Секулярное уравнение

Динамическая теория решетки. Метод, предложенный для вычисления теплоемкости Борном и Карманом [6—8], основан на расчете действительного вида колебательного спектра при определенных предположениях о характере межатомных сил. Частоты собственных колебаний решетки вычисляются здесь как корни секулярного уравнения, получающегося из определителя преобразования к нормальным координатам. Степень такого уравнения есть 3. (5—число атомов в одной ячейке), а число уравнений равно числу ячеек. Поэтому все-таки для окончательного вычисления g(v) должны быть развиты соответствующие приближенные методы. Борн и Карман [8] использовали метод, в основном подобный тому, каким мы пользовались при выводе формул (5.1) и (5.2), и показали, что их результаты подтверждают закон Дебая для низких температур, согласно которому теплоемкость [c.320]

В соответствии с формулами (4.40) и (4.48) если электроны находятся в поле периодического потенциала, то на границе зоны Бриллюэна секулярное уравнение имеет два корня, и это соответствует тому, что электроны могут находиться в двух энергетических состояниях с расстоянием между ними 2Ug. Рассмотрим типичный случай с Ug<0. Для него ei = е = ,g/2—jt/gl, ej=e+ = = Ji,g/2 + t/gl- При уменьшении к ei будет убывать, начиная от Е-, а б2 будет расти, начиная от е+. Легко сообразить, что при малых к большие значения (g/2) могут встречаться только для одной из волн. Это видно из уравнения (4.34), поскольку если знаменатель обращается в нуль, скажем, при й = 0, то вблизи любого из k+g он будет достаточно большим. По этой причине при g = 0 (т. е. в начале координат), как и при всех других значениях g, существенной окажется только одна из волн, и энергетические состояния электронов будут аналогичны состояниям для свободных электронов. Общий вид закона дисперсии е(к) изображен на рис. 4.4, который показывает, что в энергетическом спектре электронов возникают зоны разрешенных и запрещенных энергий. Появление запрещенных зон (или, иначе, энергетических щелей) — прямое следствие воздействия на электрон периодического потенциала. [c.72]

Решение секулярного уравнения (85) дает значения энергий состояний и коэффициенты С , соответствующие этим состояниям. [c.56]

Пусть —энергетический уровень Зс/-электрона до снятия вырождения. Энергетические уровни Ш /=1, 2, 3, 4, 5) могут быть найдены из решения секулярного уравнения, но сначала надо вычислить матричные элементы [c.216]

Секулярное уравнение, соответствующее матрице 2x2, имеет вид [c.217]

Недиагональные компоненты матрицы равны нулю. Приравнивая нулю определитель, получим секулярное уравнение, решение которого дает [c.228]

Секулярное уравнение имеет вид [c.229]

Перейдем теперь к составлению детерминанта, приравнивание нулю которого дает секулярные уравнения, которые определяют энергетические уровни. Правила действий со спиновыми операторами просты [c.266]

Таким образом, секулярное уравнение (24) дает [c.80]

Были рассмотрены различные другие модели, которые применимы к распространению звука в текучих средах при определенных условиях. В наиболее общем случае [79, 36, 37, 73] система алгебраических уравнений для р1, 01, И , к которым сводятся для синусоидальных плоских волн линеаризованные гидродинамические уравнения, приводит к биквадратному секулярному уравнению для г]) (для нетривиального решения системы определитель коэффициентов должен быть равен пулю). Это уравнение может быть записано в форме [c.169]

Найденная фурье-компонента и к, к ) подставляется в формулу (14.20), а результат используется в системе уравнений (14.16). Обрывая систему на каком-либо /С и решая секулярное уравнение (условие обращения в нуль детерминанта системы линейных однородных уравнений) получаем энергетический спектр. [c.264]

Сопоставляя (79.4) и (72.8), видим, что с помощью преобразования Фурье мы свели задачу к секулярным уравнениям с размерами Шг X 3Nr) к N различным секулярным уравнениям с размерами (Зг X Зг) каждое. Каждое из этих уравнений [c.208]

Тензорный анализ полезен при определении критических точек функции распределения частот фононов. При этом применяется теория возмущений для вырожденного случая, приводящая, как всегда, к секулярному уравнению. Основные матричные элементы в этом уравнении можно определить с помощью теоретико-группового анализа. [c.298]

Чтобы найти qj, нужно решить (33.15) или эквивалентное секулярное уравнение [c.236]

Поэтому секулярное уравнение имеет размерность 3X3 и содержит только X, г/, 2-компоненты смещения дефекта [c.237]

Тогда секулярное уравнение для возмущенных частот (33.25) распадается на произведение трех тождественных диагональных членов (каждый из которых должен обращаться в нуль), дающих трехкратно вырожденный корень [c.238]

Положение уровней -конфигурации в кристалле определялось из решения секулярного уравнения для гамильтониана [c.189]

Если возбуждены вырожденные колебания, картины расщепления и сдвигов существенно усложняются. Соответствующие формулы могут быть найдены в монографии [23]. Для случаев (ЗС) — (8С) замкнутые выражения для энергии не получены, так как в этих вариантах приходится решать секулярные уравнения выше второго порядка. [c.39]

В тех случаях, когда у + а 90 или у + а 180 , Л13 и Л23 сильно различаются. Например, для молекулы Н2О, где у- -а 99°, константы А1з==Лз1 достигают максимального значения 0,3 при замещении НгО- НТО, а величина Л23 0,05. Таким образом, в первом приближении секулярное уравнение третьего порядка (2.53) распадается на одно уравнение первого порядка (2.54) (для частоты со ) и одно уравнение второго порядка (2.55), из которого [c.50]

Если для X использовать предположение (19.2), то появляется секулярное уравнение (28.1), в котором теперь У К — К ) есть фурье-компоненты псевдопотенциала [c.126]

Это приводит к секулярному уравнению [c.255]

Подстановка этого выражения в (2.20) дает следующее секулярное уравнение для Л [c.83]

Введем базис (необязательно ортогональный), в котором матрица М имеет диагональный вид и расположена на главной диагонали матрицы М. Это можно сделать, не затрагивая дополнительную строку и столбец, которыми квадратная матрица М порядка N отличается от М. Без ограничения общности можно считать, что эти строка и столбец стоят на последнем месте. Тогда легко видеть, что детерминант секулярного уравнения для матрицы М. равен [c.305]

Множитель N сокращается с нормировочным множителем плоских волн, и мы получаем формфакторы гибридизации Л , вычисленные по плоским волнам, нормированным в атомном объеме. Уравнение (2.81) при этом точно приобретает вид секулярного уравнения для [c.230]

Первые более строгие расчеты такого типа были произведены в 1935 г. Блекменом [9], который определил ряд корней характерных секулярных уравнений для простой модели кубической решетки и по полученной гистограмме нашел приближенную функцию [c.321]

В этом случае только двукратно вырожденное собственное значение, соответствующее рис. 17, б, обращается в нуль, и мы действительно остаемся с четырьмя собст-ве1П1ыми значениям , отличными от нуля. Секулярное уравнение сказывается достаточно простым, и нормальные координаты могут быть в конце концов найдены. Но все это мы оставляем в качестве упражнения читателю. [c.88]

Нетривиальное решение системы уравнений существует при условии равенства нулю ее детерАгинанта. Из этого условия вытекает се-кулярное (вековое) алгебраическое уравнение -й степени иоЕ, имеющее решение только при определенных значениях энергии Ei, Ео, - Еп- Наименьший из корней секулярного уравнения является наилучши.м приближением к энергии основного состояния системы при заданном базисе функций ф . Остальные корни интерпретируются как приближенные энергетические уровни возбунчденных состояний системы. [c.133]

Выводы, о принципиально возможных типах минимумов адиабатического потенциала были основаны на выборе колебаний определенного типа симметрии и группы симметрии исходной конфигурации-молекулы. Дальнейшую информацию об ограничениях, накладываемых конкретизацией симметрии электронных волновых функций ч) (5Ь г7 (,), и о форме адиабатического потенциала можно получить из секулярного уравнения. При составлении секулярного уравнения будем пользоваться таблицами коэффициентов Клебша—Жордана точечных групп, которые для всех практически встречающихся групп табулированы Использование [c.5]

Число возможных к (а.АВ) и определяет тшличество независимых параметров в секулярном уравнении. Запишем секулярное уравнение в виде [c.6]

Подставляя выражения шпуров в (3. 12) и (3.13) можно получить секулярное уравнение для каждого уровня. В случае уровня Е оно совпадает с уравнением (23), полученным в работе [ ] прямым выт1ислением. [c.8]

Укажем в заключение на различие и сходство в задачах об определении зависимости адиабатического потенциала от нормальных координат Ш Q) и зависимости энергии зонного электрона в кристалле в зависимости от компонент импульса Е (к). Обе эти величины суть собственные значения уравнения Шредингера с.параметром Q или к), симметрия которого определяется значением этого параметра. Задача для W прош е, чем задача для Е, в том смысле, что она относится к точечной, а не пространственной группе и в ней не возникает сложностей, связанных с трансляциями и нагруженными представлениями. Однако задача для суш е-ственно сложнее в том смысле, что симметрия к-пространства всегда одинакова (группа кристаллического класса), в то время как симметрия -пространства зависит от колебательного представления. Метод, предложенный в настояш ей работе для написания секулярного уравнения, может быть использован в теории зон и представляет в этом смысле общую формулировку приемов, использованных для частных случаев в [ ]. [c.8]

Для определения энергетических уровней молекулы решалось секулярное уравнение, представленное в нашем случае детерминантом 20 X 20, который может быть факторизован с учетом симметрии молекулы. Плоская молекула I обладает симметрией С,., что позволяет ввести молекулярные орбиты, преобразующиеся по четному [c.36]

Эта глава содержит применения теории пространственных групп к классической теории колебаний кристаллической решетки [4—6, 59—64]. Основной эффект от использования полной пространственной группы симметрии состоит в упрощении решения секулярного уравнения для определения частот нормальных колебаний и соответствующих собственных векторов в гармоническом приближении. Секулярное уравнение оказывается факторизованным согласно неприводимым представлениям рассматриваемой пространственной группы . Факторизация по пространственной симметрии приводит к появлению пространственных координат, зависящих от волнового вектора k неприводимого представления. Учет полной симметрии обеспечивает дальнейшее уточнение свойств отдельных собственных векторов, преобразующих согласно допустимым представлениям группы k), т. е. по определенной строке неприводимого представления группы . [c.173]

Так как оператор (2.2) преобразуется по единичному представлению группы О и не зависит от спина, то матричные элементы мйжду функциями (2.1) будут отличны от нуля лиигь в случае одинаковых значений Г8 (и ММз). Поэтому полное секулярное уравнение распадается на ряд независимых уравнений (для каждого блока Г8 полной матрицы возмущения). Это означает, что фактически взаимодействуют лишь одинаковые термы Г8. В тех случаях, когда рассматриваемый уровень Г8 не имеет себе подобных (того же тина Г8), сохраняются результаты, которые получены в приближении среднего поля, т. с. линейная (в первом приближении теории возмущений) зависимость от Вд. [c.13]

Величины магнитного расщепления штарковских подуровней редкоземельного иона в кристалле, принадлежащих конфигурации f", могут быть просто определены путем решения секулярного уравнения, матричные элементы которого вычисляются для волновых функций, характеризующих штаркоБСкие подуровни в поле О - Такие орто-пормирован-ные волновые функции протабулированы в [41] для различных значений полного момента количества движения 3 и различных параметров смешивания X, характеризующих соотношение параметров В4 и Ве кубического поля. Непосредственное вычисление показывает, что величины кристаллических -факторов могут очень сильно отличаться от атомных множителей Ланде. [c.103]

Параметры Ля, х для симметричного и несимметричного изотопозамещения в нелинейных трехатомных молекулах симметрии 2V даны в [4]. Частоты oi и (02 при симметричном изотопозамещении определяются из соотношения (2.55), а при несимметричном замещении ядер — из секулярного уравнения (2.53) третьего порядка. Если то os т, os б 1 и [c.50]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...