Галеркина метод обобщенный

В седьмой главе рассмотрены вопросы численного интегрирования линейных и нелинейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающих при исследовании прочности, устойчивости, свободных колебаний анизотропных слоистых композитных оболочек вращения после разделения угловой и меридиональной переменных. Разработан и апробирован алгоритм численного решения таких задач, основанный на идее инвариантного погружения, в котором проблема интегрирования первоначальной краевой задачи редуцируется к решению задачи Коши для жестких матричных дифференциальных уравнений. Приведенные тестовые примеры позволяют сделать вывод об эффективности метода. Показано, что сочетание метода Бубнова — Галеркина с обобщенной формой метода инвариантного погружения дает эффективный инструмент численного исследования устойчивости и свободных колебаний слоистых композитных оболочек вращения. Разработан метод численного определения матрицы Грина краевой задачи и на примере проблемы выпучивания длинной панели по цилиндрической поверхности показана его эффективность в задачах устойчивости оболочек вращения. Метод решения нелинейных краевых задач, объединяющий в себе итерационный процесс Ньютона с методом инвариантного погружения, рассмотрен в параграфах 7.4, 7.5. [c.14]

Вариационная трактовка метода позволяет обосновать так называемый обобщенный метод Бубнова — Галеркина. Пусть базисные функции /i в отличие от (8.35) удовлетворяют всем кинематическим [c.251]

Как и в методе Бубнова — Галеркина, на L (w) будем смотреть как на некоторую функцию-ошибку или неуравновешенную нагрузку системы. Чтобы свести ее к минимуму, применим к произвольной единичной полоске, показанной па рис. 8.30, уравнения обобщенного метода Бубнова — Галеркина [c.255]

Обобщение метода Бубнова—Галеркина. Обобщение состоит в ортогонализации результата подстановки ряда (38) в уравнение (3) гл. IX по отношению к новой системе функций Х(ь , от которой требуется по крайней мере представительности. Результат разложения по введенному базису можно представить в форме [c.185]

Метод нормальных координат. Решение ищу г в виде ряда (2), где (р (х) — собственные формы соответствующей консервативной системы или, в более общем случае, некоторые функции, удовлетворяющие граничным условиям для и (х, t) и обладающие в некотором смысле полнотой. Уравнения относительно обобщенных координат Qh (t) могут быть получены, например, методом Бубнова—Галеркина. Если функция U (х, t) аппроксимируется конечным числом членов ряда, то приходим к задаче об устойчивости некоторой неконсервативной системы с конечным числом степеней свободы. Дальнейший анализ проводят,пользуясь методами из гл. V. [c.243]

Путем подстановки ряда (40) в уравнения (1) с использованием, например, вариационного метода Бубнова — Галеркина можно получить уравнения относительно обобщенных координат. Как правило, при определенных ограничениях, накладываемых на свойства операторов А, В и С, эти уравнения имеют стандартный вид [c.315]

Уравнение обобщенного метода Бубнова -Галеркина (1.4.31) применительно к рассматриваемой задаче запишется в виде [c.47]

Используя принцип виртуальной работы, можно предложить приближенный метод решения задач теории упругости 15). Излагаемый ниже подход будет называться обобщенным методом Галеркина ). На первом этапе применения этого метода принимаются следующие приближенные выражения для компонент перемещения )i [c.31]

В 5.6 будет показано, что этот приближенный метод решения эквивалентен методу вывода уравнений движения Лагранжа для динамической задачи. Очевидно, что принцип (2.22) предполагает аналогичную модификацию обобщенного метода Галеркина по сравнению с рассмотренным в 1.7. [c.72]

Известно, что вариационные методы являются надежным и систематическим инструментом для вывода определяющих уравнений для неизвестных параметров. Вспомним, что некоторые соображения относительно связей между вариационными принципами и МКЭ уже высказывались в гл. 10. Там было показано что обобщенный метод Галеркина, основанный на принципе [c.339]

В этом параграфе разработан метод численного решения линейных краевых задач устойчивости и свободных колебаний слоистых оболочек вращения, объединяющий в себе метод Бубнова — Галеркина для линейных интегральных уравнений Фредгольма второго рода с обобщенной формой метода инвариантного погружения. Изложение метода строится на примере задачи устойчивости и сопровождается указаниями на модификации, необходимые для перехода к задаче [c.205]

Задача построения математически непротиворечивой теории оболочек, являющейся корректно разрешимой и обеспечивающей выполнение всех независимых физических краевых условий, связана с необходимостью отказа от всех упрощающих физических и геометрических гипотез и использованием математически строгих методов редукции уравнений теории упругости. Сюда можно отнести проекционный метод уменьшения размерности дифференциальных уравнений в частных производных, основанный на том, что любую непрерывную функцию можно равномерно приблизить полиномами (теорема Вейерштрасса). Он представляет собой обобщение классических приближенных методов (метода моментов, метода Бубнова—Галеркина и др.) в рамках функционального анализа [75]. [c.8]

В такой форме рассматриваемый приближенный метод решения задач теории упругости и строительной механики был предложен И. Г. Бубновым [2], который, однако, не связывал его с началом возможных перемещений. Последнее было сделано несколько позднее Б. Г. Галеркиным [3]. Уравнения (13.9) и (13.10) являются обобщением этого метода на тот случай, когда подчинение Ид, г о. о, и. , т то условиям (13.12) И (13.14) не приводит к уничтожению в выражениях (13.9) интегралов, распространенных по поверхности тела, и, следовательно, оказывается бесполезным. [c.142]

Выдающимся научным достижением Г.И. Петрова той предвоенной поры было обобщение и строгое математическое обоснование возможности применения метода Бубнова-Галеркина [c.3]

Основаые положения метода. Обобщенный метод Бубнова - Галеркина является, по существу, несколько иной формой записи основных уравнений метода Ритца (1.4.22). [c.46]

Этот метод получил в последние годы исключительно широкое использование для приближенного решения краевых задач механики сгшошных сред. Из него как частный случай следуют многие другие известные приближенные методы метод Бубнова - Галеркина, обобщенный метод Бубнова - Галеркина, метод коллока-ций. Он служит основой для построения многих современных формулировок методов конечных и граничных элементов. Хотя метод и не относится к числу вариационных, но и он для рассматриваемого в механике твердого деформируемого тела класса задач формально дотгускает энергетическую трактовку сути производимых при его использовании операций. [c.49]

Настоящая глава посвящена изложению одного из наиболее перспективных способов дискретизации непрерывных задач — методу конечных элементов. Метод будет сформулирован как обобщение матричных методов сил н перемещений строительной механики на случай континуальных систем. Преимущества такой формулировки — в очевидных возможностях обобщения на случай нелинейных и неконсервативных систем, недостаток —в завуали-рованности связи с традиционными вариационными методами — Ритца и Бубнова — Галеркина, а также в трудностях перенесения на краевые задачи немеханического происхождения. [c.130]

В главе 4 будет дана другая формулировка метода конечных элементов, эквивалентная предыдущей, но использующая непосредственно идеологию методов Ритца и Бубнова — Галеркина. Преимущество этого подхода — в открыФнн возможностей для обоснования, усовершенствования и обобщения на широкие классы краевых задач математической физики, недостаток — в трудностях машинной реализации соответствующего алгоритма для проблем, содержащих в качестве неизвестных вектор-функции илн дифференциальные операторы порядка выше второго. [c.130]

Формулировка метода конечных элементов. Основные соотношения МКЭ для задач статики и динамики конструкций могут быть получены как обобщения известных вариационных методов Галеркина, Ритца и других, например коллокации, наименьших квадратов, на пространство кусочно-непрерывных базисных или пробных функций специального вида [47]. Для построения этого пространства исходная расчетная область D (конструкция или ее отдельные элементы) покрывается сеткой, составленной из совокупности М достаточно простых непересекающихся подобластей - конечных элементов Д , связанных между собой в отдель- [c.104]

Метод Бубнова—Галеркина обладает одной особенностью, которая относится к граничным условиям. Если функции /,(х) удовлетворяют только геометрическим граничным условиям (как говорилось, такие функции могут быть использованы при решении по способу Ритца), то это может привести к большим ошибкам при решении по способу Бубнова—Галеркина. Если при выборе функций fi (х) не считаться с силовыми граничными условиями (например, не обращать внимания на условия 1 = 0 и /, = 0 на свободном конце балки или на условие /Г = 0 на шарнирной опоре), то будет неявно признано существование на концах балки таких граничных усилий, которых в действительности нет. Из-за этого возникнет ошибка, так как в выражение (11.261) войдет работа несуществующих усилий. Для компенсации ошибки следует вычесть из левой части выражения (11.261) излишнюю работу этих граничных усилий (обобщенный метод Бубнова — Галеркина). [c.137]

Дальнейшее развитие метод Бубнова получил в трудах Б. Г. Галеркина (1871—1945), прежде всего в статье Стержни и пластинки (1915). Метод Бубнова — Галеркина, представляющий собой широкое обобщение метода Рэлея — Ритца, получил большое распространение и применяется теперь также к ряду задач вариационного исчисления, функционального анализа и математической физики. [c.264]

Пример. Для консольной призматической балки (рис. 1.4.5), захруженной на конце силой Р, требуется с помощью обобщенного метода Бз бнова - Галеркина определить приближенное выражение упругой линии [c.47]

Если выбранные выражения (1.4.20) для перемещений н/ наряду с кинематическими (главными) граничными условггями удовлетворяют также и силовым (естественным) условиям, то в уравнениях обобщенного метода Бубнова -Галеркина (1.4.31) поверхностные интегралы исчезают, и уравнения принимают вид [c.47]

Из-за авторского предпочтения приближенные уравнения задачи теории упругости будут часто выводиться из принципа виртуальной работы, поскольку он остается справедливым независимо от соотношений напряжения — деформации и суш,ество-вания потенциальных функций. Приближенный метод решения, использующий принцип виртуальной работы, будет называться обобш.енным методом Галеркина ). Для консервативных задач теории упругости результаты, получаемые с помощью сочетания принципа виртуальной работы и обобщенного метода Галеркина, эквивалентны результатам, получаемым с помощью сочетания принципа стационарности потенциальной энергии и метода Ре-лея—Ритца. [c.21]

Этот метод является обобщением метода Галеркииа, в котором требуется, чтобы приближенные выражения для перемещений (1.34) выбирались ие только удовлетворяющими геометрическим граничным условиям на Sj, но также с учетом уравнений, выражающих напряжения через перемещения, и механическим граничным условиям на Si (метод Галеркина см., например, в [5, 7—11]). [c.31]

Итак, выведен принцип виртуальной работы, а также родственные ему принципы для задачи теории упругости при конечных перемещениях. Отметим, что приближенные методы решения типа обобщенного метода Галеркина ( 1.4) или Релея—Ритца ( 2.5) могут быть аналогично применены и в задаче с конечными перемещениями. Отметим также, что при изменении условий на 5а на величину dtt имеем [c.101]

С математической точки зрения МКЭ представляет собой обобщение метода Рэлея—Ритца—Галеркина, обеспечивающего минимизацию функционала потенциальной энергии путем отыскания линейной комбинации пробных функций [c.8]

Разделение уравнений (1) и (2) можно произвести двумя ме тодами. Первый, предложенный Миндлином ) и Нейбером ), приводит к обобщенному представлению Папковича — Нейбера второй, предложенный Сандру ), является обобщением представления Галеркина. Займемся вторым методом, выражая перемещение и и поворот (О через две функции напряжений ф и Мы используем выражения, полученные в эластокинетике (формулы (15) и (16) 13.12), отбрасывая в них производные по вре [c.842]

При постановке новых проблем исходным пунктом в большинстве случаев является начало возможных перемеш ений, приводяш ее к вариационной формуле Лагранжа для данного объекта. Если задачу целесообразно формулировать в перемещениях, то на этом функции вариационного исчисления при решении рассматриваемой задачи и кончаются. В нелинейной же теории оболочек самым распространенным вариантом являются уравнения типа Кармана, сформулированные в смешанной форме (через прогиб и функцию напряжения). Ясно, что различным формулировкам соответствуют разные вариационные формулы. Получение таких формул нередко представляет достаточный интерес (хотя бы для нестрогого обоснования процедуры метода Бубнова — Галеркина). Например, большое внимание было уделено обобщению вариационного принципа Кастильяно на нелинейную теорию равновесия пластинок и оболочек (Н. А. Алумяэ, 1950 К. 3. Галимов, 1951, 1958). [c.235]

Часто используемым методом построения приближенного решения вариационной задачи является метод Ритца. Обобщением этого метода для невариационных задач является метод Бубнова — Галеркина — Петрова [116]. [c.86]

В теории упругости, как и во многих других областях технических наук, чрезвычайно эффективным оказался метод решения краевых задач, предложенный Ритцем и развитый далее Галерки-ным. Этот метод применим и в теории колебаний, в особенности при расчете стационарных, т. е. периодических, колебаний. Можно показать, что метод гармонического баланса содержится в методе Ритца — Галеркина как частный случай, так что метод Ритца — Галеркина можно считать обобщением метода гармонического баланса ). [c.118]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...