Система обобщенных координат

При движении системы обобщенные координаты тоже есть функции времени. Дифференцируя по времени как его сложную функцию, имеем [c.407]

Допустим, что консервативная механическая система, состоящая из п материальных точек и имеющая одну степень свободы, находится в некотором положении в устойчивом равновесии. Исследуем, какое движение будет совершать эта система, если ее вывести из равновесия малым возмущением. Условимся опять определять положение системы обобщенной координатой q, выбранной так, что при равновесии равновесие устойчиво, а возмущения малы, то координата q и обобщенная скорость q будут во все время движения тоже оставаться величинами малыми. Для составления дифференциального уравнения движения системы воспользуемся уравнением Лагранжа, которое, если выразить обобщенную силу Q через потенциальную энергию системы,П [(см. 143, формулы (115)], примет вид [c.389]

Коль скоро вектор-функция q, q) определена по формуле (12), v — v v может быть подсчитана как скалярная функция q q, и тогда формула (17) для любой системы обобщенных координат определяет проекцию ускорения w на ось qt- [c.20]

Механические голономные связи предопределяют зависимости (60) между декартовыми и новыми координатами, если в качестве новых координат выбрана любая система обобщенных координат. [c.154]

Координаты 9 (/= ,..., ) также представляют собой обобщенные координаты системы. Обобщенные координаты Qj,. .., 0 , в которых кинетическая и потенциальная энергии имеют вид (46) и (47), называются главными (или нормальными) координатами системы. В силу указанной выше теоремы линейной алгебры для [c.237]

Совокупность обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени называют лагранжевыми переменными некоторой системы, а совокупность для этой же системы обобщенных координат, обобщенных импульсов и времени —ее гамильтоновыми переменными. Задания движения системы в лагранжевых и гамильтоновых переменных эквивалентны в том смысле, что всегда существует взаимно однозначный переход от одной системы переменных к другой. [c.261]

Для системы с двумя степенями свободы, на которую наложены стационарные, идеальные, голономные, неосвобождающие связи, радиус-вектор каждой точки л, является функцией только обобщенных координат <71, 2. При движении системы обобщенные координаты и зависят от времени. Следовательно, производная по времени от радиуса-вектора [c.430]

Если же не стремиться к сохранению тензорных свойств р, в системе обобщенных координат при введении координат х , то указанное ограничение снимается. [c.389]

За параметры, характеризующие положение системы (обобщенные координаты), примем перемещение Хо = 0L плиты при колебаниях, координаты хну центра тяжести ротора и угол (р поворота ротора. Кинетическая энергия системы будет [c.589]

Таким образом, для равновесия механической системы с удерживающими идеальными стационарными связями необходимо и достаточно, чтобы все обобщенные силы, соответствующие выбранным для системы обобщенным координатам, равнялись нулю. [c.773]

Преимущества вариационной концепции. Хотя принцип Гамильтона в форме (2.2) можно распространить на случай неконсервативных систем и неголономных связей, однако практически этот принцип наиболее полезен тогда, когда можно составить лагранжиан из независимых координат. Вариационный принцип Гамильтона в компактной форме содержит в себе всю механику консервативных голономных систем. Кроме того, этот принцип имеет то достоинство, что в его формулировке фигурируют только такие физические величины, которые не связаны с частной системой обобщенных координат (кинетическая и потенциальная энергии). Поэтому этот принцип автоматически инвариантен относительно преобразования обобщенных координат системы. [c.58]

Резюме. Ввиду произвола в выборе координат одна система обобщенных координат может быть заменена другой. Это преобразование координат может мыслиться геометрически как отображение -мерного пространства самого на себя. Отображение не сохраняет углов и расстояний. Прямые линии преобразуются в кривые, однако в бесконечно малой области, в окрестности некоторой точки, отображение выпрямляется прямые линии переходят в прямые, параллельные — в параллельные, и сохраняется отношение объемов. [c.38]

Здесь снова нельзя непосредственно что-либо заключить относительно величин, заключенных в скобки, так как наличие связей не позволяет считать перемещения независимыми. Эту трудность в некоторых случаях можно опять-таки преодолеть, переходя к соответствующей системе обобщенных координат. Общий метод, которым можно это сделать, будет рассмотрен в следующей главе как существенная часть аналитического метода. [c.24]

Цель настоящей главы будет состоять в том, чтобы дать метод составления уравнений движения, отличный от метода Ньютона. Мы будем руководствоваться следующим принципом основывать рассуждения на выражениях энергии, насколько это возможно, и сделать все уравнения одинаково применимыми в любой системе обобщенных координат. [c.27]

Эти уравнения уже частично соответствуют установленным выше требованиям, чтобы уравнения движения были выражены с помощью двух скалярных функций Т и V. Следующий этап состоит в замене декартовой системы координат системой обобщенных координат. [c.28]

После перехода к системе обобщенных координат обобщенные компоненты диссипативной силы будут определяться формулой [c.35]

Мы будем предполагать, что обобщенные координаты i, 2, выбраны так, чтобы любое возможное положение системы могло быть получено из (21) при некоторых значениях величин i, 25- 5 Qm- Если это не удается сделать сразу для всех возможных положений системы, то обобщенные координаты вводятся локально, т. е. для различных совокупностей возможных положений вводятся различные системы обобщенных координат. [c.41]

Для голономной системы обобщенные скорости qj независимы и совершенно произвольны. В неголономной системе обобщенные координаты, как и в голономной системе, могут принимать произвольные значения, но при этом обобщенные скорости не будут независимы они связаны S соотношениями (26). [c.45]

Уравнения динамики были записаны в общем виде Лагранжем с помощью системы обобщенных координат и скоростей. [c.705]

Главные координаты. Выше говорилось ( 17.2, раздел 1.2), что выбор к параметров ди. .., дь, т. е. обобщенных координат, является операцией вариантной. От любой системы обобщенных координат дх,. .., <7 можно перейти к так называемым главным координатам (11,. .., (1, которым соответствует представление кинетической и потенциальной энергий системы в виде линейных комбинаций квадратов соответственно ( 1 и [c.144]

Заметим, что, как и должно быть, при переходе от произвольной системы обобщенных координат к главным спектр частот не изменяется. [c.145]

Переход от произвольной системы обобщенных координат qu qk к главным <]ь. .., <] является операцией не менее трудоемкой, чем решение проблемы при помощи исходной системы обобщенных координат. [c.149]

Выбор такой системы обобщенных координат удобен для использования динамической характеристики двигателя в форме (6.1). Кроме того, исследование имеет целью отыскание наряду с частным (при фиксированных начальных данных) также периодического решения системы уравнений движения, описывающего установившийся процесс. Принятая система координат такова, что поиск для нее периодического решения имеет смысл [c.62]

В настоящей главе наряду с общим решением системы дифференциальных уравнений движения машинного агрегата ставится также задача отыскания частного (при фиксированных начальных данных) и периодического решений. Поэтому в исходной системе уравнений (16.7) необходимо перейти к таким переменным, для которых отыскание периодического решения имело бы смысл. В качестве системы обобщенных координат, удовлетворяющей указанному выше требованию, можно принять угловые скорости масс или относительные углы закручивания смежных масс. Останавливаясь на последней, отметим, что к этой системе координат можно перейти путем линейного преобразования вектор-функции ф (О при помощи матрицы Q по формуле [c.107]

Воспользовавшись системой обобщенных координат (16.23) и рассматривая систему уравнений движения (30.1) совместно с уравнением динамической характеристики двигателя (16.1), получим систему уравнений движения машинного агрегата в виде [c.173]

Синтез механизмов и законов их управления в системе обобщенных координат представляется более простым. [c.68]

В случае теплопереноса в закрытой системе обобщенной координатой является энтропия. Характеристическая же функция зависит от условия сопряжения с окружающей средой [Л. 15]. [c.18]

Колебательная система, обобщенные координаты [c.460]

В автономных системах действующие силы зависят только от состояния системы (обобщенных координат и обобщенных скоростей), и в дифференциальные уравнения движения время явно не входит. В дифференциальные уравнения движения неавтономных систем время входит явно. Если для автономной нелинейной системы с несколькими степенями свободы можно заранее указать с достаточной точностью законы изменения во времена некоторых из обобщенных координат, то число дифференциальных уравнений движения соответственно уменьшается в этих уравнениях явно появляется время, и систему в целом можно рассматривать как неавтономную. На этом основана постановка задачи о вынужденных колебаниях, когда предполагают, что движение колебательной системы не оказывает обратного влияния на возбудитель колебаний, т. е. действие возбудителя представляет собой некоторую заданную функцию времени ( идеальный возбудитель ). При учете обратного влияния система обычно оказывается нелинейной и автономной, а число обобщенных координат большим, чем в приближенном анализе, необходимость такого учета зависит от свойств и параметров системы (см. гл. VII). [c.21]

Динамическое воздействие неуравновешенного ротора (см. п. 2 таблицы) на колебания массы m определяется инерционной силой тг (ф os ф + ср sin ф). При движениях системы обобщенная координата ф (t) определяет как частоту, так и амплитуду инерционной силы, возбуждающей колебания. Иначе говоря, инерционный возбудитель одновременно формирует как частоту, так и амплитуду колебательного процесса. Но существует класс технических систем, в которых частота и амплитуда колебаний формируются различными источниками энергии. Возможность такого разделения функций источников энергии в системах с ограниченным возбуждением определяется структурой самого колебательного процесса, поскольку амплитуда и частота являются независимыми параметрами и полностью определяют колебания. [c.202]

Таким образом, для равновесия механической системы необхо- j димо и достаточно, чтобы все обобщенные силы, соответствующие j выбранным dAs системы обобщенным координатам, были равны нулю. Число условий равновесия (117) равно, как видим, числу обобщенных коордикат, т. е. числу степеней свободы системы. [c.375]

Любой набор из п величин, независимых одна от другой и полностью определяющих положение системы, называется системой обобщенных координат, сами эти величины — обобценшлн [c.151]

При составлении уравнений Лагранжа или канонических уравнений Гамильтона выбор обобщенных координат был ироизволен в том смысле, что за такие координаты можно было выбрать любые s независимых между собой величин, однозначно определяющих положение рассматриваемой динамической системы. Формальный вид этих уравнений не зависит от той системы обобщенных координат, которая выбирается. Это значит, что если от каких-либо обобщенных координат Q, Q2,. ... Qs перейти к новым обобщенным координатам q, q i,. . по формулам [c.137]

Из рассмотрення метода разделения переменных следует, что для его применения существен удачный выбор обобщенных координат, так как при одной системе обобщенных координат переменные могут быть разделены, а при другой нет. [c.162]

Из основ тензорного исчисления следует, что обобщенные скорости у и обобщенные и.мпульсы Р] являются соответственно компонентами контрава-риантного и ковариантного вектора (тензора первого ранга) в системе обобщенных координат. Это, в частности, видно из содержания 61—64. [c.389]

Не обязательно устанавливать геометрический смысл обобщенных координат <7ь <72,. .., <7 они могут быть получены и чисто формально путем перехода от некоторой другой системы обобщенных координат gi, q ,. .., qk- Преобразование одной системы обобщенных координат к другой должно удовлетворять условию необращения в нуль якобиана [c.14]

Конфигурация системы с одной степенью свободы определяется в любой момент времени одним параметром — значением обобщенной координаты в этот момент времени. Если в покоящейся системе обобщенная координата имеет нулевое значение, то изменение координат любой /-й точки системы при переходе из исходного положения системы (положения покоя хю, у о, z/o) в текущее (x , у i, zi), соответствующее данному моменту в,ре-мени (в процессе обсуладаемых колебаний), пропорциональны значению обобщенной координаты [c.94]

При помощи выражения (13.15) исключим координату ф1 в тяговом режиме и рассмотрим систему уравнений (13.14) совместно с уравнением динамической характеристики двигателя (13.13). Получим систему дифференциальных уравнений движения привода с самотормозящимся механизмом. Целью исследования является отыскание периодических режимов движения. Поэтому в системе уравнений движения необходимо перейти к переменным, для которых отыскание периодических решений имеет смысл. Кроме того, учитывая, что = onst систему уравнений движения представим как однородную. Этим условиям соответствует система обобщенных координат [c.340]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...