Принцип минимума полной потенциальной энергии

Существует также теорема [3], которую часто называют принципом минимума полной потенциальной энергии или теоремой Лагранжа в состоянии равновесия консервативной системы ее полная потенциальная энергия принимает стационарное значение, причем в устойчивом состоянии равновесия это стационарное значение — минимум. Подчеркнем, что принцип минимума полной потенциальной энергии охватывает все консервативные системы — как линейные, так и нелинейные. Нелинейность консервативной системы может быть обусловлена двумя причинами геометрическими и физическими. Геометрические нелинейности обычно связаны с большими перемещениями гибких тонкостенных систем типа стержней, мембран или оболочек. Физическая нелинейность — это нелинейность зависимости между напряжениями и деформациями в упругом твердом теле. [c.77]

Принцип минимума полной потенциальной энергии [c.22]

На вопросах устойчивости равновесия подробнее остановимся в следующем параграфе, а сейчас только подчеркнем, что принцип минимума полной потенциальной энергии охватывает все консервативные системы, как линейные, так и нелинейные. Нелинейности в консервативных системах могут быть геометрические и физические. Геометрические нелинейности обычно связаны с большими перемещениями тонкостенных систем типа стержней, мембран или оболочек. Физические нелинейности проявляются в тех случаях, когда материал не подчиняется закону Гука, а обладает более сложными упругими свойствами. [c.24]

Дифференциальное уравнение (1.64) и его граничные условия можно получить, не используя принцип минимума полной потенциальной энергии, а непосредственно рассматривая условия равновесия стержня [c.26]

Общий подход к исследованию устойчивости равновесия консервативных систем основан на принципе минимума полной потенциальной энергии. Наглядной иллюстрацией такого подхода служит описание поведения тяжелого шарика на гладкой поверхности (рис. 1.13). Потенциальная энергия такого шарика изменяется пропорционально его вертикальному смещению. Она уменьшается с опусканием шарика и увеличивается, когда шарик поднимается. Поэтому нижняя точка вогнутой поверхности (а) соответствует минимуму потенциальной энергии и положение равновесия шарика в этой точке устойчиво. Вершина выпуклой поверхности (б) соответствует стационарному, но не минимальному, а максимальному значению потенциальной энергии, и положение равновесия шарика здесь неустойчиво. Другими словами, помещенный в нижнюю точку вогнутой поверхности шарик останется [c.28]

Для приближенного удовлетворения уравнений равновесия может быть использован принцип минимума полной потенциальной энергии (см. 4.4), и вновь получены общие соотношения между усилиями и перемещениями для рассматриваемой среды. [c.139]

Прн использовании двух типов элементов, описанных в предыдущем разделе, нарушаются условия непрерывности угла наклона н, следовательно, удовлетворяется только приближенно принцип минимума полной потенциальной энергии. Одиако в следующем разделе будут приведены некоторые результаты, демонстрирующие практическую точность результатов, полученных при использовании этих элементов. Может возникнуть вопрос, всегда ли при уменьшении размеров элемента решение будет сходиться к точному Хотя этот вопрос чисто теоретический, он нуждается в ответе. [c.204]

Задача в постановке (3.6)—(3.8) является аналогичной тем, к которым приводят принципы виртуальной работы или минимума полной потенциальной энергии исключение составляет лишь то обстоятельство, что пробные функции перемещений и априори не удовлетворяют граничным условиям по перемещениям. В результате полная потенциальная энергия трещинного элемента увеличивается за счет члена, накладывающего условие (3.7). Принимая материал линейно-упругим, расширенный функционал получаем в таком виде [c.191]

Из принципа возможных работ следует, что в состоянии равновесия полная потенциальная энергия системы минимальна. Соответственно, чтобы найти действительное поле перемещений w, выражение (1.1) нужно минимизировать на множестве всех функций v, удовлетворяющих граничным условиям, и та функция, которая доставляет минимум, является искомым полем перемещений w. [c.22]

Для них можно сформулировать принцип минимума потенциальной энергии среди всех возможных перемещений действительные перемещения сообщают полной потенциальной энергии П [c.51]

Теперь из принципа минимума потенциальной энергии получим формулу для верхней границы. Пусть ш, 0 и П представляют собой перемещение, угол закручивания на единицу длины и полную потенциальную энергию, соответствующие точному решению, и пусть W , Q и П — соответствующие величины для некоторой допустимой функции. Тогда из принципа минимума потенциальной энергии следует [c.172]

Если пренебрегать слагаемыми, содержащими и ъ формулах для Xj, Иа, X, то (чтобы быть последовательными) следует внести в уравнения теории оболочек еще ряд упрощений. Это можно обнаружить, подставив формулы (1.163) в выражение для потенциальной энергии оболочки (1.112) и выведя затем из него (воспользовавшись принципом минимума полной энергии) уравнения равновесия элемента срединной поверхности в смещениях. Если выполнить указанные действия, записать полученные уравнения в терминах усилий и моментов, а затем сравнить их [c.68]

Итак, уравнения (11.63) можно рассматривать как математическую формулировку принципа стационарности потенциальной энергии. Этот принцип гласит, что если потенциальная энергия упругой конструкции (линейной или нелинейной) представляется функцией от неизвестных перемещений узлов, то конструкция будет находиться в состоянии равновесия, когда перемещения имеют такие значения, при которых полная потенциальная энергия принимает стационарное значение. Обычно конструкция находится в состоянии устойчивого равновесия, и тогда полная потенциальная энергия минимальна. При этих условиях уравнения (11.63) представляют собой запись принципа минимума потенциальной энергии. Для неустойчивых конструкций потенциальная энергия может иметь либо максимальное, либо нейтральное значение. При линейном поведении конструкции уравнения (11.63) соответствуют уравнениям равновесия метода жесткостей, который можно считать частным вариантом метода перемещений ). [c.503]

Если предположить, что заранее выполнены зависимости (5.80) и граничные условия (5.84), то полный функционал Э превращается в функционал Л принципа минимума потенциальной энергии. [c.107]

В литературе функционал (8) часто называют функционалом Лагранжа вариационной задачи (1), (2). Мы не будем пользоваться этим термином, оставив его для функционала, участвующего в формулировке принципа Лагранжа (принцип минимума потенциальной энергии) в теории упругости и теории оболочек. Функционал (8), как и все функционалы без дополнительных условий, полный. [c.36]

Вариационное уравнение Кастилиано основано на принципе минимума потенциальной энергии в случае упругого равновесия или на законе сохранения полной энергии тела при отсутствии возмущающих сил и сил сопротивления в случае движения [c.14]

Можно доказать и более общую теорему [28J, которую часто называют принципом минимума полной потенциальной энергии в положении равновесия полная потёнцильная энергия консервативной системы имеет стационарное значение, причем положение равновесия устойчиво, когда это стационарное значение-минимум. [c.24]

Дальнейшее решение задачи можно проводить так же, как в предыдущем параграфе рассмотрев условие равновесия элемента нагруженной пластины и использовав соотношения (2.53), получить ди< ерен-циальное уравнение относительно поперечного прогиба w. Но можно воспользоваться иным, вариационным путем решения задачи, основанным на принципе минимума полной потенциальной энергии. [c.62]

Обычная процедура нахождения матриц жесткости для отдельных элементов, на которые разделена конструкция, основана на предположении, что перемещения можно представить в виде степенных рядов (по координатам). В этом случае деформации находятся путем дифференцирования, а матрица жесткости получается из условия равенства виртуальных работ для внутренних и внешних сил. Если используют принцип минимума полной потенциальной энергии, то приходят к известному методу перемещений. Другой известный метод — метод сил — основан на принципе минимума дополнительной энергии. В каждом из этих подходов могут возникать трудности, связанные с возможным появлением разрывов исследуемых величин в узловых точках. Нагрузка от распределенного по поверхности элемента давления должна быть сведена к сосредоточенным силам, приложенным в узлах при этом вычисление внутренней энергии элементов может быть сложным. Если с большой математической строгостью подойти к вопросам обобщения метода, проверки его основных положений, исследования сходимости и т. д., то его еще не сразу можно применить к расчетам реальных консг-рукций. [c.106]

Первый факт объясняется тем, что отброшенные формы колебаний представляют o6ofi остаточную податливость системы. Второе обусловлено тем, что при учете большего числа фор.м лучше аппроксимируются перемещения конструкции (принцип Релея-Ритца) и, как следствие, мы получаем лучшее приближение для минимума полной потенциальной энергии системы. [c.446]

Можно показать, что в случае устойчивого равновесия экстремальное значение полной потенциальной энергии соответствует минимуму (принцип минимума потенциальной энергии, иногда называемый также принципом Грина— Дирихле). Это легко доказать для линейно-упругой задачи, если сравнить П в состоянии равновесия со значением П в смежном состоянии, характеризуемом величинами м,--1-би,- и е,/+ бе,/. Тогда устанавливается, что всегда П > П. [c.92]

Для задач линейной упругости (являющихся подклассом задач вышеназванного класса, для которых требуется положительная определенность 2 ) сходимость метода Рнтца, основанного на принципе минимума потенциальной энергии, может быть установлена для согласованных элементов (т, е. допустимых пробных функций) использованием разложения решения и в ряд Тейлора на каждом элементе. Такой подход использовался Маклеем [13, 14], Купером [10, 15] и другими авторами результаты исследований можно резюмировать следующим образом. Если представление энергии деформации содержит производные и, наибольший порядок которых равен р, то сходимость гарантируется, когда пробная функция й иа каждом элементе описывается полным полиномом степени как минимум р. Более быстрая сходимость достигается при аыборе полиномов более высокого порядка. Для таких полиномов, полных только вплоть д<) порядка р, ошибка больше и сходимость хуже, чем для совершенно полного полинома. Эти результаты согласуются с рассуждениями в разд. 8,3 и критерием (/ ). [c.173]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...