Функционалы потенциальной энергии

Условие стационарности функционала полной потенциальной энергии (3.16) для линейно упругого тела позволяет достаточно просто получить разрешающие дифференциальные уравнения и граничные условия, записанные через перемещения. Для этого в функционале потенциальной энергии деформации (3.19) следует заменить деформации е их кинематическими выражениями. В случае малых перемещений эти выражения имеют вид (3.4). Тогда функционал Лагранжа, выраженный через перемещения, определится как [c.78]

Функционалы потенциальной энергии. Составной частью действия по Гамильтону является функционал потенциальной энергии. [c.171]

Идея обобщения энергетических методов связана с обобщением утверждения, которое лежит в основе доказательства энергетических теорем потенциальная энергия системы (дополнительная работа), подсчитанная для упругого состояния, представляющего собой разность допустимого и истинного состояний, должна быть положительна. На языке функционального анализа это означает, что соответствующим образом определенное (в энергетической норме) расстояние между пробной функцией, отвечающей допустимому состоянию, и решением должно быть положительно. Соответственно отыскание среди множества кинематически (статически) допустимых пробных функций такой, для которой это расстояния равно нулю, означает, что найдено решение, доставляющее минимум функционалу потенциальной энергии системы (дополнительной работы). [c.97]

Для функционалов потенциальной энергии и дополнительной энергии удается доказать, что б П 5 О, поэтому и говорят о минимуме потенциальной и дополнительной энергии. Значение этих свойств позволяет доказать, что, минимизируя функционал потенциальной энергии, всегда получаем завышенные результаты по силе, а минимизация функционала дополнительной энергии lie [c.116]

В данной работе изложены основы теории и методы расчета муфт с упругими элементами из высокоэластичных материалов. Все прикладные вопросы прочности и жесткости муфт решены на базе современных методов теории упругости и вязкоупругости. Использован один из наиболее эффективных расчетных методов — метод конечных элементов, который дает возможность решать широкий круг задач при самых общих предположениях относительно конструктивных и реологических особенностей исследуемых изделий. Вариационная постановка задач теории упругости и сведение их к проблеме минимизации некоторых специальных функционалов потенциальной энергии деформации позволили получить достаточно точные решения при сравнительно больших деформациях, в том числе и в случае геометрически нелинейных задач. [c.4]

Для любого уравнения равновесия (1.16) указанным функционалом является выражение полной потенциальной энергии системы Э, а условиями относительного ее экстремума — условия равно- [c.13]

Полученное из принципа минимума потенциальной энергии условие Ji = U—2А = т п является очень эффективным для приближенных решений задач статики стержней. Дифференциальные уравнения, получающиеся при исследовании вариационных задач (например, уравнение равновесия стержня), интегрируются в конечном виде лишь в частных случаях. Поэтому возникает необходимость в разработке методов приближенного решения вариационных задач с использованием исходных функционалов [например, (4.217)], не переходя к дифференциальным уравнениям. Такие методы решения вариационных задач принято называть прямыми методами. [c.180]

Обратимся теперь к функционалу, имеющему важное значение в механике твердого деформируемого те.иа,— функционалу, выражающему полную потенциальную энергию деформированного тела и действующей на него нагрузки (рис. 3.2, б). Полная энергия 5 состоит из потенциальной энергии деформации тела (потенциал внутренних сил) и и анергии внешних сил (потенциал внешних сил) П [c.51]

Для любого уравнения равновесия (1.16) указанным функционалом является выражение полной потенциальной энергии системы Э, а условиями относительного ее экстремума — условия равновесия, записанные в виде равенства нулю работы всех сил на заданных перемещениях ф,(л ), приводящие к уравнениям (1.18). [c.12]

Здесь G (a) - общая потенциальная энергия напряжений. Вторая переменная Л ст представляет собой заданные объемные силы в J2, а функция F (-A a) совпадает с индикаторной функцией множества К, т.е. она равна нулю для а К и + > для остальных тензоров а [14]. Поэтому двойственная вариационная задача принимает вид sup [—(7 (а)]. Эта задача соответствует принципу максимума дополнительной энергии. В [14] указаны условия существования и единственности решения исходной задачи ы и существования решения двойственной задачи а. Для этих решений справедливо равенство функционалов J (ы, Л ) =/ (Л а, а), а также экстремальное соотношение [c.144]

При заданных свойствах тела и внешних нагрузках полная потенциальная энергия Э зависит от конкретного вида функций и, V, w и их производных. Величины, значения которых определяются выбором одной или нескольких функций, носят название функционалов. Свойства функционалов изучаются в разделе математики, называемом вариационным исчислением (см. Приложение I). [c.23]

В литературе функционал (8) часто называют функционалом Лагранжа вариационной задачи (1), (2). Мы не будем пользоваться этим термином, оставив его для функционала, участвующего в формулировке принципа Лагранжа (принцип минимума потенциальной энергии) в теории упругости и теории оболочек. Функционал (8), как и все функционалы без дополнительных условий, полный. [c.36]

Само по себе равенство (4) ничего не добавляет к условиям непрерывности, которые участвуют в формулировке вариационной задачи для Эт (табл. 3.1) и не помогает при решении задачи, если решение выполняется с помощью принципа минимума потенциальной энергии. Однако это равенство позволяет переходить к другим функционалам, использование которых может упростить решение. [c.92]

Докажите, что принцип виртуальной работы (8.62) приводит к принципу стационарности потенциальной энергии среди всех допустимых функций и, v uw, удовлетворяющих условиям (8.28а, Ь, с, d), действительное решение сообщает функционалу [c.251]

Второе замечание касается принципа минимума потенциальной энергии с функционалом (13.43). Очевидно, что уравнения равновесия на а именно условия [c.358]

Теперь из принципа стационарности потенциальной энергии, функционал которого имеет вид (14.21), выведем модифицированные принципы со смягченными условиями непрерывности. С этой целью введем определенные на S b множители Лагранжа %i, для того чтобы учесть дополнительные условия (14.7) в расширенном функционале [c.364]

В конце 14.2 было указано, что при помощи тензора напряжений Кирхгофа i j не удается выписать принцип стационарности дополнительной энергии. Однако время от времени возобновляются попытки сформулировать принцип стационарности дополнительной энергии в нелинейной теории упругости, а именно такой принцип, в котором как функционал, так и дополнительные условия выражаются только через напряжения [d—161. Из разных подходов, которые предлагались для решения этой интересной задачи, отметим два подхода, берущие начало от принципа стационарности потенциальной энергии с функционалом (14.15). [c.368]

Принцип минимума потенциальной энергии Как было указано в 17.1, допустимые функции w (д , у) в функционале Пр должны принадлежать классу С . Следовательно, в качестве допустимых функций перемещений в функционале принципа минимума потенциальной энергии могут быть выбраны функции прогиба [c.403]

Для вычисления полной энергии системы предлагался также статистический подход с привлечением теоремы вириала, позволяющей найти кинетическую энергию из достаточно точно определенной потенциальной энергии [369, 370]. Метод HKS подобен схеме Хартри— Фока, за исключением того, что нелокальных обменный оператор этой схемы заменяется на локальный оператор, который является функционалом только электронной (LD) или еще и спиновой (LSD) [373] плотности и который в принципе включает все обменные и корреляционные эффекты. В приближении LSD эти эффекты локально аппроксимируются обменным и корреляционным функционалами гомогенной спин-поляризованной электронной жидкости [374]. Большое упрош ение вычислений достигается путем комбинации методов LSD и псевдопотенциала, ибо расчетная схема в этом случае включает только валентные электроны. Такой формализм успешно применялся, например, прп определении электронной структуры димеров многих элементов [374—379]. [c.142]

Вариационный подход в методе конечных элементов не исчерпывается поиском функционала Ф по уравнению Эйлера—Лагранжа. Например, для задач расчета на жесткость наибольшее распространение получил вариационный принцип Лагранжа, в котором функционалом Ф является полная потенциальная энергия механической системы 175]. [c.144]

Отметим, что в теории упругости, например, подобному способу преобразования функционала по области к функционалу по границе (или ее части) соответствует применение теоремы Клапейрона для преобразования функционалов, отвечающих принципу минимума потенциальной энергии и принципу минимума дополнительной работы [11]. [c.205]

С учётом линейных упругих сил деформации основания, на котором лежит рельс, потенциальная энергия системы представляется функционалом [c.148]

Учёт продольных сил инерции. Для учёта инерции поворота поперечных сечений введём в рассмотрение угол поворота сечений ф. Тогда кинетическая и потенциальная энергии стержня имеют вид функционалов [c.169]

Все сказанное переносимо на распределенные системы. Мы будем рассматривать задачи, в которых кинетическая и потенциальная энергии задаются функционалами вида [c.694]

Согласно этим теоремам задача об устойчивости равновесия или стационарного движения твердого тела с жидкостью приводится к задаче минимума потенциальной энергии V или измененной потенциальной энергии W системы. В случае полного заполнения жидкостью полости выражения V ш W являются функциями конечного числа переменных qj. В случае частичного заполнения полости V и W представляют собой функционалы, зависящие от формы объема т и свободной поверхности жидкости, а также от положения тела. Так как свойство минимума является локальным, то для строгого решения задачи минимума, за исключением особых случаев, можно ограничиться рассмотрением величин второго порядка малости. Поэтому для решения этой задачи можно использовать методы теории малых колебаний, если смещение свободной поверхности от положения равновесия представить в виде ряда пф системе собственных функций соответствующей краевой задачи. Таким методом был решен ряд конкретных задач о минимуме V и W (Н. Н. Моисеев, 1952 Г. С. Нариманов, 1956 В. В. Румянцев, 1962). Однако вычисления при [c.33]

Из этого выражения следуют опять физический закон, уравнения равновесия, а также граничные условия в напряжениях на Л и в перемешениях на Аи- Если в функционале Рейсснера варьировать только а,-/ (т. е. принять бы, = 0), то из нега вновь будет следовать принцип стационарности дополнительной потенциальной энергии. [c.96]

В силу статических гипотез Кпрхгофа в функционале потенциальной энергии / пренебрегаем слагаемыми, со- [c.58]

Очень плодотворным оказывается применение метода Ритца сразу по двум функционалам — функционалу потенциальной энергии и функционалу дополнительной энергии. Два таких приближенных решения образуют вилку [см. п. (41) ], внутри которой находится точное решение. [c.78]

Для определения коэффициентов Ak и воспользуемся функционалом потенциальной энергии и методом Ритца. Полная потенциальная энергия П определяется по выражению (140). Так как w= —Л на верхней поверхности, то поверхностный интеграл принимает вид [c.79]

Другая вариационная постановка задачи кручения бруса базируется на принципе минимума потенциальной энергия системы (см. гл. V, 5). В этом случае приходим к функционалу /7, уравнением Эйлера—Остроградского которого является уравнение Лапласа (7.54) для функции кручения ф (оно получено из уравнений равновесия Ламе), естественными граничными условиями — граничные условия (7.55) для функции ф. Читателю, желаю1Цему ознакомиться с такой постановкой вариационной задачи кручения, можно рекомендовать книгу [35]. [c.179]

Вариационные принципы, в которых истинность указанных полей гарантирует стационарность частных функционалов, постулируют выполнение и тех или иных дополнительных условий. В 15.11 и 15.12 подробно рассматриваются два из них —вариационный принцип Лагранжа (потенциальной энергии системы) и вариационный принцип Менабреа — Кастильяно (дополнительной работы) применительно к стержневым системам и пространственной задаче классической (линейной) теории упругости. В 15.20 мы возвратимся к этим принципам еще раз. В 15.21 обсуждаются вариационные принципы, соответствующие другим частным функционалам. [c.457]

Рассмотренная процедура МКЭ характерна для метода перемещений. Функционал (1.2) называется функционалом полной потенциальной энергии системы или функционалом Лагранжа. Если в основу решения задачи положен функционал Кастильяно, то такой вариант МКЭ аналогичен методу сил, а если функционал Рейсснера, то смешанному методу. В практической реализа- [c.7]

Для краевой задачи связанной теории термоупругости в [115] предложены вариационные формулировки, соответствующие принципам минимума потенциальной энергии системы, Кастильяно, Хеллингера-Рейсснера и Ху-Вашицу, причем в функционалы с помощью свертки явно включены начальные условия. Наиболее удобно для решения краевых задач использовать принцип минимума потенциальной энергии системы или принцип Лагранжа для полей перемещений и температуры, который состоит в следующем [21]. [c.193]

Как было показано ранее, задачу теории упругости для малых перемещений можно сформулировать вариационными методами, предположив существование трех функций Л, Ф, Y. Точные дифференциальные уравнения и граничные условия тогда получаются из условий стационарности общей потенциальной энергии или родственных функционалов. Однако одно из основных преимуществ вариационного исчисления — это его применимость для получения приближенных решений. Так называемый метод Релея — Ритца — один из лучших способов получения приближенных решений путем использования вариационното метода [2, 3, 12—17]. Проиллюстрируем метод Релея—Ритца двумя примерами. [c.61]

Как отмечалось в 2.8, для получения приближенных собственных значений можно использовать метод Релея—Ритца, как только получены выражения для варьируемых функционалов. Если этот метод применить к принципу стационарности потенциальной энергии (7.45), то можно предположить [c.192]

В этом случае принцип минимума потенциальной энергии формулируется следующим образом среди допустимых полей перемещений, удовле-птряюищх условиям совместности, условиям в перемещениях наЗ и условию несжимаемости, действительное решение ) обеспечивает функционалу [c.323]

Соответствующий принцип мы назовем третьим модифицированным принципом потенциальной энергии со смягченными граничными условиями, причем независимыми варьируемыми величинами являются и fi,- при дополнительных условиях (13.7). Из этих величин могут быть выбраны независимо на Кд и на Уь, тогда как должно быть одним и тем же на 81ь и Sla- Функционалы ПтР2 и П рз эквивалентны введенным Тонгом Гб]. Для краткости модифицированные принципы со смягченными условиями будем называть далее просто модифицированными принципами. Функционалы (13.44), (13.53), (13.59) являются основой конечно-элементной модели, называемой гибридной моделью в перемещениях. [c.354]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...