Теория линейных колебаний

Механические системы, для которых квадратичные выражения для кинетической и потенциальной энергий (57) и (60), являются точными без отбрасывания членов более высокого порядка, называются линейными. Для линейных систем дифференциальные уравнения (63) являются точными, а не приближенными, как в случае малых колебаний. Математическая теория малых колебаний не отличается от теории линейных колебаний. Но линейные колебания могут быть не обязательно малыми. [c.435]

Все сказанное позволяет еще раз подчеркнуть неполноту заключений, полученных на основании интегрирования приближенных Л1[нейных дифференциальных уравнений движения. Действительно, теория линейных колебаний, примененная к исследованию движения маятника с отрицательным трением, позволяет найти условие самовозбуждения колебаний, выражаемое неравенством [c.282]

Технические приложения связаны с рассмотрением несвободных систем. Эти системы подробно изучаются в главе I. В специальном параграфе этой главы, посвященном электромеханическим аналогиям, выясняется возможность распространения аналитических методов механики на электрические и электромеханические системы. В главах V и Vf даны приложения аналитической механики к теории устойчивости Ляпунова и теории колебаний. Наряду с классическими вопросами теории линейных колебаний излагаются и элементы современных частотных методов. Задачи из динамики твердого тела разбираются в отдельных примерах. [c.9]

Описание колебаний при сопротивлении типа внутреннего трения, если демпфирование слабое, может быть осуществлено и при помощи аппарата теории линейных колебаний систем с вязким сопротивлением путем соответствующего перехода от реальных систем к эквивалентным системам с вязким сопротивлением. [c.69]

Главные координаты в теории линейных колебаний известны давно, но их применение только для решения пробле.мы установившихся колебаний, как правило, не дает каких-либо серьезных преимуществ по сравнению с обычными обобщенными координатами (по Лагранжу). [c.4]

При изложении использован элементарный аппарат теории линейных колебаний. [c.2]

Указанные вопросы являются актуальными, так как от решения их зависит обеспечение прочности и спокойной работы машин. Приводимые способы и примеры расчета основаны на теории линейных колебаний и достаточно просты, поэтому они будут доступны инженерам в заводской практике. [c.3]

При fi = О краевая задача (1), (2) обращается в обычную линейную, описывающую динамические процессы гироскопической системы, а ее решение находится известными методами теории линейных колебаний [3]. [c.23]

Постоянные времени Ti и Т2 характеризуют различные свойства параметров системы. Постоянная Ti характеризует собой демпфирование собственных колебаний звена, а Т2—раскачивание. Эти свойства, вытекающие из общей теории линейных колебаний, позволяют установить влияние параметров системы на характер переходного процесса в ней. [c.241]

Дальнейшее решение уравнения (3.5) выполняется с использованием теории линейных колебаний. [c.80]

Из теории линейных колебаний (75) известно, что обе эти величины прн отсутствии сопротивлений связаны зависимостью [c.158]

Книга содержит систематическое изложение теоретической механики и основ механики сплошных сред. Большое внимание уделено фундаментальным понятиям и законам механики Ньютона — Галилея, законам изменения и сохранения импульса, кинетического момента и энергии, уравнениям Лагранжа, Гамильтона и Гамильтона — Якоби для класса обобщенно-потенциальных сил, а также законам механики сплошных сред, на единой основе которых рассматриваются идеальная и вязкая жидкости, упругое тело. В книге подробно излагаются-, задача двух тел и классическая теория рассеяния, законы изменения импульса, кинетического момента и энергии относительно неинерциальных систем отсчета, теория линейных колебаний систем под действием потенциальных, гироскопических и диссипативных сил, метод Крылова — Боголюбова для слабо нелинейных систем, методы усреднения уравнений движения. Книга содержит большое количество примеров интересных для физиков, в частности рассматриваются примеры на движения зарядов в заданных электромагнитных полях, задачи на рассеяние частиц, колебания молекул, нелинейные колебания, колебания систем с медленно меняющимися параметрами, примеры из магнитогидродинамики. Книга рассчитана на студентов и аспирантов физических специальностей. [c.2]

Локализация энергии в нелинейной системе. В теории линейных колебаний хорошо известно явление биения — периодический обмен энергией двух осцилляторов. Роль осцилляторов могут играть две молекулы или молекула и электромагнитное поле. Если в начальный момент времени первый осциллятор неподвижен, а второй возбужден, то через интервал времени, обратно пропорциональный коэффициенту взаимодействия, энергия второго осциллятора перейдет к первому. Учет ангармоничности приводит к подавлению эффекта биений — теперь только малая часть энергии второго осциллятора участвует в обмене [213]. [c.320]

Поскольку линейные уравнения легко решать и исследовать, теория линейных колебаний является самым разработанным отделом механики. Бо многих нелинейных задачах линеаризация приводит к удовлетворительному приближенному решению. Даже когда это не так, исследование линеаризованной задачи часто является первым шагом при изучении соответствия движений нелинейной системы и ее линейной модели. [c.90]

Этот раздел посвящен краткому обзору классической теории колебаний, как линейных так и нелинейных. Мы намерены лишь дать определения и перечислить некоторые идеи нелинейной динамики, касающиеся периодических колебаний, с тем чтобы позже сопоставить их с хаотическими колебаниями. Читателям, которые хотели бы познакомиться с более подробным обсуждением нелинейных колебаний, следует обратиться к таким книгам, как [180, 135, 148]. Начнем с краткого обзора идей теории линейных колебаний. [c.19]

ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ [c.19]

Классическая парадигма теории линейных колебаний — это система из массы и пружины, показанная на рис. 1.5 рядом с ее электрическим аналогом. Если отсутствуют возмущающие силы и трение, то система колеблется с частотой, независимой от ампли- [c.19]

Изложенные выше элементы теории линейных колебаний описывают процессы колебаний не только механических систем. Колебания, имеющие место в электрических цепях, как это показано в курсе электродинамики, описываются дифференциальными уравнениями, аналогичными рассмотренным выше. [c.224]

Вектор сил инерции в узле к определяется следующим образом —ЬЧк, где точки означают дифференцирование по времени. В теории линейных колебаний часто допускают, что силы сопротивления, действующие на колеблющиеся системы, пропорциональны скорости. -Иногда это оказывается следствием линеаризации исходной более сложной нелинейной задачи. Будем считать, что силы сопротивления приложены к узлам и в узле к где Кй есть заданная матрица сопротивления [c.86]

СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ С СОПРОТИВЛЕНИЕМ. В классической теории линейных колебаний исследование влияния сопротивлений на свободные и вынужденные колебания основывалось на допущении, что силы сопротивления, действующие на колеблющуюся систему, являются линейными функциями обобщенных скоростей. Хотя такое допущение не оправдывается в действительности, тем не менее разработанные на его основе приемы некоторых расчетов и результаты этих расчетов имеют и в настоящее время большое практическое значение. Прежде всего, принимая такое допущение, мы остаемся в пределах линейной теории, а это приводит к значительному упрощению задачи в отношении математической ее трактовки, причем большей частью без существенного искажения качественной стороны общего направления вносимых сопротивлением изменений. Далее, уравнения с линейным сопротивлением получаются во многих случаях в результате линеаризации > некоторых реальных систем, а не каких-либо предположений о физической природе сопротивления. [c.141]

Перестроено изложение статики, позволяющее сократить число лекций на изучение ее основ. Материал кинематики изменен незначительно. Существенной переработке подверглись некоторые главы динамики. Полностью переработана и значительно расширена глава, посвященная малым линейным колебаниям систем. Из теории прямолинейных колебаний точки приведено изложение только собственных, линейных колебаний. Переработано также изложение невесомости, принципа Даламбера, центра удара, теоремы Штейнера и теории астатического гироскопа. [c.4]

Системы, для которых кинетическая и потенциальная энергия выражаются точно по формулам (2) и (3) без отбрасывания членов более высокого порядка, называются линейными. Для них вся математическая теория является такой же, как и для систем, совершающих малые колебания, хотя колебания для линейных систем могут быть любыми, не обязательно малыми. В дальнейшем рассматриваются линейные колебания, в число которых входят и малые колебания. [c.393]

Вся изложенная теория упругих колебаний является приближенной в том же смысле, в[каком приближенна вообще вся теория упругости, основанная на законе Гука. Напомним, что в ее основе лежит разложение упругой энергии в ряд по степеням тензора деформации, причем оставляются члены до второго порядка включительно. Соответственно этому компоненты тензора напряжений оказываются линейными функциями компонент тензора деформации, и уравнения движения — линейны. [c.144]

Случай, когда частота возмущающей силы не совпадает с частотой собственных колебаний, т. е. рфк. Общее решение уравнения (2) согласно теории линейных дифференциальных уравнений находится как [c.530]

Теория колебаний. Как мы видели, эта теория позволяет найти спектр собственных частот свободных колебаний упругой системы. Если частота возмущающей силы совпадает с одной пз собственных частот свободных колебаний, наступает резонанс. Для линейно-упругого тела в постановке линейной теории упругости амплитуды вынужденных колебаний становятся бесконечно большими. На самом деле так не бывает. Во всех материалах существует внутреннее трение. Теория упругих колебаний с затуханием, пропорциональным скорости, рассматривается в курсах теоретической механики, основной качественный результат состоит в том, что резонансная амплитуда конечна. В реальных материалах внутреннее трение подчинено более сложным законам, даже если его можно считать линейным (см. гл. 17), но качественный результат остается тем же. Поэтому резонансы на высоких гармониках, как правило, не страшны. Для турбинных лопаток, например, гармоники выше пятой-шестой во внимание не принимаются. Но резонанс на основном тоне или на первых гармониках может считаться причиной неминуемого разрушения. Отмеченные два аспекта мы зафиксировали, но далее развивать не будем. [c.652]

Напомним ( 7), что в тг-компонентах электрический вектор световой волны совершает линейные колебания, параллельные направлению вектора магнитной напряженности Н, а в а-компонентах — круговые колебания в плоскости, перпендикулярной направлению Н. Таким образом, получается результат, в точности совпадающий с тем, к которому пришел Лоренц и который на основе теории Бора несколько иным путем был нами уже получен в 7. [c.332]

Эти линейные уравнения получаются из уравнений (6), если считать, что в функции Лагранжа величины Т и П заменены их приближенными выражениями (5) и (3). Теория малых колебаний консервативной системы вблизи устойчивого положения равновесия опирается на такую линеаризацию и рассматривает приближенные выражения (5) и (3) для Т и П как точные. [c.501]

Это уравнение называется уравнением частот или вековым уравнением. Из предыдущего изложения теории главных колебаний следует, что оно имеет только положительные решения каждому корню j этого уравнения соответствует амплитудный вектор Uj (j = 1, 2,. .., n), причем если какой-либо корень Л/, уравнения (22) будет кратным, то всегда можно найти ровно столько соответствующих ему линейно независимых амплитудных векторов, какова его кратность. Амплитудные векторы из уравнения (21) находятся с точностью до произвольного постоянного множителя. Их нормировка (если она требуется) производится в соответствии с условием (15). [c.504]

Сделаем по поводу полученных результатов два замечания. Во-первых, устойчивость по первому приближению еще не означает устойчивости при рассмотрении точных уравнений (гл. XIX). Кроме того, в этом случае мы лишены возможности вывести суждение об устойчивости из интеграла энергии, как это мы делали в теории малых колебаний (гл. IX). Во-вторых, если система устойчива при рассмотрении точных уравнений, а также в первом приближении, то это связано с влиянием линейных членов Ti в выражении для L. Благодаря им в уравнениях движения появляются гироскопические члены. При отсутствии слагаемых мы имели бы задачу о движении в поле консервативных сил, а для такого поля потенциальная функция в точках Ni и имеет максимум, и эти точки являются положениями неустойчивого равновесия. [c.570]

Обращено внимание на получение уравнений малых колебаний путем внесения упрощений в нелинейный аппарат. Далее основное содержание главы посвящено линейным колебаниям. Теория этих колебаний проиллюстрирована достаточно большим количеством примеров. Однако один из параграфов содержит очень краткую, чисто описательную информацию о нелинейных колебаниях. Это поможет читателю понять соотношение линейной и нелинейной теорий колебаний. [c.5]

Довольно подробно рассматривается обп ая теория малых колебаний около положения равновесия показывается, как вводятся нормальные координаты. Теория иллюстрируется на примерах малых колебаний двойного маятника, молекулярных колебаний в некоторых простых молекулах, нормальных колебаний одномерного кристалла. Рассмотрены двухатомные и линейные и нелинейные трехатомные молекулы типа А В. В заключение обсуждается простой случай колебаний около равновесного (устойчивого) движения. [c.67]

Переменные t]i и 1I2 можно квалифицировать как некоторые ква-зинормальные координаты, которые при = onst и = onst совпадают с нормальными координатами, используемыми в теории линейных колебаний систем с постоянными параметрами. [c.183]

Методы динамического расчета конструкций. Это — широкая проблема, тесно связанная с рассмотренными выше вопросами динамических нагрузок и диссипативных характеристик конструкций и оснований. В кастоящее время иногда высказывается мнение, что прикладная теория линейных колебаний себя полностью исчерпала.. С этим мнением вряд ли можно согласиться. С установлением принщипиальной возможности решения задачи ко нчается роль математика-теоретика, но начинается деятельность прикладника-.механика. Между теоретической возможностью и практическим решением некоторых задач линейной теории колебаний несмотря на высоко развитую вычислительную технику и в настоящее время существует большая дистанция. Ряд вопросов еще нуждается в дополнительном исследовании. [c.34]

На ФПК в ЛГУ читаются спецкурсы по наиболее перспективным направлениям современной механики, отрабатываются вопросы методики ее преподавания в вузах, в частности, с применением ЭВМ и ТСО. Кроме 0бщена)д1ных дисциплин (основы марксистско-ленинской философии, педагогика, психология, охрана окружающей среды, техника речи и лекторское мастерство, программированное обучение и др.), читаются спецкурсы методика преподавания теоретической механики, аналитическая механика, механика со случайными силами, теория устойчивости, теория автоуправления, история механики, теория линейных колебаний, теория нелинейных колебаний, теория упругих колебаний, механика сплошной среды, математические основы современной механики, вычислительные методы механики и программирование, динамика космического полета, колебаний электромеханических систем. Особое внимание в спецкурсах уделяется вопросам применения ЭВМ в вузовском учебном процессе, причем слушатели имеют возможность пользоваться ЭВМ в ВЦ ЛГУ, посещать лекции и занятия по алгоритмическим языкам и математическому обеспечению ЭВМ. Для слушателей читаются лекции по применению ТСО в учебном процессе и методам учебного телевиденйя. [c.59]

Мы видели, что все вопросы разрешимости задач теории линейных колебаний идеальной жидкости весьма элементарны и структура спектра может быть изучена с большой степенью подробности, В вязкой жидкости все указанные вопросы качественно сложнее, поскольку они сводятся к проблемам спектральной теории несамосопряженных операторов. В этой области пока еще очень мало результатов теоретического характера. [c.72]

Нет лучщего примера теории, новые модели и парадигмы которой обещают значительные перемены в естественнонаучном и математическом мышлении, чем нелинейная динамика, испытывающая сейчас революционные изменения. Двумя главными парадигмами здесь являются аттрактор Лоренца (см. уравнения (1.3.9)) и логистическое уравнение (1.3.6). Эти два примера заключают в себе многие особенности хаотической динамики, такие, как разбегающиеся траектории, субгармонические бифуркации, удвоение периода, отображения Пуанкаре и фрактальные размерности. Как для освоения теории линейных колебаний необходимо изучить все тонкости модели из массы с пружиной, без которых нельзя понять колебания сложных систем, так же и каждому, кто ищет свой путь в современной нелинейной динамике, не обойтись без понимания явлений, скрытых в модели Лоренца и логистическом уравнении. Другие, менее яркие парадигмы также важны для понимания и развития теории динамических систем. Среди них вынужденные движения осциллятора Ван дер Поля (уравнение (1.2.5)), модели осциллятора [c.74]

Для решения задач динамики механических систем со многими степенями свободы методы, принятые в классической теории механизмов и машин, оказываются несостоятельными. Эти задачи требуют более мощного аппарата общей механики и математики, в частности применения дифференциальных уравнений движения механических систем в лагранжевых и канонических 1еременных, а также теории линейных и нелинейных колебаний. [c.53]

После рассмотрения теории малых, линейных колебаний системы с N степенями свободы, коснемся необъятной области теории нелинейных колебаний. Эти вопросы являются неиосредст-венным развитием содержания предыдущих параграфов настоящей книги, а также 191 —198 и 206, 217—219 первого тома. [c.275]

Уравнение (11.334)—характеристическое для системы дифференциальных уравнений (II. 331Ь) ). Вычислив корни характеристического уравнения, найдем общее решение системы линейных дифференциальных уравнений (II. 331Ь) так, как это уже было показано в теории малых колебаний. [c.333]

Теория линейных (малых) колебаний замечательна тем, что устанавливаемые в ней факты в одинаковой мере справедливы для объектов, пребывающих в соответствующем состоянии, независимо от их природы. Так, например, колебания в электрических сетях, упругие колебания систем, в частности, колебания, соверщаемые с частотами 16—20 000 гц и передаваемые уху какой-то средой, например, воздухом, и воспринимаемые им в виде звука, подчинены одним общим законам. Эти законы составляют предмет теории колебаний. [c.85]

Теория малых колебаний играет важную роль при изучении колебаний молекул. В этом параграфе мы довольно подробно разберем колебания двухатомных молекул, таких, например, как НС1, нелинейных трехатомных 1 Юлекул с симметричной равновесной конфигурацие. , таких как HjO, и, наконец, линейных трехатомных молекул типа СО2. В большинстве рассуждений предполагается, что взаимодействия между атомами, входящими в молекулу, аддитивны и что они могут быть описаны [c.80]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...