Вектор собственный основной

Воспользуемся теперь итерационным методом и определим собственное значение и собственный вектор, соответствующие основной форме колебаний системы с несколькими степенями свободы. Поскольку при использовании этого метода решение сходится к наибольшему собственному значению, здесь следует применять уравнения движения в перемещениях, где наибольшее собственное значение равно обратной величине квадрата наименьшей круговой частоты. Таким образом, из уравнения (4.9) имеем [c.291]

Одно из следствий научно-технической революции заключается в резком повышении требований к точности расчетов, что, в свою очередь, требует более полного учета всех физических особенностей рассматриваемых задач. Как правило, прикладные задачи, связанные с исследованием колебаний стержней, требуют знания статического напряженно-деформированного состояния. Это существенно осложняет решение уравнений движения, так как требует решения уравнений равновесия — определения вектора состояния в статике, компоненты которого входят в качестве коэффициентов в уравнения малых колебаний. В консервативных задачах статическое напряженно-деформированное состояние влияет в основном только на спектр частот, изменяя их числовые значения. В неконсервативных задачах, например в задачах взаимодействия стержней с потоком воздуха или жидкости, статическое напряженно-деформированное состояние влияет не только на спектр частот (на мнимые части комплексных собственных значений), но и на критические состояния стержня (на действительные значения комплексных собственных значений), что, конечно, необходимо учитывать при расчетах. Во второй части книги, так же как и в первой, основные теоретические положения и методы решения иллюстрируются конкретными примерами, способствующими более глубокому пониманию излагаемого материала. [c.3]

Вторая основная задача связана с исследованием динамической устойчивости стержней в потоке и определением критических скоростей потока. Комплексные собственные значения позволяют выяснить возможное поведение стержня при возникающих свободных колебаниях во всем диапазоне скоростей потока (от нуля до критического значения) и тем самым ответить на вопрос, какая потеря устойчивости (с ростом скорости потока) наступит, статическая (дивергенция) или динамическая (флаттер). Задачи динамической неустойчивости типа флаттера подразумевают потенциальное (без срывов) обтекание стержня (рис. 8.1,а), что имеет место только в определенном диапазоне чисел Рейнольдса. Возможны и режимы обтекания с отрывом потока и образованием за стержнем вихревой дорожки Кармана (рис. 8.1,6). Вихри срываются попеременно с поверхности стержня, резко изменяя распределение давления, действующего на стержень, что приводит к появлению периодической силы (силы Кармана), перпендикулярной направлению вектора скорости потока. [c.234]

Этот результат находится в полном соответствии с основным свойством спина электрона иметь на любое направление лишь два значения проекции. Принадлежащие собственным значениям (36.14) ортонормирован-ные собственные векторы обозначим п, + ) и п, — ). В базисе векторов IZ, + >, IZ, - > они могут быть представлены в виде [c.213]

Поэтому основной принцип формулировки условия разрушения с использованием первого инварианта тензора напряжений, вытекающий из второй формы записи уравнения (50), можно интерпретировать следующим образом для изотропного материала собственный вектор тензора поверхности прочности Fi всегда совпадает с собственным вектором тензора напряжений. [c.438]

Техническое состояние объекта, как указывалось выше, можно контролировать по собственной вибрации а (t), которая порождается внутренними процессами AU (t). В структурной схеме диагностической модели (рис. 2) основным параметром, который связывает MJ t) ж X t), является вектор дефектов г. Для электромеханических исполнительных устройств г определяется отклонениями геометрических или электромагнитных характеристик от номинальных значений, технологическими погрешностями и другими дефектами. Связь между At/ t) vi г, х (t) устанавливается оператором Т, а между г ш х (t) — оператором W. В общем случае связь между вибрацией х и вектором дефектов г можно описать с помощью операторного уравнения x=W а, г), являющегося исходным для решения первой (прямой) задачи — расчета вибрации системы. [c.158]

В соответствии с основной теоремой алгебры характеристическое уравнение имеет хотя бы один корень (вообще говоря, комплексный), т. е. всякая матрица в области комплексных чисел имеет хотя бы одно собственное значение и собственный вектор. [c.96]

С другой стороны, если мы имеем матрицу [С] общего вида, уравнения (1.24) не разделяются. Но поскольку предполагается, что основная реакция системы формируется по собственным векторам ф . ф ,. .., ф , по-прежнему допустимо [c.50]

Для намагничивания нежелательны дислокации и остаточные напряжения, для устранения которых в конце технологического процесса применяют термическую обработку — отжиг. Особенно вредны примеси, образующие в кристаллической решетке основного ферромагнетика примесные дефекты или собственные мелкодисперсные фазы. В обоих случаях смещение доменной стенки и вращение векторов намагничивания затрудняются. [c.529]

Сначала с целью создания основы для анализа периодической системы будет выполнен анализ линейной стационарной системы. Хотя основным объектом исследования в настоящ,ей главе являются периодическая система и особенности ее поведения, решение стационарных систем проще, и они более широко используются. Рассмотрим систему, описываемую обыкновенными дифференциальными уравнениями вида х = Лх + Вх, где А я В — постоянные матрицы. Вектор состояния х имеет размерность п. Динамические характеристики этой системы определяются собственными значениями и собственными векторами матрицы А. Система порядка п имеет п собственных значений Я/ (/= ,..., ) и соответствующих им собственных векторов U/, являющихся решениями системы алгебраических уравнений А — kjl)Uj = 0. Эти однородные уравнения имеют ненулевые решения только в том случае, когда det(y4 — kl) = [c.341]

При анализе линейной стационарной системы требуется в основном оценка собственных значений и собственных векторов матрицы А. Приведенное выше разложение показывает, что решение неустойчиво, если Re(X,/)>0 хотя бы для одного /. Собственные значения определяют устойчивость системы часто она представляется графически в виде траекторий корней на комплексной плоскости при изменении какого-либо параметра. Система устойчива, если все корни находятся в левой полуплоскости. Собственные векторы и/ описывают форму изменения параметра состояния х, соответствующую каждому собственному значению. Собственные значения действительной матрицы А могут быть действительными или комплексными. Комплексные корни обычно характеризуются частотой o=Im(X,) и от- [c.342]

Следовательно, периодическую матрицу PS можно рассматривать как модальную (т. е. состоящую из собственных векторов) для периодической системы, а собственные значения Л определяют основные частоты и демпфирование составляющих решения. При переходе к нормальным координатам q имеем х = = PSq. Переходный процесс х (/) = ф ( , о) х ( о) в нормальных координатах имеет вид q ( = (/о), как и для стационар- [c.346]

Наиболее эффективным и удобным для решения обобщенной задачи на собственные значения в случае высоких порядков матриц является метод одновременных итераций [ 59 ]. Основные достоинства метода следующие одновременно в итерационном процессе находится группа наименьших собственных чисел и векторов алгоритм быстро сходится в случае близких собственных чисел не требуется особый анализ. [c.51]

Здесь рассмотрим решение плоской задачи обобщенного напряженного состояния в напряжениях допуская, что объемной силой является собственный вес, постоянный для всех точек тела. Пусть Yj, - вес единицы объема тела. В данном случае искомыми величинами являются следующие три компонента вектора напряжений Охх, уу, Предполагая, что су = О и все производные по оси Z равны нулю, основные уравнения теории упругости значительно упростятся и примут вид [c.200]

Для спутника с двойным вращением качание оси крепления, обусловленное неуравновешенностью маховика, в большой, степени напоминает качание оси спутника, выполненного как единое тело, т. е. основное движение представляет собой коническое движение оси крепления вокруг вектора h со скоростью собственного вращения маховика. Однако в зависимости от геометрии мас с корпуса могут возникнуть некоторые отклонения амплитуды и частоты качания. В последующих разделах выведено аналитическое выражение угла качания в зависимости от параметров неуравновешенности маховика. Найдены также границы среднеквадратичной величины и дисперсии угла качания в зависимости от статистических свойств процесса балансировки. [c.41]

Назовем возмущения линейными, если для них можно построить силовую функцию, линейно зависящую от направляющих косинусов вектора L с осями координат. К линейным возмущениям принадлежит основная часть аэродинамических возмущений (обусловленная синусоидальной зависимостью момента сил от угла атаки), возмущения от собственного магнитного поля спутника с постоянным магнитным моментом /, а также влияние регрессии орбиты. Гравитационные возмущения являются нелинейными. [c.312]

Это основное соотношение для определения собственных чисел и собственных векторов тензора напряжений. В развернутой форме это уравнение запишется так [c.26]

Подводя итог всему вышеизложенному, мы можем высказать следующее. Применяемые для формулировки основных положений квантовой теории векторы состояний и линейные операторы динамических переменных и наблюдаемых не имеют непосредственного реального смысла, однако с их помощью представляются имеющие физический смысл величины и соотношения, доступные экспериментальной проверке. Физический смысл имеют математические ожидания (средние значения), к которым принадлежат, в частности, вероятности ws, поскольку их можно рассматривать как математические ожидания проекционных операторов Sps. Конкретные физические применения имеют собственные значения и операторные соотношения, позволяющие прогнозировать воспроизводимость измерений. Величины, имеющие физический смысл, не изменяются при замене ti> на ti>, где с — произвольное комплексное число. Все физические величины и соотношения обладают свойством инвариантности относительно унитарного преобразования и над всеми операторами G и векторами ф) [c.78]

В гл. 10 на основе теории представлений изучаются и систематизируются различные вопросы классической динамики решетки. Рассмотрение включает теорию инвариантов, вычисление тензоров, влияние ангармонизма и обсуждение того, как, используя свойства симметрии, определить собственные векторы нормальных колебаний и, таким образом, факторизовать динамическую матрицу. Изложение квантовой динамики решетки в гл. 11 следует традиционному рассмотрению в рамках адиабатического приближения Борна — Оппенгеймера. Однако, развивая традиционное рассмотрение, мы строим здесь параллельно теорию симметрии собственных функций. Преобразование собственных функций решетки при преобразованиях симметрии дает удобный способ характеристики основного и возбужденных состояний системы связанных гармонических осцилляторов решетки. Такое рассмотрение позволяет также исследовать интересную внутреннюю связь между теорией симметрии системы, имеющей пространственную группу или пространственно-временную группу д, и теорией симметрии системы тождественных [c.20]

Основное свойство полноты собственных векторов ди- [c.195]

Предположим, что зонные колебания в основном не изменяются, т. е. собственные частоты и собственные векторы для них те же, что и в идеальном кристалле. Однако симметрия кристалла меняется [c.226]

При этом предполагается, что Земля имеет форму шара, ее поле тяготения центрально, а объект перемещается по поверхности. Такой подход в этой и некоторых дальнейших работах позволил автору получить строгие и вместе с тем сравнительно простые дифференциальные уравнения движения системы и выявить некоторые обпще закономерности в механике гировертикалей и гирокомпасов. Малые колебания таких систем исследовал В. Д. Андреев (1957). При исследовании таким методом двухроторного гирокомпаса Ишлин-ский получил основное условие его невозмущаемости, после выполнения которого ось центр тяжести—центр подвеса гиросферы остается направленной по геоцентрической вертикали при произвольном движении точки подвеса по поверхности Земли, а суммарный вектор собственных кинетических моментов гироскопов расположен горизонтально и направлен перпендикулярно к вектору абсолютной скорости точки подвеса. Это условие имеет вид [c.165]

Такой подход в исследованиях А. Ю. Ишлинского (1956—1957),. посвященных анализу относительного равновесия физического маятника, теории гирогоризонткомпаса и гировертикали, позволил получить строгие и вместе с тем относительно простые дифференциальные уравнения прецессионного движения в конечных углах. Было получено основное условие невозмущаемости двухроторного гирокомпаса, после выполнения которого ось центр тяжести — центр подвеса гиросферы направлена по геоцентрической вертикали при произвольном движении точки подвеса по поверхности Земли, а суммарный вектор собственных кинетических моментов гироскопов расположен в горизонтальной плоскости и направлен перпендикулярно к вектору абсолютной скорости точки подвеса. Это условие имеет вид [c.248]

Мгновенная ось вращения гироскопа, направленная по вектору угловой скорости 0)0 (рис. 384), уже не будет совпадать с осью материальной симметрии гироскопа, а окажется несколько отклоненной от нее, причем отклонение это будет тем меньще, чем меньше по величине относительная разность о) /соо = ((О — <оо)/шо векторов 0) и (Оо. Вектор главного момента количеств движения К гироскопа уже не будет направлен по оси материальной симметрии гироскопа и не будет равен /з( )о- Однако рассматриваемая сейчас приближенная теория движения гироскопа пренебрегает этой разницей, а также изменением величины 0)0 — угловой скорости собственного вращения гироскопа за исследуемый интервал времени. Таким образом, основное допущение приближенной теории движения гироскопа заключается в том, что при постоянной по величине угловой скорости юо собственного вращения гироскопа, значительно превышающей угловую скорость 0) вращения его оси, главный момент количеств движения гироскопа К можно рассматривать как вектор [c.368]

Эти движения, по определению, характеризуются постоянством двух векторов т и ш относительно триэдра 2 дС укажем уже здесь, что в этом случае, как мы убедимся в следующей главе (рубр. 8), во всяком несобственном разложении остаются такяге постоянными векторы г о и с , из которых последний выражает угловую скорость относительно подвизкного триэдра Оху , И, обратно, постоянство векторов и ш влечет за собою постоянство векторов X и (О в собственном разложении. Чтобы характеризовать состояние движения, мы дока кем следующую основную теорему. [c.173]

Действительному положительному корню 0 соответствует единственный комплексный корень X, имеющий частоту, кратную основной частоте системы. Главное значение X лежит на действительной оси это означает, что составляющая х( ) и главное значение собственного вектора также должны быть действительными величинами. Прибавление к X частоты 1п2л1Т [c.348]

Впервые исследовал поведение собственных чисел и функций, а также сходимость разложений по ним для некоторых пучков, порожденных обыкновенными дифференциальными операторами, по-видимому, Я.Д. Тамаркин [279]. Постановка основных задач и первые важные результаты содержатся в работах М.В. Келдыша [160, 161. Здесь были введены понятия присоединенных векторов, кратность собственного числа, кратной полноты собственных и присоединенных векторов. Для некоторого класса пучков, порожденных обыкновенными дифференциальными операторами были доказаны теоремы о полноте, асимптотике собственных значений и сходимости кратных разложений. [c.8]

Основное значение полученных результатов состоит в следующем. Мы разделили проблему полной временной эволюции вектора f t) на две взаимно независимые проблемы изучение эволюции Ff(f) и изучение эволюции f t). Если в какой-либо конкретной задаче нас интересует только значение вектора Ff t), то при ее решении можно совершенно не интересоваться поведением f t). Компонента Ff t) подчиняется своей собственной субдинамике [то же самое можно сказать и о f (f)]. [c.155]

Как уже отмечалось ( 7 гл. 6), метод разделения переменных можно применить не только для решения одномерных задач, ио и в более общем случае. Основная трудность состоит ие в разделении переменных и нахождении возможных собственных решений, а в выделении полной системы и в доказательстве ее полноты. Ситуация станет простой, если при разыскании плоских волновых решений ввести единичный действительный вектор е так, чтобы волновой вектор к равнялся /се, как мы это делали в 6. Действи-тельно, если это сделать, можно повторить процедуру одномерного случая при условии, что -е подставляется вместо и (е X I) X е вместо - - зк (з и к — единичные векторы вдоль осей у и z). [c.213]

Прежде чем перейти к рассмотрению собственно голографической интерферометрии, остановимся в гл. 2 на некоторых основных положениях дифференциальной геометрии и механики сплошных тел, а в гл. 3 — на принципах формирования изображения в голографии. В гл. 2 приводятся сведения, которые являются основой изложения всей книги. В гл. 3 рассматривается с одной стороны, получение исследуемых волновых фронтов, и, с другой стороны, детально. анализируются свойства изображения, в частности, аберрации, которые могут возникать, если оптическая схема, используемая при восстановлении, отлична от х ы регистрации. В этой же главе показано взаимопроникновение понятий механики и оптики. Затем в основной части книги — гл. 4 — исследуется процесс образования интерференционной картины, обусловленной суперпозицией волновых полей, соответствующих двум данным конфигурациям объекта, и обратная задача — измерение деформаций объекта по данной интерференционной картине. В ней, во-первых, показано, как определяют порядок полосы, т. е. оптическую разность хода интерферирующих лучей, и как отсюда находят вектор смещения. Во-вторых, рассмотрены некоторые характеристики интерференционных полос, их частота, ориентация, видность и область локализации, которые зависят от первых производных от оцтйческой разности хода. Затем показано изменение производной от смещения (т. е. относительной деформации и наклона). В-третьих, определено влияние изменений в схеме восстаноэле ния на вид интерференционной картины и методы измерения. Наконец в гл. 5 кратко приведены некоторые возможные примеры использования голографической интерферометрии для определения производных высших порядков от оптической разности хода в механике сплошных сред, [c.9]

При анализе искажений кристаллической решетки, создаваемых двуосным дисклинационным диполем, можно выделить два основных эффекта. Первый связан с полями собственных упругих деформаций диполя и , которые на больших расстояниях спадают как деформации от сверхдислокаций с вектором Бюргерса Ьдд = In, где п — единичный вектор нормали к поверхности диполя I — расстояние между дисклинациями разных знаков в диполе. Второй эффект обусловлен наличием переориентированной области кристалла, расположенной между дисклинациями разных знаков. Угол разориентировки этой области ф порядка 5°. [c.270]

Линейно-алгебраические операции, рассмотренные в предыдущем параграфе, можно отнести к трем типам, исходя из принципов организации реализующих их вычислительных процессов. К типу коротких отнесем операции, для реализации которых принципиально достаточен однократный обмен файлов, содержащих операнды и результат сложение матриц и векторов, умножение на скаляр и т. п. К типу длинных отнесем операции, для реализации которых принципиально требуется многократный обмен одного файла, содержащего операнд или результат транспонирование, обращение матрицы, умножение двух матриц и т. п., в случае когда операнды и результат не размещаются целиком в ОЗУ. К типу условнокоротких отнесем операции, для реализации которых при некоторых дополнительных условиях достаточен однократный обмен файлов. В основном, это весьма распространенная в АСУ операция умножения матрицы на вектор, когда операнды и результат не размещаются в ОЗУ. В общем случае эта операция выполнима по алгоритму умножения двух матриц. Однако, если матрица упорядочена так, что старший индекс ее элементов является индексом, различающим элементы вектора, то эта операция реализуется однократным обменом. Таким образом, при дополнительном условии — при совпадении упорядоченностей элементов матрицы и вектора — эта операция является короткой. Без этого дополнительного условия операция является длинной, так как в этом случае она выполняется либо как умножение двух матриц, либо (что короче) в две стадии сначала выполняется транспонирование матрицы, затем собственно умножение, но при однократном обмене. [c.77]

В зависимости от выбора матрицы Н и вектора С получаются различные итерационные методы. Эти величины выбирают такими, чтобы формула (2.14) была согласована с (2.13), т. е. Х = НХ -ЬС. Основные итерационные методы простой итерации, Якоби, Гаусса— Зейделя, релаксационные. Для практической реализации итерационных методов необходимо выбрать способ ускорения сходимости и установить критерий окончания итерационного процесса. Способы ускорения сходимости весьма разнообразны, но часто основываются на оценке максимального Л (Н) и минимального та(Н) по модулю собственных значений матрицы Н. Идеальным критерием окончания итераций является норма вектора ошибки Ел, но непосредственно ее определить невозможно, так как точное решение X неизвестно. Поэтому для итерационного процесса (2.13) вводится вектор приращений (вектор псевдоневязки) ДХй= —Ха+1—Ха, связанный с вектором ошибки следующим равенством ДХ.,= (Н—1)Еа, где I — единичная матрица. Переходя к оценке по нормам, получим [c.35]

Эта глава содержит применения теории пространственных групп к классической теории колебаний кристаллической решетки [4—6, 59—64]. Основной эффект от использования полной пространственной группы симметрии состоит в упрощении решения секулярного уравнения для определения частот нормальных колебаний и соответствующих собственных векторов в гармоническом приближении. Секулярное уравнение оказывается факторизованным согласно неприводимым представлениям рассматриваемой пространственной группы . Факторизация по пространственной симметрии приводит к появлению пространственных координат, зависящих от волнового вектора k неприводимого представления. Учет полной симметрии обеспечивает дальнейшее уточнение свойств отдельных собственных векторов, преобразующих согласно допустимым представлениям группы k), т. е. по определенной строке неприводимого представления группы . [c.173]

Согласно теореме Машке, доказанной в 15, представление )( ) (е) илр )( ) (Л либо неприводимы, либо приводимы. Подчеркнем еще раз, что это представление, по которому преобразуется полное множество всех вещественных собственных векторов для всех Зг ветвей. Аналогично есть (Зг)-мерное представление, по которому преобразуется множество всех Зг собственных векторов. Однако в этом последнем случае основное правило преобразования основано просто на свойствах векторного поля смещений. А с физическим собственным значением сй ( /) [c.223]

Глава начинается с традиционного рассмотрения симметрии обращения времени в 88—94, основанного на отождествлении оператора обращения времени с комплексным сопряжением. При этом оператор обращения времени действует на иные переменные, чем пространственные преобразования. Комплексное сопряжение состоит в преобразовании (отображении) комплексного поля (в котором заданы собственные векторы) на само себя, тогда как пространственные преобразования отображают точки конфигурационного пространства на само себя. Так как основными переменными динамики решетки являются вещественные смещения, физические неприводимые представления также должны быть вещественными. Критерий Херринга вещественности неприводимых представлений пространственных групп обсуждается в 93 [69]. В 94 дано обобщение более полезного критерия вещественности, данное Фреи [70]. Используя этот последний критерий, можно определить не только, является ли данное представление вещественным, комплексным или псевдо-вещественным, но в случае комплексного представления установить симметрию комплексно сопряженного представления. [c.233]

Рассмотрим сначала случай, когда антиунитарные элементы входят в S k), т. е. мы рассмотрим звезды типа I и И. Для антиунитарных элементов основное соотношение (106.7), выражающее инвариантность скалярного произведения, неприменимо. Оно заменяется соотношением, утверждающим, что скалярное произведение собственных векторов, преобразованных антиуни тарным элементом, является комплексно сопряженным исходному скалярному произведению [c.307]

Далее мы обращаемся к физической проблеме, представляющей для нас основной интерес, — к динамике решетки. При обычном излож нии этого вопроса [18, 32] симметрия кристалла рассматривается отдельно. Мы же развиваем здесь теорию (т. 1, 66—86), основанную на подходе, в котором симметрия тесно переплетена с физикой. Собственные векторы динамического уравнения образуют неприводимые линейные векторные пространства, т. е. базисы неприводимых представлений. Читатель, способный оценить значение этого простого результата и вытекающих из него следствий, понимает суть применения теории групп в физике. Впервые этот результат был получен Вигнером [166] для более простой проблемы молекулярных колебаний, но вскоре был обобщен Зейтцем и др. [167] на случай кристаллов. [c.256]

V = иМ. Положение элементарных ячеек в основном кристалле определяется векторами решетки п, пробегающими N значений. Соответственно, имеется N операторов трансляций Т , которые образуют Л -мерную группу трансляций. Эта группа Абелева, поэтому все ее неприводимые представления одномерны. Следовательно, собственные значения операторов трансляции невырождены. [c.20]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...