной энергии в положении равновесия 6П = 0, где —А — полная потенциальная энергия системы. [c.326]

В качестве исходного положения принимают вариационный принцип Лагранжа (принцип потенциальной энергии), в соответствии с которым равновесное состояние, в которое может прийти система, характеризуется минимумом потенциальной энергии. [c.117]

В соответствии с принципом потенциальной энергии в состоянии равновесия имеем [c.118]

Принцип, основанный на использовании функционала (13.21) или (13.22), будет называться первой расширенной формой принципа потенциальной энергии. [c.344]

Модифицированные принципы потенциальной энергии [c.352]

Чтобы получить функционал обобщенного принципа, можно обобщить обычным способом модифицированный принцип потенциальной энергии [c.365]

Модифицированные принципы потенциальной энергии Сформулируем вариационный принцип, в котором дополнительные условия (17.33) включены в функционал с помощью множителей Лагранжа. Используя Наы, определенный формулой [c.403]

Постановка задачи нелинейной вяз- Принцип потенциальной энергии 74 [c.407]

В принципе потенциальная энергия всех молекул обладает симметрией ио отношению к инверсии (см. стр. 9."1), и, следовательно, для положительных и отрицательных уровней существует правило отбора [c.245]

Энергетический метод. Этот метод основ ан на известном в механике принципе минимума потенциальной энергии. В соответствии с этим принципом потенциальная энергия Я упругой ортотропной пластинки в состоянии устойчивого равновесия минимальна, а в состоянии неустойчивого равновесия — максимальна. [c.271]

Принцип сохранения энергии, т. е. первый закон термодинамики, можно записать следующим образом. Пусть V — внутренняя энергия, приходящаяся на единицу массы, а gz — потенциальная энергия на единицу массы g z = — g). Тогда имеем [c.50]

Пользуясь принципом сохранения энергии и пренебрегая потерями энергии в системе при колебаниях, следует положить, что сумма кинетической и потенциальной энергии системы остается постоянной, т. е. [c.576]

Для рассматриваемой задачи виртуальная работа нагрузки имеет заданное значение С. Поэтому принцип минимума потенциальной энергии становится принципом минимума энергии деформаций. Применительно к проекту с, этот принцип приводит к неравенству [c.21]

С ТОЙ же податливостью. Используя принцип минимума потенциальной энергии, приходим к неравенству [c.29]

В [21] был установлен принцип стационарности взаимной потенциальной энергии, который привел к глобальному условию оптимальности лишь для статически определимых конструкций. В случае статически неопределимых конструкций этот принцип доставил, однако, лишь условие стационарности веса конструкции в окрестности рассматриваемого проекта. [c.34]

Кроме того, так как кривизна х, кинематически допустима (т. е. получена исходя из прогибов, удовлетворяющих ограничениям на опорах) для проекта S , из принципа минимума потенциальной энергии для проекта s,- следует, что [c.99]

С другой стороны, неравенство (17), следующее из принципа минимума потенциальной энергии, записывается как [c.100]

Закон минимума потенциальной энергии деформации (принцип наименьшей работы) [c.67]

Деление внутренней потенциальной энергии на две указанные составляющие является условным и производится по следующему принципу. [c.257]

Если, как в рассматриваемом примере, силы потенциальные, т. е. каждой из них соответствует потенциальная энергия, то этот принцип эквивалентен условию минимума потенциальной энергии равновесной системы. Под виртуальными перемещениями понимаются произвольные изменения координат, не меняющие, однако, заданных условиями связей в системе (ср. 6). Возможно, например, вращать коромысло, меняя угол 0, но невозможно растягивать его (21 фиксировано). Итак, па систему, показанную на рис. 3, действуют три силы тяжести и ее потенциальная энергия [c.105]

Обратимся к рассмотренному ранее примеру с рычажными весами. Формула равновесия весов (11.8) была получена с использованием условия (11.4) экстремальной функции t/(0). Но следствием принципа виртуальных перемещений является не просто экстремальность, а именно минимальность потенциальной энергии системы. Для выяснения вида стационарной точки на кривой t/(0) надо, как известно, исследовать поведение производных этой функции более высокого порядка, чем первый. Иначе говоря, необходимое условие (11.7) надо дополнить условием, достаточным для устойчивого равновесия fsW>Q, или (52[//<302)а,(>О, т. е. [c.114]

Принцип минимума потенциальной энергии. Один из наиболее распространенных приближенных методов решения задач статики упругих систем основан на принципе, утверждающем, что из всех возможных равновесных состояний, которые может принять упругая система под действием внешних статически приложенных сил, она принимает такое состояние равновесия, в котором ее потенциальная энергия имеет минимальное значение, т. е. [c.177]

Полученное из принципа минимума потенциальной энергии условие Ji = U—2А = т п является очень эффективным для приближенных решений задач статики стержней. Дифференциальные уравнения, получающиеся при исследовании вариационных задач (например, уравнение равновесия стержня), интегрируются в конечном виде лишь в частных случаях. Поэтому возникает необходимость в разработке методов приближенного решения вариационных задач с использованием исходных функционалов [например, (4.217)], не переходя к дифференциальным уравнениям. Такие методы решения вариационных задач принято называть прямыми методами. [c.180]

Приближенное решение с использованием множителей Лагранжа. Рассмотрим метод решения с использованием принципа минимума потенциальной энергии, когда аппроксимирующие функции удовлетворяют не всем геометрическим краевым условиям. Например, для стержня, показанного на рис. 4.13, ищем приближенное решение в виде ряда [c.181]

Множители Лагранжа существенно расширяют класс аппроксимирующих функций, которые могут быть использованы при приближенных решениях с использованием принципа минимума потенциальной энергии. [c.182]

Уравнение (6.44) выражает собой так называемый принцип потенциальной энергии при заданных внешних силах и граничных условиях действительные перемещения ui таковы, что для любых возможных перемещений первая вариация полной потенциальной энергии равна нулю, т. е. полная потенциальная энергия П имеет стационарное значение. Можно показать (теорема Лагранжа—Дирихле), что в положении устойчивого равновесия полная потенциальная энергия системы имеет минимальное значение, т. е. вторая вариация д П>0. [c.123]

Метод Ритца основан на использовании известной теоремы Дирихле—Лагранжа, на основании которой формулируется следующий принцип потенциальная энергия упругого тела в состоянии устойчивого равновесия имеет минимальное значение. Для использования метода Ритца в задачах расчета пластин необходимо составить выражения для потенциальной энергии деформации пластины U и работы внешних сил А. Полная потенциальная энергия пластины равна их разности [17= U—A). Можно показать, что при задании прогиба в виде (20.67) полная потенциальная энергия является квадратичной функцией параметров а , n=n(ali). [c.450]

В этом параграфе, руководствуясь табл. 13.1, мы проследим вывод вариационных принципов, начиная с принципа минимума потенциальной энергии, последовательно выводя модифицированный принцип потенциальной энергии, модифицированный обобщенный принцип и заканчивая модифицированным принципом Хеллингера — Рейсснера. [c.351]

В уравнении (13.44) запись 2] перед Наы означает, что суммирование производится по всем границам между элементами. Независимыми варьируемыми величинами в UmPi являются и при дополнительных условиях (13.7). Принцип для функционала назовем первым модифицированным принципом потенциальной энергии со смягченными условиями непрерывности, потому что в требование (ii) смягчается и функции перемещений в каж- [c.352]

Соответствующий принцип мы назовем третьим модифицированным принципом потенциальной энергии со смягченными граничными условиями, причем независимыми варьируемыми величинами являются и fi,- при дополнительных условиях (13.7). Из этих величин могут быть выбраны независимо на Кд и на Уь, тогда как должно быть одним и тем же на 81ь и Sla- Функционалы ПтР2 и П рз эквивалентны введенным Тонгом Гб]. Для краткости модифицированные принципы со смягченными условиями будем называть далее просто модифицированными принципами. Функционалы (13.44), (13.53), (13.59) являются основой конечно-элементной модели, называемой гибридной моделью в перемещениях. [c.354]

Выведенные модифицированные принципы потенциальной энергии могут быть обобщены обычным образом. Отправляясь от функционала ПтР2> получим функционал для обобщенного принципа (ср. с (13.26) и (13.29)) [c.354]

Итак, пусть сплошное тело мысленно разбито на конечные элементы, как указано в 13.3, и при формулировке метода конечных элементов рассматривается как совокупность этих элементов. В этом параграфе рассмотрим вариационные принципы, которые обычно используются в МКЭ. Для этого проследим в табл. 14.1 вывод вариационных принципов, начиная с принципа стационарности потенциальной энергии, последовательно выводя модифицированный принцип потенциальной энергии, модифицированный обобщенный принцип и кончая модифицированным принципом Хеллингера — Рейсснера. [c.363]

Докажите, что совокупность этих функций 0 (х, у), обозначаемая через 6 (х, у), принадлежит классу С > и ивлиется допустимой функцией для функционала (18.23) принципа потенциальной энергии. [c.451]

Обобщенный подход к вариационным энергетическим рринцинам теории упругости был развит затем Г. Пранге В соответствии с этим наиболее общий вариационный принцип теории упругости называют иногда каноническим принципом потенциальной энергии Борна — Пранге [c.63]

Уравпепие (4.8) выражает собой так называемый принцип потенциальной энергии при заданных внешних силах и граничных условиях действительные перемегцения щ таковы, что для любых возможных перемегцепий первая вариация полной потенциальной энергии равна нулю, т. е. полная потенциальная энергия П имеет стационарное значение. [c.74]

Как видно из формулы, потенциальная энергия деформации является квадратичной функцией обобщенных сил или обобщенных перемещений, так как последние линейно связаны с обобщенными силами. Следовательно, потенциальная энергия деформации всегда положительна. Ее величи[ а не зависит от порядка нагружения и целиком определяется окончательными значениями усилий и перемещений. Отметим также, что потенциальная энергия как квадратичная функция обобщенных нагрузок не подчиняется принципу независимости действия сил. Это значит, что потенциальная энергия, накопленная в результате действия группы сил, не равна сумме потенциальных энергий, вызванных действием каждой нагрузки в отдельности. Закон независимости действия сил при вычислении потенциальной энергии применим лишь в тех случаях, когда перемещение по направлению одной обобщенной силы, вызванное действием другой силы, равно нулю. [c.387]

Выражение в левой части (1.27) называется потенциальной энергией упругой конструкции, находящейся под действием заданных нагрузок Р , для кинематически допустимых смещений р и соответствующих деформаций q. Она получается путем вычитания из энергии деформаций для деформаций q виртуальной работы нагрузок на смещениях р. Неравенство (1.27) показывает, что смещения и деформации, дающие реще-ние нашей задачи для конструкции, минимизируют потенциальную энергию принцип минимума потенциальной энергии). [c.16]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...