Преобразование координат точечное

Преобразование координат точечное 37, 142 [c.402]

Далее в этой главе будет введена более удобная запись уравнений движения, ковариантная по отношению к произвольным точечным преобразованиям i) вида (4). Эта запись для системы из N точек будет содержать только ЗЛ/- -1 функций, меняющихся при преобразовании координат выражения для этих функций сравнительно просты, и они имеют ясный механический смысл. Более того, в важном случае движения в произвольном потенциальном (в том числе и в нестационарном) поле уравнения, описывающие систему из N точек, будут содержать лишь одну такую функцию. [c.123]

Преобразования называются точечными, если описывающие их формулы содержат только координаты точек и время и не содержат производных от координат и если время при этом не преобразуется. Случай, когда преобразуются не только координаты, но и время, будет рассмотрен далее (см, гл, VII). [c.123]

Система, начало, оси, задание, определение, нахождение, преобразование, дифференцирование, число, вариации, начальные возмущения, точечное преобразование. .. координат. С помощью, в качестве. .. координат. Понятие. .. о координатах. Зависимость, соотношения. .. между координатами. Принцип Лагранжа. .. в обобщённых координатах. Вектор. .. обобщённых координат. [c.32]

Как известно из предыдущего, тензорное исчисление является аналитическим аппаратом, приспособленным для построения выражений, инвариантных относительно точечных преобразований координат. [c.386]

Очевидно, надо отличать инвариантность относительно систем дифференциальных уравнений и инвариантность относительно точечных преобразований. Инвариантность относительно системы дифференциальных уравнений требует лишь независимости результата некоторой дифференциальной и интегральной операции, определенной в многообразии изображающих точек, от времени и не связывается со способом преобразования координат этого многообразия. [c.386]

Такой вид имели, например, уравнения ортогонального преобразования или уравнения перехода от декартовых координат к полярным. Мы будем называть такие преобразования точечными. Однако в методе Гамильтона импульсы являются такими же независимыми переменными, как и обобщенные координаты. Поэтому мы должны расширить понятие преобразования координат и включить в него одновременное преобразование как независимых координат qi, так и независимых импульсов Pi- Таким образом, мы будем иметь дело с преобразованием, описываемым уравнениями [c.264]

С этим преобразованием координат можно связать определенную геометрическую картину. Пусть q так же, как и <7 ,— прямоугольные координаты в п-мерном пространстве. Будем рассматривать точки в <7-пространстве и точки в -пространстве. Некоторой точке Р в (/-пространстве соответствует определенная точка Р в (/-пространстве. Поэтому преобразование вида (1.4.3) называется точечным преобразованием . В некоторой области точки -пространст-ва находятся во взаимно однозначном соответствии с точками (/-пространства. Мы имеем, таким образом, отображение и-мерного пространства самого на себя. Это отображение не только удовлетворяет обычным требованиям взаимно однозначного соответствия. Сохраняется непрерывность. Окрестность точки Р отображается в окрестность точки Р и наоборот. Можно утверждать даже большее. Прямая линия в (/-пространстве не остается прямой в (/-пространстве. Однако по мере уменьшения размеров области соотношения [c.37]

Симметрия. При локальных (точечных) преобразованиях координат и времени максимальную Ли группу симметрии, не меняющую вид ур-ний Максвелла с токами (8), составляют наряду с линейными 6-параметрич. преобразованиями Лоренца = не только очевидные 4-параметрич. преобразования сдвига = л + а (см, Пуанкаре группа) и 1-параметрич. масштабные преобразования л"-формные [c.522]

Произвольные точечные преобразования координат в пространстве Минковского, т. е. переход к криволинейным координатам (общий принцип относительности — отсутствие преимущественных систем отсчета). [c.668]

Обычное трехмерное пространство образует трехмерное точечное многообразие. Введем декартову систему координат. Каждой точке Р соответствует набор координат х = (ж, /, г). Если мы положим х = (р Р), х = (р2 Р), ТО получается связь между х и х, которую называют преобразованием координат. Например, преобразование от декартовых координат XI = X, Х2 = У, х = г К цилиндрическим координатам х = р, Х2 = 2Гз = 2 определяется соотношением [c.9]

Несмотря на простоту и наглядность индуктивного метода, предпочтение все-таки следует отдать второму способу построения классической механики. Преимущество вариационной концепции заключается прежде всего в ее независимости от конкретного выбора системы обобщенных координат и, следовательно, от выбора системы отсчета напротив, беря за основу построения механики уравнения движения Ньютона, мы ограничиваем себя использованием только инерциальных систем отсчета. Действительно, в формулировке принципа Гамильтона — Остроградского фигурируют только такие физические величины (кинетическая и потенциальная энергия), которые не связаны с какой-либо частной системой обобщенных координат. Поэтому указанный принцип оказывается инвариантным относительно любого точечного преобразования координат (28.17), в том числе и относительно точечного преобразования, связанного с переходом от инерциальной системы отсчета к любой неинерциальной системе координат. [c.186]

Активная интерпретация преобразования координат состоит в том, что преобразование и — и(х, у), у — у (х, у) рассматривается как закон некоторого точечного преобразования плоскости х,у ь другую плоскость с ортогональной (декартовой) системой координат и,у к соответствующей деформацией фигур. [c.52]

Из выражения (4.36) следует, что траектории плоскости Г1 = + 1 симметричны относительно оси и О траекториям плоскости Г) = — 1. поэтому для исследования динамики системы в рассматриваемом случае 8 < 1 достаточно рассмотреть точечное отображение, порождаемое на кривой Г траекториями плоскости т] = + 1, и преобразование симметрии относительно оси и = О, переводящее точку и, ф) в точку (—и, ф). Траектории плоскости т] = - - 1 касаются кривой Г в точке И/ = Д/2а, поэтому порождаемое этими траекториями точечное отображение преобразует точки кривой Г, для которых —оо а и <С. Uii, в точки той же кривой, для которых и > Подставляя в выражение (4.36) координаты начальной точки и = —х, <ро = ТА — [c.97]

За координаты системы можем принять в данном случае любые Зл — k декартовых координат z , которые будем считать независимыми тогда остальные k из этих координат будут функциями первых. Можно Зи — k независимых декартовых координат системы преобразовать в другие посредством точечного преобразования, выразив их в функциях Зга — k независимых переменных q ,. ....Чзп-к> [c.178]

Переход от одних лагранжевых координат к другим называется обобщенным точечным преобразованием. [c.682]

Но пространство в деформируемой среде, отнесенное к координатам Лагранжа, связано с евклидовым пространством, отнесенным к координатам Эйлера, формулами точечного преобразования (IV. 79), которые, по предположению, взаимно однозначны. Следовательно, и в деформированной среде можно ввести евклидову метрику, т. е. пространство в деформированной среде является евклидовым. [c.504]

Установим формулы преобразования векторов ви полагая, что оив-тема координат подвергается взаимно-однозначному точечному преобразованию, [c.412]

В этом случае преобразования, которые надо выполнить, чтобы перейти от квадратичной формы Т, выраженной через 9, 9, 9, к форме Т, выраженной через р , р , р , совпадают с теми, которые надо выполнить для перехода от квадратичной формы к форме сопряженной, как, например, для перехода от уравнения конического-сечения в точечных одно.родных координатах к его уравнению в однородных тангенциальных координатах. [c.469]

Внося эти значения д в 2Т, получим вьфажение 27 в функции от р, также представляющее собой функцию второй степени. Переход от живой силы 7, выраженной в переменных д, к живой силе 7, выраженной в переменных / , представляет собой хорошо известное преобразование квадратичной формы в присоединенную к ней форму. Такое преобразование применяют, в случае трех переменных, при переходе от уравнения конического сечения в точечных координатах к уравнению в тангенциальных координатах. [c.234]

Коэффициенты а /., как мы указывали в связи с уравнением (34.26), являются функциями от Ж1,. .., Хп, а следовательно, и от i,. .., qf. Таким образом, в то время как старые и новые координаты связаны друг с другом произвольным точечным преобразованием , скорости преобразуются друг в друга линейно, причем коэффициенты этого преобразования, в свою очередь, зависят от координат. [c.267]

Мы знаем, что уравнения Лагранжа инвариантны относительно любых точечных преобразований т. е. они сохраняют свою форму, если мы вместо qk вводим любые другие координаты Q/., связанные с q соотношениями [c.291]

Уравнения движения Лагранжа и их инвариантность относительно точечных преобразований. При выводе принципа наименьшего действия были использованы прямоугольные координаты. Однако иа механическую систему могут быть наложены связи если эти связи голономны, то 2>N прямоугольных координат системы могут быть выражены [c.140]

Следует особо отметить тот замечательный факт, что задача минимизации определенного интеграла совершенно не зависит от какой-либо особой системы отсчета. Пусть первоначальная система координат qi при помощи точечного преобразования (1.4.3) заменена другой системой координат. [c.141]

Отсюда видно, что канонические уравнения сохраняются и что функция Гамильтона Я в новой системе координат, после того как qt,pi выразятся через новые переменные Q,-. Pi, будет иметь тот же вид, что и функция Н в старой системе. Можно сказать, что функция Гамильтона Н инвариантна относительно точечного преобразования (7.2.3). [c.229]

Вместо точечного преобразования, связывавшего qi и Qi без помощи pi, мы имеем более общее функциональное соотношение между координатами за счет того, что импульсы могут теперь входить в соотношения между позиционными координатами. Единственным условием является принцип инвариантности [c.234]

Применительно к системе без механических связей уравнения Лагранжа имеют одно основное преимущество они ковариантны по отношению к точечным преобразованиям координат. В случае же, когда система стеснена механическими идеальными связями, применение лагранжева формализма имеет дополнительные пре имущества по сравнению с непосредственным применением урав нений Ньютона. Оно позволяет уменьшить порядок системь уравнений, описывающих движение, до 2п, где л —число степе ней свободы, и избежать определения реакций идеальных связей Возможность выписать уравнения движения, не интересуясь нор мальньши реакциями и вообще подсчетом реакций в случае, когда трение отсутствует, является одним из важных преимуществ применения лагранжева формализма к механическим системам со связями. [c.156]

До сих пор в основе всех наших рассуждений лежали некоторые исходные представления, играющие во всем последующем построении роль аксиом. Мы постулировали, в частности, второй закон Ньютона и при гыводе основ ых законов и теорем механики всегда исходили из него. В настоящей главе, выводя уравнения движения в форме, ковариантной по отношению к любым точечным преобразованиям координат, мы также положили в основу рассуждений второй закон Ньютона и в конечном результате придали ему форму уравнений Лагранжа. В этом смысле второй закон Ньютона оказывается эквивалентным утверждению о том, что движение может быть описано уравнениями (22), а движение в потенциальном поле — уравнениями (29), где L = T—К. [c.164]

Т. с, при таком каноническом преобразовании обобщенные координаты q., q , н q , q преобразуются только между o6oii. Такие преобразования называются точечными. [c.149]

Выясним механический смысл этих уравнений. Если т = Зп, то равенства (II. 9Ь) являются формулами точечного преобразования координат. При этом предполагается, что время t не входит явно в функциональные зависимости между декартовыми и обобщенными координатами. При т С. Зп уравнения (II. 9Ь) можно рассматривать как уравнеппя геометрических связей в параметрической форме. Действительно, исключая из уравнений (II. 9Ь) параметры Цо, найдем Зп — т соотношений между координатами точек системы и временем t, которое может входить в эти соотношения явно. Такие соотношения, как известно, называются уравнениями геометрических связей. Если время t не входит явно в соотношения (II. 9Ь), оно не будет входить явно и в уравнения связей, найденные после исключения параметров Ро. Следовательно, достаточным условием стационарности всех связей, определенных уравнениями (II. 9Ь), является отсутствие явной функциональной зависимости между координатами х,-, у 2 И Временем t в формулах (II. 9Ь). Соотношения (П.9Ь) можно [c.121]

Движение, описываемое уравнением (10.28), может служить примером много-периодического движения, рассмотренного в главе 9. Правда, оно является особенно простым движением этого типа, так как состоит только из основных частот и совершенно не содержит их линейных комбинаций. Однако, несмотря на это, рассматриваемое движение не является строго периодическим, так как при несоизмеримости собственных частот координаты T)i никогда не примут своих начальных значений. Следовательно, координат ы f]i не будут в общем случае разделяющимися координатами, изменяющимися по строго периодическому закону. Одцако мы сейчас увидим, что такие координаты можно получить с помощью точечного преобразования координат т],. [c.360]

Статья начинается по существу с гл. 2. где выводятся уравнения движения. Мы старались дать строгое и полное исследование исходных предположений, основываясь на концепции движения как непрерывного точечного преобразования пространства в себя. В заключительной части этой главы рассматриваются вопросы, связанные с преобразованием координат и вариационными принципами механики жидкости. Содержание гл. 3 не выходит в основном за рамки общепринятых учебников, однако, выпустив ее, мы нарущили бы единство изложения. Кроме того, в этой главе мы впервые знакомимся со многими идеями, играющими важную роль в дальнейщем, при изучении более сложных вопросов. В гл. 4 мы вновь возвращаемся к исследованию исходных предположений и кратко излагаем термодинамику движения жидкости, включая систему постулатов соответствующих разделов классической термодинамики. Представления, развитые в этом разделе, могут служить моделью при изучении многокомпонентных гидродинамических систем. [c.6]

Требованиям а)-г) удовлетворяет и обычная релятивистская теория. Однако последняя характеризуется, после перехода к мнимому времени, полной изотропией 4-пространства. Отказ от этого условия при выполнении требования б и приводит к появлению 4-вектора , имеющего одинаковый вид во всех системах отсчета. С геометрической точки зрения такая анизотропия означает по существу переход от обычного псевдоевклидова пространства к более сложному пространству Финслера [7]. Соответственно преобразование координат при переходе к другой системе отсчета перестает быть точечным и становится контактным, а с динамической точки зрения — каноническим преобразованием общего вида. Однако преобразование энергии-импульса остается точечным, хотя и становится нелинейным. Поскольку метрика пространства Финслера описывается однородной формой той же степени однородности, что и в обычном случае. [c.162]

Эти преобразования выглядят существенно более сложно, чем преобразования импульсов. Дело в том, что в теории пространства Финслера, задавшись нелинейным преобразованием импульсов, мы с неизбежностью приходим к преобразованиям координат, которые являются не точечными, как в обычной теории, а более общими [c.166]

Предположение о точечности преобразований координат, т. е. о зависимости х = неявным образом лежит в основе обычного вывода преобразований [c.166]

Лоренца. Отказываясь от этого предположения, мы получаем возможность выйти за рамки специальной теории относительности, сохранив в силе ее основные постулаты (см. п. 1). Существенно заметить, что обсуждаемое предположение означает возможность говорить о преобразовании пространства-времени как такового, и что преобразования (16) лишают нас такой возможности. Разумеется, при малых скоростях в предлагаемой схеме восстанавливается точечность преобразований координат. [c.166]

Электроискровой способ имеет следующие характерные признаки энергоносителем при преобразовании на границе ра адела объекта и среды являются преимущественно электроны (искровая или искродуговая стадии разряда), а при формообразовании — тепловое движение импульсный процесс характерен большой скважностью физический процесс съема — размерным испарением подвод энергии при осуществлении вырезки по двум координатам — точечно-линейный, а при копировании — точечно-поверхностный кинематика формообразования — поступательное (при вырезании [c.15]

Равенства (IV. 79) можно рассматривать как формулы точечного преобразования, позволяющие поставить в соответствие точке N( / ) деформированного пространства, арифметизирован-ного координатами Лагранжа, точку М(х ) пространства, ариф-метизированного координатами Эйлера, Мы будем предполагать, что такое соответствие взаимно однозначно и функции гс непрерывны и дифференцируемы. [c.503]

Переходя непосредственно к выводу преобразования Лоренца, предположим, что в начале координат О исходной с Г-стемы расположен точечный источник света, испускаюший сферические волны. Фронт такой волны описывается уравнением сферы [c.448]

Для механизмов с несколькими степенями свободы изображающая точка должна рассматриваться в фазовом яростран стве обобщенных координат и скоростей. Тогда для изучения многомерных фазовых траекторий применяется общая теория точечных преобразований поверхностей. [c.203]

Точечные преобразования Лагранжа. В лагранжевой механике позиционными координатами являются величины qi. Уравнения движения Лагранжа остаются инвариантными по отношению к произвольным точечным преобразованиям этих координат. В гамнльтоновой механике мы снова встречаемся с задачей Лагранжа, но уже при наличии 2п переменных qi и pi. Пространством конфигураций гамильтоновой механики является 2л-мерное фазовое пространство. На первый взгляд может показаться, что в нашем распоря- [c.227]

Резюме. Канонические уравнения инвариантны относительно точечного преобразования Лагранжа. Преобразование импульсов происходит с учетом инвариантности дифференциальной формыФункция Гамильтона является инвариантом преобразования, если новая система координат покоится относительно старой. В противном случае функция Гамильтона изменяется за счет гироскопических членов. [c.233]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...