Представление группы

Рассмотрим теперь вращательное брауновское движение. В общем случае поворот частицы описывается тремя углами Эйлера й = а, р, 7 и сферическими функциями Вигнера Пт (а, р, у), образующими неприводимые представления группы Ot трехмерных вращений (см. приложения V, VII). [c.85]

Обобщенные сферические функции, или D-функции Вигнера, у) являются элементами неприводимого представления группы трехмерных вращений 0(3). (Здесь а, , у — углы Эйлера, определяющие поворот R a, , у) =/ (—а, — , —у).) В соответствии с этим [c.224]

Очевидно также, что она является абелевой. Поскольку трансляционная решетка бесконечна, трансляционная группа имеет бесконечный порядок. Однако введением циклических граничных условий (Борна—Кармана) ее можно преобразовать в группу конечного порядка, но с достаточно большим порядком — Л/1Л/2Л/3 Неприводимые представления группы Т (п) записываются в виде прямого произведения неприводимых представлений групп T( j3j) являющихся циклическими с порядком Nj. Для них [c.150]

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП [c.49]

Теория представлений групп — составная часть общей теории групп она является тем соединительным звеном, которое дает возможность количественного отображения (в функции от параметров, определяющих элементы групп) взаимоотношений между этими элементами, выраженных символами теории множеств и теории групп. К объектам изучения теории представлений [c.49]

В приведенном выше примере мы не случайно остановились на гомоморфизме (представлении) группы движения звеньев группе матриц, так как такой гомоморфизм дает возможность эффективного использования аппарата матричного исчисления для числового решения различных задач исследования и синтеза механизмов, Среди многочисленных известных разновидностей групп для теории механизмов представляют, в частности, интерес группы [c.50]

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ ТРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА КОМПЛЕКСНЫМИ МАТРИЦАМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА [c.52]

Аналитический метод автора [65 1 по исследованию наиболее распространенных пространственных стержневых механизмов, составленных из двухповодковых кинематических групп с низшими кинематическими парами (вращательной, цилиндрической, шаровой с пальцами, шаровой и винтовой), основан на применении матричных представлений групп вращений и различных приемов аналитической геометрии и кинематической геометрии в трехмерном пространстве. Этот метод может быть распространен на механизмы любой сложности и механизмы с высшими кинематическими парами [69, 70 ]. [c.98]

В более общем случае, когда G — Г. преобразований множества X любой природы, говорят, что гомоморфизм ф G- G определяет действие г р у п п ы G на X (иногда такой гомоморфизм наз. нелинейным представлением группы). Вместо (p(g)x результат действия элемента g па точку х обозначают иногда gx. [c.541]

В корпускулярном подходе к релятивистскому квантовому описанию свободных частиц векторы состояния частицы должны образовывать неприводимое представление группы Пуанкаре. Последнее фиксируется заданием значений операторов Казимира (операторов, коммутирующих со всеми десятью генераторами группы Mi и Ж ), к-рых у группы Пуанкаре два. Первый — [c.301]

Унитарная симметрия — более широкая симметрия, чем изотопическая инвариантность. Поэтому естественно ожидать, что математическое описание унитарной оимметрии может быть получено при ПОМОЩИ группы SU(3) для трехрядных матриц. Подобно тому, как простейшим изотопическим мультиплетом является дублет, простейшим унитарным мультиплетом должен быть триплет (простейшее представление St/(3)-группы после скаляра), члены которого отличаются не только по заряду, но и ио странности . Следующее, более сложное представление группы SU(3) является октетным. Оно и было идентифицировано как барионный октет. [c.682]

Унитарные мультиплеты (табл. 36.2) представляют собой состояния, преобразующиеся по неприводимым представлениям группы SU (3) [2, 3]. Базисным представлением этой группы являются трехкомпонентные спиноры. Кварки и, d, s как раз и отвечают состояниям, образующим базисное представление группы SU (3). Включение в рассмотрение с-, Ь- и t- кварков приводит к расширению группы симметрии до SU (4), SU (5) и SU (6) соответственно. Экспериментальные данные о массах адронов, содержащих с-кварки, указывают на то, что симметрия SU (4) нарушена в мире адронов уже гораздо сильнее, чем SU (3). SU (4) и более высокие [c.972]

Мы уже указывали, что каждая группа G характеризуется таблицей умножения. Если элементы группы представлены какими-либо числами, символами, функциями, матрицами и т. д., имеющими такую же таблицу умножения, что и элементы группы, то совокупность этих чисел, символов, функций, матриц и т. д. называется представлением группы. Среди них особую роль играют матричные представления, и представлением группы обычно называют именно представление в виде квадратных матриц, гомоморфное или изоморфное группе G. Важное свойство представлений— при реализации представления абстрактных групп в виде системы (группы) матриц умножение последних по обычным правилам для матриц приводит к тем же соотношениям, что и представляемая группа. Отображение элементов абстрактной группы на матричную не обязательно должно быть взаимно-однозначным, однако оно по крайней мере гомоморфно. Если же это представление изоморфно группе, то оно называется точным, или истинным, или основным. Размерность матриц называется размерностью представления. [c.134]

На возможное возражение, что группа сама по себе является априорным понятием, можно указать, что понятие группы является результатом абстрагирования от различных подвижных инструментов циркуль, линейка и т. д., являющихся орудием геометрического исследования ). Напомним, что уже в геометрии Евклида неявно предполагалось, что все геометрические построения следует проводить с помощью только циркуля и линейки. Смысл этого требования становится ясен только с точки зрения программы Клейна. Геометрические свойства тел выражаются, таким образом, в терминах инвариантов группы и допускают изоморфную подстановку элементов пространства, в котором реализуется группа, и, следовательно, совершенно не зависят от самих геометрических объектов. Укажем, например, на реализацию геометрии Лобачевского на плоскости, предложенную А. Пуанкаре. Приведенный пример указывает на большую методологическую ценность программы Клейна. Аналогичный подход возможен также и в физике, где различные законы сохранения интерпретируются как свойства симметрии относительно различных групп. Основными группами современной физики являются группа Лоренца, заданная в пространстве Минковского, и группа непрерывных преобразований, заданная в криволинейном пространстве общей теории относительности, коэффициенты метрической формы которого определяют поле гравитации. В релятивистской квантовой механике мы переходим от группы Лоренца к ее представлениям, определяющим преобразования волновых функций. Как было показано П. Дираком, два числа I и 5, задающих неприводимое представление группы Лоренца, можно интерпретировать как константы движения угловой момент и внутренний момент частицы (спин). Иначе говоря, операторы, соответствующие этим инвариантам, перестановочны с гамильтонианом (квантовые скобки Пуассона от гамильтониана и этих операторов равны нулю). Числа, обладающие этими свойствами, называются квантовыми числами. В работах Э. Нетер дается общий алгоритм, позволяющий найти полную систему инвариантов любой физической теории, формулируемой в терминах лагранжева или гамильтонова формализмов. В основу алгоритма положена указанная выше связь между инвариантами группы Ли и константами движения уравнений Гамильтона или Лагранжа. В качестве простейшего примера рассмотрим вывод закона сохранения углового момента механической системы, заданной лагранжианом Г(х, X, (). Вводим непрерывную группу вращения, заданную системой инфи- [c.912]

Изотопи еским спином называется оператор, устанавливающий связь между различными элементарными частицами в гипотетическом пространстве изотопического спина. Так, например, протон и нейтрон можно рассматривать как два состояния некоторой частицы нуклона с значениями изотопического спина V2 и —Va- Изотопический спин, являющийся обобщением понятия заряд частицы , можно рассматривать как инвариант представления группы вращений в трехмерном пространстве изотопического спина. [c.912]

Гидравлическая система состоит из сообщающихся сосудов. Каждый элемент изучаемого пространства представлен группой сосудов разных сечений — 0,5 5 10 20 см , сообщающихся с одной пьезотрубкой 0,5 см , причем рабочими могут быть любые из них и все вместе. [c.258]

Если полей несколько, то можно составлять разл. комбинации аналогичного типа и А. т. классифицировать по представлениям группы внутренней симметрии, напр, изотопической. Так, триплет А. т. U-, d-кварков в терминах четырёхкомпонентных спиноров ijj имеет вид [c.35]

Теоретико-групповые методы применяют в спектроскопии атомов и молекул (см. Си.мметрия молекул. Перестановок группа), ядериой физике, ква 1товой теории поля, квантовой мехавшке, физике твёрдого тела, теории ур-ннй матем. физики. В приложениях используют ] Л. обр. теорию представлений групп, т. е. реализаций Г. преобразованиями лине шого пространства. Эта теория позволяет извлекать количеств, следствия из одного лишь факта, что физ. система обладает той или iiHOii симметрией. [c.540]

Если G — групна линейных преобразований (невырожденных операторов) в нек-ром линейном пространстве L, то гомоморфизм [/ G G наз. представлением группы G (точнее, линейным представлением). Т. о., линейное представлеипе каждому элементу g группы G ставит в соответствие невырожденный линейный оператор U g), причём произведению элементов Г. соответствует произведение операторов, [c.541]

Алгебры Ли групп 50(4,1), 50(3,2) и 50(5) являются разл. вещественными формами одной и той же комплексной алгебры Ли. По этой причине конечномерные представления Д. С. г. можно получить из конечномерных представлений группы SO (5) умноже- 5ВЗ [c.583]

Нахождение динамич. группы симметрии физ. задачи, с одной стороны, эквивалеитно решению Шрёдин-гера уравнения (или Дирака уравнения, Клейна — Гордона уравнения) для данной системы, с др. стороны — позволяет использовать хорошо развитый матем. аппарат теории представлений групп Ли и получать соот- [Ошения типа рекуррентных соотношений для матричных элементов операторов физ. величин, что важно при расчётах физ. эффектов по теории возмущепий (папр., при расчёте Штарка эффекта для атома водорода). [c.625]

КАЗИМЙРА ОПЕРАТОР — полином, составленный из генераторов представления группы Ли, коммутирующий со все.мп и, следовательно, со всеми операторами представления. К. о, входят в полный набор П коммутирующих операторов, выделяемый из всевозможных эрмитовых ф ЦИЙ генераторов, и составляют часть набора П, инвариантную относительно действия группы. Одновременные собственные значения К, о. классифицируют неприводимые представления группы. [c.229]

В квантовой теории физ. величинам соответствуют эрмитовы операторы, а одновременные собств. значения операторов полного набора П наз. квантовыми числами состояния, преобразующегося по данному представлению группы. Напр., у группы вращений. S t>(3) имеется К. о, с собств. значением [c.229]

В системе из большего числа одинаковых частиц могли бы в принципе осуществляться более сложные представления группы перестановок частиц (см. Парастатистика). Однако, как показывает опыт, в системе из произвольного числа тождеств, частиц имеет место симметрия или антисимметрия отвосительно переста-вовки любой пары частиц. Свойство симметрии или антисимметрии оказывается характерным признаком данного сорта частиц. Соответственно все частицы делятся на два класса. Частицы, описываемые симметричными волновыми ф-циями, иаз. бозоиалц, антисимметричными — фермионами. Эмпирически было установлено правило, связывающее симметрию волновых ф-ций тождеств, частиц со значением их спина (т. н. связь спина и статистики). В нерелятивистской К. м. оно было принято в качестве постулата [c.291]

Вводимое таким путём операторное поле оказывается совершенно аналогичным квантованному эл.-магн. нолю, отличаясь от него лингь выбором представления группы Лоренца и, возможно, способом квантования. Подобно эл.-магн. полю, одно такое иоле соответствует всей совокупности тождественных частиц данного сорта, наир, одно операторное Дирака поле описывает все электроны (и позитроны ) Вселенно1Г. [c.300]

Но для заряж. частпц так поступать нельзя операторы и в (6) будут один увеличивать, а другой — уменьшать заряд, и их линейная комбинация не будет обладать в этом отношении определ. свойствами. Поэтому для образования локального поля приходится привлекать в пару к операторам рождения операторы уничтожения а не тек же частиц, а новых частиц (пометили нх сверху значком тпльда ), реализующих то же представление группы Пуанкаре, т. е. обладаю-гаих в точности теми же массой и спином, но отличающихся от первоначальных знаком заряда (знаками всех зарядов т), и писать [c.302]

Из Паули теоремы следует теперь, что для п(ь лей целого спина, полевые функции к-рых осуществляют однозначное представление группы Лоренца, при квантовании по Бозе — Эйнштейну коммутаторы [и (z), м( /)] или [м(л ), ( (у)] пропорц. ф-ции D x—y) и исчезают вне светового конуса, в то время как для осуществляющих двузначные представления полей полуцелого сниыа то же достигается для антикоммутаторов [и(х), и у)] (или [i (a ), (у)] + ) при кваа- товании по Ферми — Дираку. Выражаемая ф-лами (6) или (7) связь между удовлетворяющими линейным ур-ниям лоренц-ковариантными ф-циями поля и или v, v и операторами л, ai рождения и уничтожения свободных частиц в стационарных квантовомеханич. состояниях есть точное магем. описание корпускулярно-волнового дуализма. [c.302]

Смотреть страницы где упоминается термин Представление группы : [c.61] [c.137] [c.151] [c.913] [c.916] [c.256] [c.272] [c.273] [c.365] [c.501] [c.584] [c.625] [c.138] [c.233] [c.265] [c.265] [c.300] [c.301] [c.308] [c.271] [c.274]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...