Колебание бесконечно малое

Колебание бесконечно малое 426, 441 [c.512]

Следующие рассуждения будут относиться к колебаниям бесконечно тонкого стержня. Мы ограничимся случаем, когда колебания бесконечно малы и стержень первоначально был прямой п изотропный. Нетрудно найти дифференциальные уравнения движения с помощью принципа Гамильтона из выражений (6) и уравнения (27) предыдущей лекции. В последнем надо прежде всего принять во внимание, что, основываясь на изложенных выше предположениях, по уравнению (25) предыдущей лекции будем иметь [c.361]

Долгое время никаких работ по теории колебаний вязкой жидкости в печати не появлялось. Однако в течение последних семи-восьми лет была опубликована серия работ, посвященных рассматриваемой проблеме. Для этого было много причин, и среди них немаловажную роль играли запросы ракетной техники и проблемы индуцирования ветром ветровых волн. Несмотря на то, что пока еще решены только частные задачи, уже сейчас четко различаются два направления в построении теории. Поясним это на одном примере. Наиболее простыми задачами теории волн являются задачи о свободных колебаниях бесконечно малой амплитуды. Этим термином принято называть задачу отыскания решения линеаризованных уравнений, имеющего вид [c.70]

Обозначим через А положение центра тяжести тела, когда оно находится в по ложении равновесия, а через О — положение центра тяжести в момент t (рис. 53). Тогда, поскольку в положении равновесия высота центра тяжести имеет максимальное или минимальное значение, то касательная к кривой АО в точке А горизонтальна. Пусть нормаль ОС к этой кривой в точке О пересекается в точке С с нормалью, проведенной в точке А. Тогда, если колебания бесконечно малые, то точка С является центром кривизны этой кривой в точке А. Пусть АО = s, угол [c.390]

Колебательные движения механических систем удобно описывать уравнениями Лагранжа в обобщенных координатах. При составлении уравнений мы будем отсчитывать обобщенные координаты всегда от положения устойчивого равновесия, относительно которого и происходят колебания механических систем. В большинстве случаев эти уравнения нелинейны и их интегрирование связано с большими трудностями. Однако при решении многих технических задач оказывается возможным в этих уравнениях отбрасывать квадраты и более высокие степени координат и скоростей. Такая операция называется линеаризацией уравнений. Линеаризованные уравнения не могут, конечно, в точности отобразить движения системы и дают несколько искаженную картину явления. Искажения тем менее существенны, чем меньше отброшенные члены уравнений в сравнении с оставшимися. Если значения координат и скоростей во все время движения остаются очень малыми, то их квадратами и высшими степенями вполне можно пренебречь, подобно тому, как в дифференциальном исчислении пренебрегают бесконечно малыми высших порядков. Таким образом, мы пришли к заключению, что колебания, описываемые линеаризованными уравнениями при сделанном выборе начала отсчета, должны быть только малыми колебаниями около положения равновесия. [c.435]

Согласно условиям задачи мы знаем величину S и период т повторяющихся импульсов, но ничего не можем сказать заранее о том, какова будет начальная абсцисса Хо и начальная скорость хс, в установившемся режиме колебаний. Для определения этих величин рассмотрим бесконечно малый интервал времени (т — е, т- -е), в течение которого точка претерпевает толчок. Как уже было указано, за этот интервал времени абсцисса точки не успевает измениться и, следовательно, [c.80]

Если колебания затухают медленно, то два смежных значения амплитуды отличаются на малую величину. Поэтому, хотя амплитуды колебаний имеют дискретный ряд значений, при малом затухании можно рассматривать амплитуды смещения и скорости как непрерывные функции времени, а AV и At — как бесконечно малые элементы и, проинтегрировав выражение (17.14) [c.598]

В случае же сплошного спектра, когда его гармонические составляющие сплошь заполняют тот или иной конечный участок частот, при конечных амплитудах всех гармонических составляющих на этот участок частот приходилась бы бесконечно большая энергия колебаний. Для того чтобы на конечный участок частот приходилась конечная энергия колебаний, амплитуды отдельных гармонических составляющих должны быть бесконечно малыми. Тогда плотность амплитуд , приходящаяся на бесконечно малую область частот, оказывается величиной конечной. Распределение плотностей амплитуд по частотам спектра и является основной характеристикой состава сплошного спектра, аналогично тому как величины амплитуд отдельных гармонических составляющих являются основной характеристикой состава дискретного спектра. [c.625]

При А и ОС, стремящихся к нулю, получим для бесконечно малых колебаний математического маятника [c.122]

Маятник Фуко. Рассмотрим бесконечно малые колебания так называемого маятника Фуко, другими словами, колебания математического маятника на вращающейся Земле. В точке О подвеса маятника Фуко выберем местные оси координат [c.129]

Если мы рассматриваем бесконечно малые колебания, то можем принять приближенно z Z. В этом приближении первые два уравнения дают [c.130]

Поскольку форма границы раздела не известна заранее, а является одной из основных целей анализа волновых течений, то в общей постановке аналитическое решение задачи становится недоступным. Второе допущение, используемое в классической теории волновых движений — допущение о малости амплитуды колебаний поверхности раздела — позволяет преодолеть эту трудность. Как будет показано в дальнейшем, в рамках теории бесконечно малых волн условия совместности фактически относятся к невозмущенному состоянию границы раздела фаз. [c.126]

Подставляя (6.3.15) в выражение для (6.3.14) и учитывая (6.1.11), получим, что и числитель этого выражения также равен нулю. Отсюда следует, что при выполнении условия (6.3.15) числители и знаменатели (6.3.14) представляют собой бесконечно малые одинакового порядка, и поэтому амплитуды колебаний в обоих контурах остаются конечными, несмотря на наличие внешних сил резонансной частоты. Правая часть соотношения (6.3.15) равна —1/> 1, где — коэффициент распределения амплитуд собственных колебаний на частоте СО1 записать в виде [c.253]

Для рассмотренной выше расчетной модели бесконечно большие по амплитуде колебания при резонансе может вызвать и бесконечно малая внешняя сила. Чтобы понять, как это происходит, рассмотрим процесс развития резонансных колебаний. При этом придется принять во внимание и свободные колебания. Итак, пусть начальные условия таковы, что колебание можно описать формулой (8.17). Вблизи резонанса q = р + Ар, где Ар О. Но так как Ар мало, можно принять os Apt = 1, sin Apt = Apt и, следовательно, [c.225]

Если уменьшать начальную скорость таким образом, чтобы плоскость П приближалась к точке /Ид, то обе величины Как будут одновременно стремиться к одному и тому же пределу, а именно, к значению /р в наинизшей точке, которое мы отметим индексом нуль. Поэтому, когда колебание будет иметь бесконечно малую амплитуду, продолжительность одного простого полуразмаха будет равна [c.378]

Для бесконечно малых колебаний (а = 0) получаем, таким образом, [c.383]

Бесконечно малые колебания тяжелой точки около наинизшей точки поверхности. Рассмотрим на поверхности точку О, в которой касательная плоскость горизонтальна и поверхность в окрестности этой точки расположена над этой касательной плоскостью. Это положение О является положением устойчивого равновесия для тяжелой материальной точки, движущейся без трения по поверхности. Мы исследуем бесконечно малые колебания около этого положения равновесия. Примем точку О за начало координат, ось Ог направим вертикально вверх, а оси Ох и Оу — по касательным к линиям кривизны, проходящим через точку О. Если координату z поверхности разложить для малых значений лг и у по формуле Маклорена, то уравнение поверхности будет иметь вид [c.426]

Эта формула позволяет определить значение Ч", когда траектория заключена между двумя бесконечно близкими параллелями. Если, кроме того, обе эти бесконечно близкие параллели находятся вблизи самой низкой точки сферы, то а будет очень мало отличаться от /, а Ж — от лД В этом последнем случае траектория близка к маленькому эллипсу. Такой же результат мы получим дальше при рассмотрении бесконечно малых колебаний. [c.438]

Бесконечно малые колебания. Вводя нормальную реакцию N, имеем следующие уравнения движения маятника [c.441]

Если колебания достаточно малы, то л и у будут оставаться очень малыми. Мы будем рассматривать их как бесконечно малые первого порядка [c.441]

Пластинка, предполагаемая весомой, начинает колебаться вокруг закрепленной горизонтальной прямой АС. Определить период бесконечно малых колебаний. [c.135]

Для колебаний конечных уравнение движения можно найти по теореме кинетической энергии T = U- - h. Но для бесконечно малых колебаний мы [c.294]

Требуется найти бесконечно малые колебания около вертикали, которая является положением равновесия. [c.299]

Для нахождения бесконечно малых колебаний достаточно взять в выражениях для и и Т только члены второго порядка [c.300]

Найти бесконечно малые колебания системы вокруг положения устойчивого равновесия. [c.358]

Продолжительность т бесконечно малого колебания простого маятника выражается формулой [c.134]

Эта формула дает значение для половины периода бесконечно малого колебания маятника. [c.187]

Следует заметить, что 4а есть радиус кривизны циклоиды в ее нижней точке, что позволяет приравнять Т полу-периоду бесконечно малых колебаний простого маятника. [c.192]

Бесконечно малые колебания сферического маятника. — Прежде чем рассматривать задачу в общем случае, следует изучить случай, когда угол между нитью ОМ и вертикалью остается все время очень малым. Мы будем предполагать этот угол настолько малым, чтобы можно было пренебречь квадратами отношений х 1 и у 1 по сравнению с единицей. При такой степени приближения имеем, в силу уравнения (2), [c.198]

Она равна, таким образом, периоду бесконечно малого колебания простого маятника той же длины. Если Vq = О, то движение сферического маятника приводится к движению простого маятника и очень мало отличается от последнего, если скорость Vq мала. [c.200]

Эта величина совпадает с полным периодом бесконечно малого колебания простого маятника длины z. [c.207]

Бесконечно малые колебания свободного маятника в точке Земли на широте к совпадают с колебаниями, относительно неподвижных осей при условии, что движение отнесено к подвижным осям, вращающимся вокруг вертикали данного места, в сторону, противоположную вращению Земли, с угловой скоростью да sin . [c.223]

Все свойства, установленные для простого маятника, применимы поэтому и к физическому маятнику. Его движение является колебательным и периодическим. Бесконечно малые колебания изохронны, и период простого колебания (половина периода полного колебания) определяется асимптотической формулой [c.76]

Полное интегрирование рассматриваемой системы представляет трудную задачу, и мы не будем ею заниматься. Мы ограничимся в нашем рассмотрении бесконечно малыми колебаниями маятника вокруг положения устойчивого равновесия. Покажем сначала, что при этом можно привести уравнения движения к линейной форме и найти их общее решение. [c.150]

Бесконечно малые колебания маятника. — Пусть ОГ есть ось, проходящая через центр тяжести тела, п а, Ь, с — ее направляющие косинусы. В положении устойчивого равновесия ось ОГ совпадает с вертикалью Oi i (имеющей в теле направление а, р, у). Если ось ОГ отклонить очень мало от этой вертикали, то разности [c.150]

Применимость принципа суперпозиции ( 83), принимаемого в обычных акустических рассуждениях, зависит от допущения, что рассматриваемые колебания бесконечно малы или во всяком случае подобны по характеру бесконечно малым колебаниям только при этом предположении закон Ома находит непосредственное применение. Одно явное исключение из этого закона было известно давно. Это — комбинационные тоны, открытые Зорге и Тартини в прошлом [XVIII] столетии. Если заставить одновременно сильно звучать два тона с интервалом, например в большую терцию, то будет слышен в добавление к двум звукам еще один низкий звук. В указанном частном случае, когда первичные, или [c.438]

Колебания стерленя нлн струны можно тоже рассматривать как колебания связанной системы, состоящей из большого числа бесконечно малых элементов, связанных между собой упругими взаимодействиями и обладающими мнолшство.м нормальных частот. [c.198]

Спрашивается, в чем же состоит порочность подобного способа нахождения решений для рассматриваемого случая Ответ на этот вопрос мы находим в уже отмеченном свойстве неизо-хронности колебаний системы. В самом деле, выбранная нами форма решения предусматривает существование движения с постоянным периодом 2я/(Оо, т, е, периодом колебания в нулевом приближении. В действительности же период движения с конечной амплитудой принципиально отличен от периода колебаний системы с бесконечно малой амплитудой. Поэтому и получается указанное нами противоречие, которое может быть ликвидировано только посредством отыскания решения с периодом, отличающимся от периода колебаний в нулевом приближении. [c.27]

Для разобранного в примере IV п. 366 эллиптического маятника зычислить период бесконечно малых колебаний маятника. Каким становится этот период при неограниченном возрастании /я [c.132]

Пример, в двух непрдвижных точках А и А (рис. 262), лежащих на горизонтальной оси Ох на одинаковых расстояниях О А = О А — а 01 начала О, привязаны две невесомые нити АМ и А М одинаковой длины I, несущие однородный тяжелый стержень ММ длины 2а, равной АА. Этот стержень имеет в середине О бесконечно малое отверстие, через которое проходит ось Ог, направленная вертикально вверх. Система слегка отклоняется от своего положения равновесия М М и предоставляется самой себе без начальной скорости. Исследуем малые колебания. [c.294]

Эти линейные уравнения с постоянными коэффициентами и без вторых частей представляют собой шесть уравнений бесконечно малых колебаний маятника, о которых было сказано выше. В этом случае также имеется один первый интеграл, известный а priori. В самом деле, имеем рз y2 1, [c.151]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...