Оператор отождествления

Пусть Но,Н—самосопряженные операторы в гильбертовых пространствах Но и Н соответственно Ко г) = (Яо — ) К г) = (Я — г) —их резольвенты 3 Но Н—ограниченный оператор (отождествления) 0—вспомогательное гильбертово пространство. Напомним, что оператор С Н называется И-ограниченным, если Т> Н) С Т> С) и оператор СК г) ограничен при 2 из резольвентного множества р = р(Н). Лля таких С мы систематически считаем, что (по определению) [c.68]

Мы с самого начала допускаем, что свободный Но) и полный (Я) гамильтонианы действуют в различных гильбертовых пространствах, обозначаемых соответственно через Tio и TI. Построение теории рассеяния требует при этом задания ограниченного оператора J Tio W, называемого оператором отождествления. Результаты, относящиеся к важному частному случаю Tio = Ti, J = I формулируются отдельно как следствия более общих утверждений. [c.88]

Поскольку Яо и Я действуют в разных гильбертовых пространствах, при построении для пары Яо,Я теории рассеяния нужно ввести оператор отождествления J Но И. В качестве J можно, например, взять оператор J = отображающий [c.137]

Ниже понадобится также величина (<й ) = П, которую будем отождествлять с оператором, обратным оператору типа свертки, определяемому ядром со ( ) (такое отождествление удобно производить для всех изображений, что и будем делать). [c.242]

К такому же выражению приводит метод, описанный в п. 3. Можно думать, что соответствующее совпадение имеет место во всех порядках теории возмущений, при этом сама б -матрица (16) должна совпасть с оператором U oo). Подчеркнем, однако, что отождествление б -матрицы теории, основанной на нелокальном лагранжиане, с этим оператором возможно лишь при выполнении условия (И). Поэтому подход, основанный не на динамическом принципе, а на непосредственном введении б -матрицы, имеет определенные преимущества, прежде всего с точки зрения условия унитарности. Именно этот подход и используется в дальнейшем. [c.118]

Сравнение (10) с (2.4.6) (при отождествлении операторов f, и d a) показывает, что = ф< >. Аналогично, ф< ) = ф( ) и [c.156]

Часто возникает необходимость в обобщении теории на случай операторов Но и Н, действующих в разных пространствах Tio и 7I. Такое обобщение требует отождествления J, переводящего Tio в 7I. Основные определения теории рассеяния для пары пространств в существенном аналогичны случаю одного пространства, но различные объекты теории (например, ВО) строятся теперь по тройке Яо, Я, J. Иногда оператор J не фиксируется постановкой задачи и его целесообразно подбирать в зависимости от свойств пары Яо,Я. Введение оператора J ф I зачастую бывает полезным и при рассмотрении операторов, действующих в одном пространстве. В этом случае J должен быть удовлетворительным приближением к ВО. Описанная схема с J — I относится к классу задач, когда таким приближением может служить единичный оператор. [c.14]

Определение 1. Волновым оператором (ВО) для пары самосопряженных операторов Но, Ни отождествления J называется оператор [c.89]

Определение 8. Отождествления и 32 называются эквивалентными (относительно оператора Но и знака если [c.94]

В частности, если разность 3 — З2 компактна, то эти отождествления эквивалентны относительно любого самосопряженного оператора Яо. [c.95]

Соотношением (21) все ограниченные операторы З. Но— Н разбиваются на классы (классы эквивалентности) отождествлений Яо-эквивалентных друг другу. Пусть ВО РУ (Я, Яо 3) существует, а тогда [c.95]

Введение отождествления 3 может оказаться полезным и при рассмотрении ВО Ж (Я, Яо). Именно, иногда при удачно подобранном 3 существование ВО РУ (Я, Яо 3) удается проверить проще, чем существование Ж (Я, Яо). Если при этом оператор 3 оказывается Яо-эквивалентным единичному, то существует и ВО И (Я, Яо). Такой прием часто применяется при использовании признака Кука существования ВО (см. 5). В частности, он применяется в примере, рассматриваемом в 3.1. [c.95]

Обсудим теперь связь полноты прямого ВО У (Н, Но] J) с существованием обратного ВО У Но, Н] Jl) для подходящего 3 Н 7 0 При этом требуется, чтобы в некотором смысле оператор был квазиобратным к 7. Наиболее гибкое соотношение между отождествлениями ] и ] дается следующим определением. [c.102]

При произвольном а убедимся сначала в существовании ВО У Ну Но). Поскольку области определения Т> Но) и Т> Н) этих операторов существенно различны, теорему 2.5.1 прямо применить не удается. Рассмотрим предварительно ВО У Н, Но] J) где отождествление 3 есть оператор умножения на такую функцию г) Е что г) х) = О при х 1 и Г] х) = 1 [c.127]

Остается показать, что отождествление 7 эквивалентно (см. определение 2.1.8) единичному. В силу предложения 2.1.9 для этого достаточно убедиться в компактности оператора [c.127]

Пример 8. Пусть Н—оператор умножения на> х в Н = L2(M) Ф L2(M) —> Ь2(Н)—преобразование Фурье Г —умножение на индикатор Х полуоси р > о. Рассмотрим два отождествления J = Ф Г 1/2(Н) —> 2(М). Тогда [c.135]

При а = 1 условие (3) означает, что отождествление J = /о удовлетворяет условию (2.1.8). При а = —1/2 из (3) следует, что это отождествление Яо-эквивалентно (в смысле определения 2.1.8) унитарному оператору Но — Н. [c.137]

Применим теперь к рассматриваемой паре операторов Яо,Я и отождествлению J = Но Н лемму 1. Следующее утверждение показывает, что для мультипликативных возмущений все свойства ВО (наиболее важное из них—полнота) извлекаются из существования прямых и сопряженных ВО. [c.138]

Пусть, как всегда. Но и Н—самосопряженные операторы в гильбертовых пространствах Ло и 7 , а 7 Но Л— ограниченное отождествление. Предположим, что возмущение V = Я7 — JHo представлено в виде (1.9.2), где операторы Оо - Ло — диО. Л - 0 ограничены относительно Но и Н соответственно. При /о Е Х>(Яо), / Е (Я) существует производная [c.176]

Пусть, как всегда, Яо, Н—самосопряженные операторы в гильбертовых пространствах а 7 Но — Н— ограниченное отождествление. В этом пункте мы установим корректность определения 2.7.2 стационарного ВО И = и (Н, Но] 3). Перечислим сначала ряд вспомогательных фактов. [c.197]

Будем теперь считать, что U = И —стационарный ВО для пары Яо,Я и отождествления J, и, следовательно, отображение Т = Т задается равенством (6). Тогда для соответствующего оператора Z X) будет выполняться формальное соотношение [c.225]

Пусть Яо и Я—самосопряженные операторы в гильбертовых пространствах Но и Ti, а J Но Н—ограниченное отождествление. Напомним, что точное определение возмущения [c.239]

Теорема 1 допускает непосредственное распространение на операторы, действующие в разных пространствах. При этом отождествление 7 может быть любым ограниченным оператором. Следующее утверждение получено Пирсоном. [c.240]

Разумеемся, данное определение подчиненности операторов Яо, Я зависит от отождествления J, но мы не будем это каждый раз оговаривать. В приложениях при Tio = Ti, J = / часто бывает достаточно условий Т> Н) = Т> Но) или Т> Н ) = Т>(н1 ) при Я О, Яо О, гарантирующих взаимную подчиненность операторов Яо и Я. Применение понятия подчиненности в теории рассеяния основано на следующем элементарном наблюдении [c.257]

Следствие 12 Предположим, что операторы Но и Н взаимно подчинены, отождествление 7 обратимо и Е Пусть для любого ограниченного интервала Л [c.259]

О Нужно лишь убедиться в справедливости ПИ в условиях теоремы 1. В обозначениях ее доказательства для ВО с отождествлением 3 ПИ выполняется в силу теоремы 2.5. Переход к исходному отождествлению 3 для функций от операторов Яо,Я осуществляется точно так же, как и для них самих. [c.263]

Теорема 9. Пусть Но и Я—ограниченные самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве Л, Отождествление J НфН определим формулой J f Ф д) = f д. Предположим, что для любого е > О и Х = Ш —е, е) [c.266]

Пусть операторы Т х (р) строятся по операторам Но, Ни отождествлению 7 в соответствии с равенствами (2.8.4) , т.е. [c.289]

Спектральная срезка Ео А) снята с до с помощью леммы 5.2.1, примененной к паре Но, Но и отождествлению 7 (Л)7.Снятие Е А) в (2) требует, однако, дополнительных предположений. Например, это возможно при подчиненности Я оператору Но, что одновременно гарантирует существование сильного ВО й (Я,Яо 7). В самом деле, достаточно убедиться, что [c.295]

В этой главе предполагается, что операторы действуют в одном и том же пространстве, а отождествление—единичный оператор. [c.328]

Оправдание (9) требует существенных дополнительных предположений типа гладкости . Более того, уже дифференцирование 5(A) по А предполагает, что выбрано отождествление пространств ()о(А) в прямом интеграле (2.4.2). Вместе с тем в применениях к дифференциальным операторам и в модели Фридрихса—Фаддеева обычно реализуют (см. работы [c.352]

В, книге рассматривается пара самосопряженных операторов Яо и Я, действующих в гильбертовых пространствах и Н соответственно. Через J обозначается фиксированный оператор (отождествление), действующий из Т о в 7/. Возмущение У == Я7 — JНо часто факторизуется в произведение V — С Со, где Со Но С 7 0 0—вспомогательное гильбертово [c.9]

Расшифровкой называют процесс отождествления различных элементов и деталей изображения, полученного на радиографическом снимке, с действительно имеющимися в изделии дефектами. Расшифровку производят при просмотре пленок на негатоскопе, который должен иметь равномерное, диффузно излучающее световое поле регулируемой яркости. О размерах дефектов по глубине судят по степени потемнения пленки в месте дефекта в сопоставлении с потемнением пленки в месте расположения соответствующей канавки эталона чувствительности, глубина которой известна. Расшифровку должны производить опытные операторы, умеющие отличить дефекты сварного соединения от дефектов пленки, которые могут иметь место из-за неравномерности [c.127]

Глава начинается с традиционного рассмотрения симметрии обращения времени в 88—94, основанного на отождествлении оператора обращения времени с комплексным сопряжением. При этом оператор обращения времени действует на иные переменные, чем пространственные преобразования. Комплексное сопряжение состоит в преобразовании (отображении) комплексного поля (в котором заданы собственные векторы) на само себя, тогда как пространственные преобразования отображают точки конфигурационного пространства на само себя. Так как основными переменными динамики решетки являются вещественные смещения, физические неприводимые представления также должны быть вещественными. Критерий Херринга вещественности неприводимых представлений пространственных групп обсуждается в 93 [69]. В 94 дано обобщение более полезного критерия вещественности, данное Фреи [70]. Используя этот последний критерий, можно определить не только, является ли данное представление вещественным, комплексным или псевдо-вещественным, но в случае комплексного представления установить симметрию комплексно сопряженного представления. [c.233]

В ортонормированном базисе в R" матричные элементы оператора а Ab задаются формулой (а Л b)ij=a j—ajbi. На алгебре % = (п) кососимметрических матриц имеется положительно определенное скалярное произведение <1. Л> = — 2 Чг( -т]) (где I-Г) —произведение матриц), отличающееся постоянным множителем от билинейной формы Киллинга ( , T])x = tr(ad ad,,) = (n —l)tr(E-T]). Скалярное произведение < , t]> отождествляет g с g. При таком отождествлении adjjg = — [т], I] = — ad (где лёд, 1 й = й)- Легко проверяется, что для а, Ь С R", igg [c.318]

Замечание. Существует естественное вложение рещё-Т0 11ЮГ0 пространства Р в непрерывное пространство с помощью отождествления решёточных функций с кусочно-постоянными функциями. Сопряженный оператор Qe, отображающий 2 /2 представляет собой оператор усреднения функций по элементарным (гипер-) кубам. Оператор является изометрией, а Qe — частичной изометрией. Когда мы [c.124]

В рамках абстрактной теории операторов пространства i)(A) определяются лишь с точностью до унитарной эквивалентности. В частности, в случае dimi (A) = onst (п.в.А) все [ (А) можно отождествить с каким-либо одним гильбертовым пространством ) той же размерности. При наличии такого отождествления прямой интеграл (1) сводится к пространству dm) вектор-функций, принимающих значения в одном и том же вспомогательном пространстве I), [c.46]

Стационарным ВО Ы = / (Я, Яо 7) для операторов Но, Я и отождествления 7 назовем оператор, определенный посред-ством заданной на Со х С полуторалинейной формы [c.119]

Таким образом, для мультипликативных возмущений отождествление J имеет ряд специальных свойств. Лля таких J свойс1ва ВО W [H, Но] J) в существенном те же, что и в случае одного пространства (при единичном отождествлении). Они описываются в следующем утверждении, справедливом для произвольных самосопряженных операторов Яо и Я. Это утверждение сразу вытекает из результатов 2.3 (см. теорему б, предложение 11 и следствие 12). [c.137]

В теории рассеяния для относительно компактных возмущений оператор 5(А) —/ оказывается, как правило, компактным. Пусть I е — (квази) норма в каком-либо симметричном (квази) нормированном (см. п. 4 1.6) идеале 6 (например, в идеале 6р, О < р < оо) операторов в пространствах [)(А). Оценим квазинорму в 6 разности МР для двух близких (с учетом отождествлений) операторов Ях и Я. Согласно равенству (3) при [c.287]

Ло появления статьи [131] обобщения теоремы Като—Розенблюма, необходимые для применения в теории дифференциальных операторов, получались без введения вспомогательного отождествления J. При этом использовалась стационарная техника, разработанная М.Ш.Бирманом и С.Б.Энтиной [49 [c.406]

Обобщенное понятие задачи рассматривалось многими авторами, акцентировавшими различные его аспекты ). Обычно каждое, определение связано с детализацией или интерпретацией компонент задачи (1.1). Следует лишь иметь в виду, что состояниями в У могут быть также логические объекты. Например, в логике или математике — это логические переменные (имена, высказывания), пропозициональные связки, кванторы или числа, >1атематические выражения, символы, геометрические элементы и фигуры и т. п. Операторы представлены правилами вывода и процедурами построения. Цель задачи может быть сформулирована двояко (Пойа, 1962). В одних случаях следует построить, получить или отождествить объект, отвечающий некоторым критериям — требованиям ( задача на нахождение ), в других — доказать по установленным правилам правильность построения или отождествления некоторого объекта ( задача на доказательство ). [c.11]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...