Функции пробные допустимые

Идея обобщения энергетических методов связана с обобщением утверждения, которое лежит в основе доказательства энергетических теорем потенциальная энергия системы (дополнительная работа), подсчитанная для упругого состояния, представляющего собой разность допустимого и истинного состояний, должна быть положительна. На языке функционального анализа это означает, что соответствующим образом определенное (в энергетической норме) расстояние между пробной функцией, отвечающей допустимому состоянию, и решением должно быть положительно. Соответственно отыскание среди множества кинематически (статически) допустимых пробных функций такой, для которой это расстояния равно нулю, означает, что найдено решение, доставляющее минимум функционалу потенциальной энергии системы (дополнительной работы). [c.97]

Обратно, если зависимость (3.67) справедлива для некоторой непрерывно дифференцируемой функции и и для всех допустимых пробных функций то, применяя к (3.67) еще раз теорему Остроградского-Г аусса, получаем [c.86]

Если ие указаны дополнительные условия гладкости, одно и то же решение может быть найдено независимо от того, сделан ли выбор нз ограниченного множества пробных функций, указанных в а), нлн более широкого класса, допускаемого в в). Это решение непрерывно вместе с первой и второй производными. Как показано Курантом и Джоном [7], вариационная процедура всегда дает решение, непрерывное вместе с производными, еслн допустимые пробные функции обладают такой же гладкостью. [c.164]

В следующих разделах рассматриваются ошибки пробной функции в связи с ее поведением в пределах элемента, разрывности иа границе между элементами и ее допустимости. [c.170]

Для класса задач, описываемых уравнением (8.3), оператор имеет порядок 2р, т. е. имеет высшую производную порядка 2р, тогда как квадратично-линейный функционал задачи содержит производные с наибольшим порядком р. Главные граничные условия содержат производные вплоть до порядка р — 1, а естественные граничные условия включают производные порядка р, p-t-1,. .., 2р—I [II], Для того чтобы пробная функция й была допустимой, в общем случае она должна быть непрерывной и обладать непрерывными производными вплоть до порядка р—1 во всей рассматриваемой области. Как показано в разд. 7.4, вариационная процедура верна только в том случае, если пробные функции принадлежат классу допустимых функций. [c.177]

Пробные функции ф, используемые в (11,41), должны принадлежать классу допустимых функций, В данном случае требуется, чтобы оин были непрерывны и имели кусочно-непрерыв- [c.266]

В нашем примере допустимым пространством Же будет пространство непрерывных функций. Кусочно постоянные функции сразу отбрасываются. Поэтому проще всего взять в качестве множество функций, линейных на каждом интервале [(/—1)/г,/Л], непрерывных в узлах х = к и равных нулю при л = 0. Производная от такой функции кусочно постоянна и обладает, очевидно, конечной энергией таким образом, S — подпространство пространства Же- Такие пробные функции мы будем называть линейными элементами. [c.39]

Поскольку это равенство должно быть справедливым для произвольной пробной функции ф, отсюда следует (2.31). Однако уравнение (2.33) имеет более широкий класс решений, поскольку допустимые функции р (х, ) не обязаны иметь производные. Функции р (ж, ), удовлетворяющие равенству (2.33) для всех пробных функций ф, называются слабыми решениями уравнения (2.31). [c.44]

На первом этапе используются методы случайного или детерминированного поиска. Они состоят в том, что в пространстве допустимых параметров берутся точек и для каждой из них вычисляется значение функции качества. Выбираются, таким образом, JV конкретных вариантов исследуемой конструкции и прямым перебором этих вариантов находится наилучший при этом считается, что он находится поблизости от искомого оптимального варианта (вблизи глобального экстремума). В методах случайного поиска, называемых также методами Монте-Карло, N пробных точек в пространстве параметров выбираются случайным образом [77, 267]. В методах детерминированного поиска точек заполняют исследуемое пространство параметров в определенном смысле равномерно [285]. Опыт показывает, что при небольшом числе испытаний N более эффективны методы детермиийровапиого поиска. Один из таких методов, так называемый метод ЛП-иоиска, оказался эффективным при решении многих задач динамики машин [22, 146]. [c.270]

Следовательно, при таких плотностях условие эргодичности фактически выполняется. С другой стороны, при достаточно высоких плотностях оно не выполняется, по крайней мере в узком смысле. Нижеследующее рассмотрение этого вопроса основано главным образом на представлениях и терминологии, использованных в статье Зальсбурга и Вуда [80]. Примем предположение, которое, по-видимому, справедливо, хотя и не доказано [67], а именно будем считать, что при 7 = Уо допустимая область [ /Jv (г г, , Г1д-) = 0] (ЗТУ — 3)-мерного конфигурационного пространства точно переходит в (]У — 1) точек, представляющих г. ц. к. конфигурации. (Гексагональная плотноупакованная конфигурация несовместима с заданным значением N и формой Г.) Поскольку в переходах с единичным шагом в каждый момент перемещается только одна частица, очевидно, что в предельном случае высокой плотности М — 1) конфигураций представляют не единый эргодический класс, а (ТУ — 1) различных эргодических классов, каждый из которых содержит лишь одно состояние. Теперь предположим, что, когда V становится немного больше Ко, каждая из этих точек расширяется, переходя в замкнутое гнездо , или область допустимых состояний, причем при достаточно малом расширении с фиксированным числом N каждое такое гнездо изолировано от других. Для того чтобы разумная доля шагов была успешна (таковыми мы считали шаги, для которых пробная конфигурация принимается как следующая конфигурация), параметр максимального смещения б в (13) обычно выбирается из условия б = О а — а). Если V лишь незначительно превышает Уд, то последнее условие соответствует условию 8 а. Это обеспечивает существование изолированного эргодического класса состояний в каждом из (Л — 1) гнезд. Многократный интеграл (1), модифицированный с учетом (34), соответствует усреднению по всем таким гнездам, тогда как случайные блуждания метода Монте-Карло, как мы это ун е видели, воспроизводят среднее значение (/) только по одному гнезду, в котором выбрано начальное состояние. Тем не менее в данном случае оба подхода эквивалентны для любой функции / (х), симметричной относительно перестановки молекул, так как при этом интегралы но различным гнездам идентичны между собой. Большой интерес представляет вопрос, не появятся ли при дальнейшем расширении V при фиксированном числе N другие изолированные гнезда состояний, не эквивалентные гнездам г. ц. к. структуры. Позже, при рассмотрении конкретных примеров, будут даны эмпирические подтверждения того, что они действительно 20-0720 [c.305]

Замечание. Мы не хотим здесь вдаваться в теорию ультра-обобщепных функций Джаффе. Всё, что нам нужно, это то, что в этой теории допустима сильная локализация, а именно для каждого открытого множества существует пробная функция с носителем в этом множестэе. Подробности см. в [65]. [c.190]

Ранее отмечалось, что в вариационной формулировке граничные условия можно разделить на главные и естественные. Из вариационного исчисления известно, что любая пробная функция, кроме того что она должна быть допустимой, должна удовлетворять главным граничным условиям, тогда как естественные граин ные условия удовлетворяются в качестве естественного следствия вариационной постановки задачи. [c.96]

Важно, чтобы была совершенно понятна роль, которую играюх условия допустимости, налагаемые на пробные функции в вариационной задаче. Функционал для такой задачи может быть записан в общем виде следующим образом [c.162]

Следует отметить, что требования к гладкости, налагаемые на пробную функцию определяющим дифференциальным уравнением, функционалом и вариационными преобразованиями ), вообще говоря, различны. Рассмотрим в качестве примера задачу нз разд. 7.3.2, которой соответствует дифференциальное уравнение второго порядка (7.42). В физической задаче, описываемой этим уравнением, физическое решение обычно является непрерывным вместе с непрерывными первой и второй производными. Функционал (7.33) содержит только первые производные и может быть вычислен, еслн пробная функция непрерывна и имеет кусочно-непрерывные первые производные. Еслн бы функция сама была кусочно-непрерывной, то первые производные были бы неопределенными ) в точках разрыва и значение интеграла соответственно было бы неопределенным. Хотя вариационные преобразования между (7.35) и (7.38) накладывают требования непрерывности пробной функции вместе с непрерывностью первых производных, заметим, что формулировка может быть обобщена на случай непрерывности пробной функции и кусочной непрерывности первых производных. Условия для этого случая являются самыми слабыми доп> стимыми условиями относительно гладкости функций, нЛагаемыми вариационной процедурой, и поэтому рассматриваются как условия допустимости задачи. [c.163]

Класс пробных функции а) входит в классы 6) и в), поскольку непрерывную функцию можно рассматривать как частный случай кусочно-непрерывной функции. Рассмотрим теперь случай, когда решение дифференциального уравнения ищется посредством выбора среди допустимых пробных функций именно той функции, которая обеспечивает стацнонарное значение функционала. [c.164]

Из вышеизложенного следует, что выбранная для некоторой задачи пробная коиечноэлементиая функция не должна нарушать вариационной процедуры, т. е. ее гладкость должна удовлетворять условиям допустимости ). [c.165]

Для задач линейной упругости (являющихся подклассом задач вышеназванного класса, для которых требуется положительная определенность 2 ) сходимость метода Рнтца, основанного на принципе минимума потенциальной энергии, может быть установлена для согласованных элементов (т, е. допустимых пробных функций) использованием разложения решения и в ряд Тейлора на каждом элементе. Такой подход использовался Маклеем [13, 14], Купером [10, 15] и другими авторами результаты исследований можно резюмировать следующим образом. Если представление энергии деформации содержит производные и, наибольший порядок которых равен р, то сходимость гарантируется, когда пробная функция й иа каждом элементе описывается полным полиномом степени как минимум р. Более быстрая сходимость достигается при аыборе полиномов более высокого порядка. Для таких полиномов, полных только вплоть д<) порядка р, ошибка больше и сходимость хуже, чем для совершенно полного полинома. Эти результаты согласуются с рассуждениями в разд. 8,3 и критерием (/ ). [c.173]

Согласованность требует непрерывностн только пробных функций й и й, но не их производных. В работе [23] показано, что для допустимости й и й необходима их непрерывность, непрерывность первых и кусочная непрерывность, вторых производных. [c.178]

Это доказательство применяется без всяких изменений ко всем таким задачам минимизации, и нет нужды повторять его в каждом случае. Необходимое и достаточное условие для сходимости метода Ритца очевидно для всякой допустимой функции и ее расстояние до пространства пробных функций S (измеренное по энергии) должно стремиться к нулю при h->0. Из доказательства предыдущей теоремы видно, что эту сходимость можно проверять на плотном подпространстве, т. е. таком, пополнение которого в энергетической норме включает все допустимые функции сходимость тогда будет автоматически следовать для каждой функции и. Однако интересно установить скорость сходимости в энергетической норме в случае, когда и — достаточно гладкая функция. [c.63]

В общем методе Ритца больше нет смысла задавать себе вопрос, является ли 5 подпространством в Ж е, так как Ж в. — это уже не векторное пространство, оно сдвинуто относительно нуля. По этой причине пусть 5 имеет тот же вид, что и прежде. Пробные функции v не должны лежать в допустимом пространстве Ж, но их разности обязаны лежать в пространстве Уд функций с однородным условием. Эти разности v — v v образуют конечномерное пространство 5, которое должно быть подпространством в Уо- [c.68]

Стандартное условие согласованности хорошо известно пробная функция и ее первые т—1 производных должны непрерывно продолжаться за границы элемента. Это условие, очевидно, достаточно для допустимости, так как т-е производные могут в худшем случае иметь скачок между элементами, а их энергия конечна. С другой стороны, пример loglog(l/г) показывает, что вряд ли это необходимое условие согласованности существуют функции, не обладающие т— 1 непрерывными производными, но принадлежащие и являющиеся допустимыми. К счастью, такие нехорошие функции не могут быть кусочно полиномиальными. Если о — полином. (или отношение полиномов) на каждой стороне границы элемента, то о принадлежит Ж тогда и только тогда, когда производные порядка, меньшего т, непрерывно продолжены за границу элемента. Залог успеха метода конечных элементов состоит в построении таких элементов, чтобы обеспечить удобный базис и одновременно высокую степень- аппроксимации. [c.93]

Предположим, что и — решение п-мерной эллиптической вариационной задачи порядка т. Это означает, что и минимизирует I v) на допустимом классе Ж в, определяемом однородными или неоднородными главными краевыми услс иями, и что (в силу эллиптичности) энергия деформации положительно определена а (о, о)> ст о . Предположим также, что — функция, минимизирующая /(о) на пространстве пробных функций S , а й — решение задачи, возмущенной ошибками численного интегрирования, координаты вектора й удовлетворяют уравнению KQ = F. Предположим, наконец, что Ф представляет собой фактически вычисленное решение, отличающееся от й из-за ошибок округления численного решения. Очевидно, что три приближения содержат нарастающим образом источники ошибки. Мы хотим выяснить порядки величин этих ошибок для задач с гладкими решениями и для типичных конечных элементов. [c.128]

СТВО сходимости для двух наиболее важных смешанных элементов, в которых моменты соответственно постоянны и линейны в каждом треугольнике. Его доказательство устанавливает после исключения неизвестных перемещений и определения неизвестных моментов как функций, минимизирующих положительно определенное выражение (дополнительную энергию), особое свойство. Это свойство совпадает с известным условием Ритца пробные моменты в дискретном случае содержатся в пространстве допустимых моментов (тех, которые достигают равновесия для предписанной нагрузки) полной непрерывной задачи. Поэтому, как и в методе Ритца, сходимость основана на теории приближений и ее можно доказать. Для других смешанных (и гибридных) элементов естественное доказательство проверяется из согласованности (или аппроксимируемости) и устойчивости. Тогда общая теорема Бабушки [Б5] дает сходимость, Бреззи доказал устойчивость для одного гибридного элемента, и его прием распространяется на общую теорию. [c.151]

Одно из основных правил в теории Ритца состоит в том, что пробные функции в вариационном принципе должны быть допустимы. В наших обозначениях каждая функция и должна принадлежать пространству Же, а — минимизировать / у ). Сформулировать это правило просто, но оно нарушается повседневно и по важным причинам. В самом деле, это правило включает три условия и все они представляют вычислительные трудности — возможно преодолимые, но серьезные [c.203]

Пусть Q заменяется вписанным многоугольником Q , а пробные функции приравниваются нулю на прямых сторонах границы Г . Представим себе, что они доопределены нулем с внешней стороны границы Г . Тогда эти функции допустимы для вариационной задачи они равны нулю на истинной границе Г, а пробное пространство — настоящее подпространство в Следовательно, основная теорема 1.1 метода Ритца гарантирует, что ы минимизирует ошибку в энергии деформации [c.228]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...