Преобразование симметрии

Гомотетия и подобие. Гомотетия — преобразование, при котором каждой точке М (плоскости или пространства) ставится в соответствие точка М, лежащая на ОМ (рис. 5.16), причем отношение ОМ. ОМ= X одно и то же для всех точек, отличных от О. Фиксированная точка О называется центром гомотетии. Отношение ОЛТ считают положительным, если М и Л/лежат по одну сторону от О, отрицательным — по разные стороны. Число X называют коэффициентом гомотетии. При Я.< О гомотетию называют обратной. При = —1 гомотетия превращается в преобразование симметрии относительно точки О. При гомотетии прямая переходит в прямую, сохраняется параллельность прямых и плоскостей, сохраняются углы (линейные и двугранные), каждая фигура переходит в ей подобную (рис. 5.17). [c.68]

Из выражения (4.36) следует, что траектории плоскости Г1 = + 1 симметричны относительно оси и О траекториям плоскости Г) = — 1. поэтому для исследования динамики системы в рассматриваемом случае 8 < 1 достаточно рассмотреть точечное отображение, порождаемое на кривой Г траекториями плоскости т] = + 1, и преобразование симметрии относительно оси и = О, переводящее точку и, ф) в точку (—и, ф). Траектории плоскости т] = - - 1 касаются кривой Г в точке И/ = Д/2а, поэтому порождаемое этими траекториями точечное отображение преобразует точки кривой Г, для которых —оо а и <С. Uii, в точки той же кривой, для которых и > Подставляя в выражение (4.36) координаты начальной точки и = —х, <ро = ТА — [c.97]

В зоне Бриллюэна особый интерес вызывают так называемые точки симметрии, обладающие тем свойством, что они переходят сами в себя при некоторых преобразованиях симметрии, допускаемых в данной решетке. К числу названных точек относится центр первой зоны Бриллюэна (начало [c.65]

Далее в основном будет идти речь о преобразовании симметрии в кристалле. При этом стоит отметить, что многие закономерности симметрии кристаллов и ее использования в квантовой теории и других разделах физики твердого тела в наиболее общей форме описываются на основе одного из разделов математики — теории абстрактных групп. [c.125]

К первичным преобразованиям симметрии тела обычно относят [1, 24] а) параллельный перенос тела б) зеркальное отражение в некоторой плоскости в) поворот на определенный угол вокруг некоторой оси. Тело конечных размеров может быть, очевидно, симметричным только по отношению к отражениям и поворотам, параллельный перенос как симметричное преобразова- [c.125]

Преобразования симметрии могут комбинироваться между собой. Так, дважды осуществленное отражение в плоскости приводит к тождественному преобразованию, обозначаемому как 1 или Е [c.126]

Из вида формул (6.2) и (6.3) следует, что последовательное осуществление нескольких преобразований симметрии определяется и записывается как умножение преобразований симметрии, при этом справа указывается более ранняя операция. [c.126]

Такое умножение возможно и для различных типов преобразования симметрии. Например, комбинация поворота и отражения в плоскости, перпендикулярной оси, приводит к зеркально-поворотным осям л-го порядка. В этом случае совмещение тела происходит после поворота на угол 2я/п и отражения в плоскости [c.126]

Стоит отметить, что далеко не все преобразования симметрии могут комбинироваться. Так, оси симметрии 4-го порядка могут быть только взаимно перпендикулярны, оси третьего порядка могут пересекаться только под определенным углом и т. д. Особый интерес вызывает возможность комбинирования преобразований симметрии типа поворота с трансляционной симметрией. [c.127]

Итак, преобразования симметрии можно комбинировать между собой, причем комбинации преобразований симметрии в свою очередь также являются преобразованиями симметрии, [c.128]

Другой способ, более удобный при рещении различных задач в теории твердого тела, называется матричным. В этом случае каждому преобразованию симметрии сопоставляется матрица преобразования координат тела (или координатной системы). [c.128]

Получим компоненты матрицы D для преобразования симметрии типа поворота относительно оси на угол а. Пусть, например, ось поворота направлена вдоль Хз, и до поворота координаты вектора х записываются следующим образом (г — расстояние до оси) [c.128]

Матрицы для ряда преобразований симметрии [c.129]

Вид матриц D при некоторых преобразованиях симметрии приведен в табл. 6.1. [c.130]

Из табл. 6.1 видно, что для преобразований симметрии первого рода Z> = 1, а второго — >1 =—1. [c.130]

Поскольку при последовательных преобразованиях симметрии детерминанты будут перемножаться, то никакая комбинация операций I рода не может привести к операции II рода, но четное число операций II рода приведет к операции I рода. [c.130]

В нижней строке табл. 6.1 приведены величины Sp D для рассмотренных в этой таблице преобразований симметрии. Важной особенностью SpD является его независимость от выбора направлений осей координат. Это подтверждается, например, одинаковостью SpD для оси 3 при различном выборе осей координат. [c.130]

Сравнение преобразований симметрии и свойств их взаимного сочетания с элементами абстрактных групп и их композициями показало, что многие характеристики преобразований симметрии могут быть описаны на языке теории абстрактных групп. Теоретико-групповой анализ преобразований симметрии позволяет не только наиболее компактно их описывать, но и широко используется в последнее время для классификации электронных состояний, колебательных уровней и т. д. В связи с этим в следующем параграфе излагаются наиболее важные элементы теории абстрактных групп. [c.130]

Совокупность преобразований симметрии можно представить в виде совокупности трехмерных матриц [c.134]

Найдем в качестве примера матрицы преобразований симметрии, матричные представления и характеры групп Се и Оз, свойства которых описаны в начале данного параграфа. [c.136]

Специальный анализ решений уравнений Шредингера показал, что каждому уровню энергии системы соответствует неприводимое представление. Поэтому размерность этих представлений определяет число уровней с одинаковой энергией. К тому же уравнение Шредингера оказывается инвариантным по отношению к преобразованиям симметрии системы. Из этих положений, на- [c.138]

Для определения множества преобразований симметрии, отвечающих подобным пространственным группам, необходимо перемножить преобразования симметрии точечных и трансляционных групп. При этом могут появиться и дополнительные элементы симметрии. Анализ показал, что число полученных таким образом пространственных групп равно 73. При получении этих групп было также учтено, что в тетрагональной, гексагональной и ромбической системах возможно несколько способов совместимого взаимного расположения элементов точечной и трансляционной симметрий. [c.151]

Поясним это понятие. Калибровочная инвариантность — это такая симметрия уравнений движения, в которой преобразование симметрии определено в каждой точке пространства и в каждый момент времени, причем преобразования в разных точках и в разные моменты времени могут быть различными. Конкретно калибровочная симметрия слабых взаимодействий состоит в следующем. Для дублетов (7.193) существует симметрия типа изотопической инвариантности (см. гл. V, 6). Именно уравнения движения инвариантны по отношению к преобразованиям типа (5.34), в которых состояния дублетов заменяются на их линейные суперпозиции. Например, [c.427]

Условие (7.214) и отражает свойство калибровочной инвариантности. Очевидно, что калибровочная инвариантность является существенно более высокой симметрией, чем обычная, поскольку калибровочных преобразований симметрии гораздо больше, чем обычных. Действительно, обычной симметрии изотопического типа соответствует частный случай не зависящих от времени функций а и р в (7.213). Из-за сходства инвариантности (7.213) с изотопической дублеты (7.193) часто называют слабыми изотопическими дублетами. Употребляется также термин слабый изотопический спин. [c.427]

Сравним колебания конструкции в симметричных точках, координаты которых связаны преобразованием симметрии = Т г. Допустим, что колебательное поле конструкции характеризуется скалярной функцией Р (например, скалярным потенциалом). Поскольку при симметричном преобразовании Г, вектора г в вектор Tj сама конструкция не изменилась (при этом вектор [c.245]

Таким образом, всевозможные формы колебаний механической конструкции, имеющей поворотную симметрию Л -го порядка, распадаются на N типов, определяемых равенствами (7.41) —(7.43). Если разбить конструкцию на N одинаковых секторов, которые совмещаются друг с другом при преобразованиях симметрии, то для каждого из этих типов достаточно знать вектор смещения в одном из секторов н соответствующий корень Кщт. Смещения в других секторах отличаются множителем вида фт. [c.246]

Аналогично вышеизложенному могут быть найдены различные тины колебаний конструкций с другими видами симметрии. Так, для конструкции, имеющей плоскость зеркальной симметрии, совпадающую с плоскостью yz, преобразование симметрии имеет вид [c.248]

Указание параметров геометрических преобразований фигур на чертеже позволяет реализовать некоторые удобства, возникающие при этом. Так, указание масштаба чертежа позволяет строить уменьшенные либо увеличенные изображения. Задание преобразования симметрии позволяет наносить размерную информацию на чертеже более компактно и т. д. [c.38]

Под точечной группой симметрии понимают совокупность (множество) преобразований симметрии, сохраняюш,их неподвижной хотя бы одну точку. Этот тип симметрии реализуется, например, в непрерывно заполненных веществом конечных фигурах. Для определения всех точечных групп необходимо рассмотреть все возможные сочетания элементов симметрии. Для удобства разделим все точечные группы на семейства в зависимости от того, содержат ли они только одну ось симметрии или несколько, имеют ли они плоскость или центр симметрии [l]. [c.139]

Точечная группа с наибольшим числом преобразований симметрии называется голоэдрической, с пониженным — гемиэдриче-ской (иногда под гемиэдрией понимают уменьшение числа преобразований в два раза). Несводимы одна к другой лишь гексагональная и кубическая системы. [c.145]

Найдем преобразование симметрии, отвечающее оси Соо, ориентированной вдоль оси Хз. Поворот на бесконечно малый угол Асх будет описываться матрицей (с учетом osAa->-l, sinAa->-Aa) [c.146]

Совокупность всех возможных преобразований симметрии кристаллической структуры называется пространственной, или федоровской, группой симметрии. Эти группы симметрии были выведены Е. С. Федоровым в 1890 г. и независимо чуть позже А. Шен-флисом за двадцать лет до экспериментального доказательства существования пространственной решетки кристалла. Различают два типа пространственных групп симметрии симморфные и не-симморфные. Симморфные группы возникают при размещении элементов симметрии точечных групп в узлах решетки Бравэ. Если обозначить федоровскую симморфную группу символом Фс, трансляционную — 7, точечную —/С, то между ними существуют следующие соотношения [c.151]

Трансляционные преобразования симметрии не исчерпываются одним лишь трансляционным переносом. Совмещение трансляци- [c.151]

Сочетание точечных и трансляционных групп симметрии с преобразованиями симметрии типа плоскости скользящего отражения и винтовой оси приводит к появлению пространственных не-симморфных групп симметрии. Их число 157, и потому общее число федоровских пространственных групп 230. В международных обозначениях этих групп сначала указывается символ решетки Бравэ, затем порождающие элементы симметрии в трехпозиционном порядке, причем в необходимых случаях символы плоскостей и осей симметрии заменяются символами плоскостей скользящего отражения и винтовых осей, например PAijm m, 14], P3j21 и т. д. Последовательность указания позиций зависит от системы кристалла [24]. [c.152]

Пространственные группы симметрии определяют правильные системы точек, которые образуются из одной точки, находящейся в общем положении, т. е. не расположенной на элементе симметрии, приложением к ней всех преобразований симметрии данной группы. Точки n Tj эквивалентные по точечной группе, являются вершинами многогранника, называемого изогоном. [c.153]

I рода можно было бы, конечно, продолжить. Они существуют, например, и в жидкостях, где к таковым относится переход из -жидкой фазы в жидкокристаллическую. Характерные черты переходов II рода, наблюдающиеся во всех случаях, — непрерывность, -Я-образный характер температурных зависимостей вторых произ-гводных G, отсутствие температурных гистерезисов. Вследствие непрерывности этого перехода между симметрией более и менее симметричных фаз существует определенное соответствие пространственная группа одной из этих фаз должна быть подгруппой пространственной группы другой фазы (часть элементов симметрии исчезает при переходе в менее симметричную фазу). Доказана теорема о том, что фазовый переход II рода может существовать для всякого изменения структуры, связанного с уменьшением вдвое числа преобразований симметрии. При этом периоды элементарной ячейки могут меняться в несколько раз (2—4). [c.262]

Здесь Gij] l и К1щ — тензоры четвертого ранга. Величины Gijkl образуют тензор упругих податливостей, а функции Кцх1 представляют собой ядра ползучести. Б общем случае число независимых компонент тензора упругих модулей и тензора ядер ползучести] не превосходит 21. При наличии в теле плоскостей симметрии и осей симметрии различного порядка число независимых компонент тензоров и Gij l сокращается. В случае изотропной среды тензоры и не изменяются при преобразованиях симметрии и поворота системы координат. Из общего вида изотропного тензора четвертого ранга вытекает, что [c.18]

Симметрия и ее следствия. Пусть имеется симметричная механическая конструкция, точки которой характеризуются координатным вектором г = (д , z . Симметричность конструкции означает, что существуют такие линейные векторные преобразования, отличные от тождественного, которые в результате применения к вектору г совмещают конструкцию саму с собой. Положим для определенности, что констру1щия обладает поворотной симметрией N-to порядка, т. е. что она совмещается сама с собою при повороте вокруг оси z па угол, кратный ф i= 2я/М (рис. 7.24). Преобразование симметрии, осуществляющее поворот конструкции на угол ф, имеет вид следующей матрицы [c.245]

Другим примером является преобразование симметрии. Если фигура AB DEF задана параметрами формы, то полностью определены симметричные ей фигуры, если задано преобразование симметрии. [c.38]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...