Неприводимые представления пространственных групп

Теперь рассмотрим классификацию электронных спиновых функций по неприводимым представлениям пространственной группы К(П). Пара спиновых функций (а, р) электрона с квантовым числом спинового углового момента S = /2 преобразуется по двумерному представлению )( W пространственной группы К (П). [Группа К (П) является спиновой двойной группой для группы К(П), а введение этой расширенной группы К (П) требуется для классификации состояний с полуцелым значением углового момента. Этот вопрос рассматривается более подробно в гл. 10.] Произведения 2" спиновых функций п-электронной системы преобразуются по прямому произведению (g) [c.116]

Для достижения этих целей необходимо ясно представлять общий план, которому мы будем следовать. Сначала мы кратко изложим общую теорию кристаллических пространственных групп. Далее мы проанализируем следствия симметрии пространственных групп. Эти следствия в большой мере вытекают из предположения о существенном характере вырождения, которое основано на том, что физические состояния системы образуют базис для неприводимых представлений группы симметрии. Поэтому нам потребуется изложить теорию неприводимых представлений групп симметрии, а также теорию функций, образующих базис представлений. Вследствие тесной связи между состояниями системы и представлениями большое внимание уделяется развитию теории неприводимых представлений пространственных групп излагается целый ряд методов, применявшихся в последнее время для нахождения неприводимых представлений. Непосредственным и естественным обобщением этого рассмотрения является получение правил отбора для переходов между состояниями. Для этого необходимо выполнить разложение прямого произведения двух неприводимых представлений на неприводимые составляющие. [c.15]

Полные таблицы неприводимых представлений пространственных групп Лр [c.80]

Неприводимые представления пространственных групп 81 [c.81]

Неприводимые представления пространственных групп 83 [c.83]

Неприводимые представления пространственных групп 85 [c.85]

Предположим теперь, что мы располагаем полным набором из г допустимых неприводимых представлений пространственной группы (й). Эти представления мы будем обозначать [c.93]

Неприводимые представления Пространственных групп 121 [c.121]

Аналогично определению обычных коэффициентов приведения кт к т к"т"), позволяющих разложить произведение двух произвольных неприводимых представлений пространственных групп, можно определить коэффициенты приведения для обычных и симметризованных степеней неприводимых представлений. [c.141]

Для определенности рассмотрим коэффициенты приведения из (55.4), а именно ( 1 т к т к"т"). Эти коэффициенты возникают при разложении обычного прямого произведения двух различных неприводимых представлений пространственной группы. Рассмотрим пространство (53.5). Типичная функция пространства (53.5) имеет вид [c.142]

Полные коэффициенты приведения для произведений неприводимых представлений пространственных групп определены в [c.146]

Предположение о существенном вырождении позволяет установить связь между чисто математическим анализом в главах 2—7 неприводимых представлений пространственной группы и физическим смыслом свойств симметрии собственных векторов и динамической матрицы [/)]. Тогда индексы /р, характеризующие собственные векторы в (75.1), можно сопоставить с индексами к) т) представлений [c.199]

Как было отмечено в предыдущем параграфе, вопрос о существенном вырождении при наличии группы непосредственно связан с вещественностью представлений )( ) (/) группы пространственной симметрии кристалла. В этом параграфе мы построим теорию, которая позволяет установить критерий вещественности Предположим, что все неприводимые представления пространственной группы известны. Тогда ясно, что если допустимое малое неприводимое представление )( )(т) группы (Л) вещественно, то и индуцированное представление группы тоже вещественно. Это достаточное условие вещественности, которое в действительности является [c.245]

Следовательно, (94.16) и (94.19) являются частями у( к)(т) для одного и того же неприводимого представления пространственной группы [c.259]

В 112, 113 изложена традиционная теория Борна — Оппенгеймера. Несмотря на то что она обычно излагается в учебниках [4], она необходима нам здесь, чтобы ввести единые обозначения, а также для ссылок в дальнейшем на эти параграфы. В 114 мы обсуждаем переход от классических к квантовым нормальным координатам. В 115—118 рассматривается симметрия собственных состояний решетки в гармоническом приближении. В этих параграфах при выполнении процедуры приведения симметризованных степеней неприводимых представлений пространственных групп получены характеристики обертонов и комбинированных частот по симметрии. [c.353]

Устойчивую спиновую конфигурацию (магнитный порядок) в антиферромагнитных кристаллах часто описывают с помощью инвариантов второго порядка, образованных из компонент векторов F, G, С, А и преобразующихся по одному неприводимому представлению пространственной группы кристаллов [II]. [c.653]

В физике твёрдого тела используется теория представлений групп с помощью матриц и спец, ф-ций, для пространственных групп эти ф-ции периодичны. Так, в теории структурных фазовых переходов 2-го рода пространственная группа симметрии менее симметричной (низкотемпературной) фазы является подгруппой пространственной группы более симметричной фазы и фазовый переход связан с одним из неприводимых представлений пространственной группы высокосимметричной фазы. Теория представлений позволяет также решать задачи динамики кристаллической решётки, её электронной и магн. структур, ряда физ. свойств. [c.514]

Данная глава, включающая 27—51, является одной из наиболее важных глав, всей книги. В ней излагается общая теория неприводимых, представлений пространственных групп. Рассматриваются как случай симморфных, так и случаи несимморфных групп. Излагаемый здесь материал применим к любой системе многих тел, обладающей симметрией пространственной группы с другой стороны, любая такая система, инвариантная относительно группы преобразований, образующих пространственную группу , обладает свойствами, согласующимися с неприводимыми представлениями группы . [c.79]

Второй случай соответствует звезде специального типа, и при его рассмотрении проявляются новые особенности неприводимых представлений пространственных групп. Рассмотрение звезды специального типа приводит к понятию пространственной группы волнового вектора , ( ), и к задаче о неприводимых представлениях группы к). Допустимые неприводимые представления группы (й) индуцируют неприводимые представления группы . Построив неприводимые представления группы , мы проверим для них соотношения полноты и ортонормкровац-дорти. [c.79]

До сих пор метод полной группы успешно применялся для получения полного набора коэффициентов для ряда различных симморфных и несимморфных групп. Следует отметить, лто он использовался также для анализа значительно более сложных случаев, чем те, к которым применялся метод подгруппы. Чтобы понимать в равной степени и теорию конечных групп, и общую теорию пространственных групп в целом, необходимо полностью разобраться в методе полной группы, и только тогда применять в специальных случаях метод подгруппы, соблюдая во избежание ошибок известную осторожность. В 53—60 обсуждается структура представлений прямого произведения, полученных вычислением обычного и симметризованного прямого произведения неприводимых представлений пространственной группы. Затем излагается основной принцип построения правил отбора для волновых векторов и звезд. Используя эти правила, можно определить все коэффициенты приведения и тем самым осуществить приведение. [c.134]

Глава начинается с традиционного рассмотрения симметрии обращения времени в 88—94, основанного на отождествлении оператора обращения времени с комплексным сопряжением. При этом оператор обращения времени действует на иные переменные, чем пространственные преобразования. Комплексное сопряжение состоит в преобразовании (отображении) комплексного поля (в котором заданы собственные векторы) на само себя, тогда как пространственные преобразования отображают точки конфигурационного пространства на само себя. Так как основными переменными динамики решетки являются вещественные смещения, физические неприводимые представления также должны быть вещественными. Критерий Херринга вещественности неприводимых представлений пространственных групп обсуждается в 93 [69]. В 94 дано обобщение более полезного критерия вещественности, данное Фреи [70]. Используя этот последний критерий, можно определить не только, является ли данное представление вещественным, комплексным или псевдо-вещественным, но в случае комплексного представления установить симметрию комплексно сопряженного представления. [c.233]

Отметим в заключение, что содержание этой главы представляет, с одной стороны, общий интерес (критерий вещественности и классификация неприводимых представлений пространственных групп), а с другой стороны, касается рассмотрения конкретного физического гамильтониана для динамики кристаллической рещетки. В этом смысле пространственно-временная группа симметрии является группой динамической симметрии. [c.234]

В заключение укажем общую схему. Для любой физической величины, которая преобразуется ковариантно при общих поворотах, нужно сначала найти представления группы , т. е. пространственной группы, по которой преобразуются компоненты ковариантной физической величины. Чтобы в разлол<ении этой физической величины по нормальным координатам возникло некоторое конкретное произведение, необходимо, чтобы это конкретное произведение содержало линейное векторное пространство, соответствующее тем же представлениям группы , что и при преобразованиях коварианта как целого. Так как нормальные координаты, согласно (86.30), являются базисом для неприводимого линейного векторною пространства, во всех случаях, чтобы выбрать конкретное произведение, нужно использовать правила приведения обычного и симметризованного произведений матриц и степеней неприводимых представлений пространственных групп. [c.350]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...