Группа трансляций

Убедимся, что группа трансляций циклическая. В самом деле [c.150]

Пространственные решетки (ПР), или решетки Брава, — наиболее общий (абстрактный) образ внутреннего строения кристалла (рис. 5. I). ПР получаем, если исключим все особенности химической природы составляющих его частиц — форму, размер и состав молекул,, атомов или ионов и вместо частиц будем рассматривать точки (узлы решет и) — центры тяжести частиц. По взаимному расположению узлов ПР все многообразие кристаллов сводится к 14 типам. ПР, или решетка Бравэ, характеризуется прежде всего группой трансляций (три) или параллелепипедом повторяемости — элементарной ячейкой (ЭЯ) (см. рис. 5.1). Параллельным переносом (трансляцией) элементарной ячейки в трехмерном пространстве и строят ПР. Трансляция — одна из операций симметрии, поэтому решетки Бравэ можно называть также трансляционными группами . Симметрия относительного располо- [c.95]

Т, V, Йев, Йма пе меняются при добавлении А к R( и R , и поэтому молекулярный гамильтониан инвариантен относительно трансляции на вектор А. Так как вектор А может быть произвольным, гамильтониан инвариантен относительно любой трансляции и, следовательно, относительно всех элементов группы трансляций Ог. Группа От- является бесконечной группой, состоящей из всех трансляций молекулы па любое расстояние вдоль любого направления в пространстве. [c.102]

Рассмотрим группу трансляций, т. е. операции симметрии Г,-, с помощью которых кристаллическое пространство переносится на вектор Rf. [c.306]

Группа трансляций д = д- -а. Здесь размерность параметра а такая же, как и переменной д. [c.209]

Координаты, в которых заданная группа является группой трансляций, называются каноническими. [c.227]

В силу однородности пространства ( допустимость группы трансляций) зависимости от Сх и Сг быть не может, так как и Сг не являются инвариантами трансляций, поэтому уравнение динамики приобретает вид Сз = Ф( , т). Используя найденное выше выражение для С, получим (возвращаясь к измерению с в произвольном масштабе) [c.276]

Группа трансляций по времени + г, д = д. [c.282]

Группа трансляций по координатам f = t, д к = Як т, д[ = [c.282]

Зафиксируем 4-индекс а и рассмотрим однопараметрическую группу трансляций пространства-времени вдоль ск-оси [c.671]

Функционал действия любой 4-области пространственно-временного многообразия, очевидно, инвариантен относительно группы трансляций пространства-времени, если плотность лагранжиана явно не зависит от координат Х , следовательно, для направления а 4-вектор = Т а где [c.671]

Рассмотрим совместное действие групп трансляции (2.24) и вращений (2.25) [c.28]

Группа трансляций действует аддитивно в отличие от мультипликативного действия группы 80(3), поэтому локализация Т(3) приведет к аддитивной добавке в дисторсию. Следовательно, дисторсия с учетом неинтегрируемых добавок, связанных с появлением дефектов, примет вид [c.30]

Проанализируем полученные результаты. Как видно из (2.37), локализация группы 80(3) приводит к появлению скачка смещений, характерного для дисклинации, а локализация группы Т(3) характеризует скачок соответствующей дислокации. Отсюда можно заключить, что неоднородность действия группы трансляций опре- [c.30]

Различие их состоит в том, что тензор упругих напряжений для лагранжиана (2.48) симметричен, а для лагранжиана (2.48 ) несимметричен. Легко видеть, что внутренней группой симметрии для лагранжианов (2.48) и (2.48 ) является только группа трансляций Т(3). [c.33]

Каждая из групп 5 1, Хг и Хз является группой трансляций. Каждая группа в отдельности порождается одним элементом е / , е 1 / 2 и е 1 / з соответственно и степенями этого элемента. [c.29]

Неприводимые представления группы трансляций кристалла г [c.69]

В нескольких последующих параграфах ( 20—25) рассматриваются неприводимые представления группы трансляций кристалла Обсуждаются основные понятия волновой вектор к, блоховский вектор ф(й), зона Бриллюэна, соотношение полноты и ортонормированности для неприводимых представлений, а также прямое произведение неприводимых представлений группы 5 . Так как является абелевой группой (точнее, прямым произведением трех более простых абелевых групп), математическая теория здесь очень проста. Однако для обсуждения представлений пространственной группы необходимо изложить этот материал в удобной для нас форме. [c.69]

В этом параграфе мы рассмотрим неприводимые представления одномерной группы трансляций 1. Из (4.33) следует, что г] является абелевой группой с образующим элементом е] . [c.69]

Неприводимые представления группы трансляций 71 [c.71]

Неприводимые представления группы трансляций 73 [c.73]

Неприводимые представления группы трансляций 75 [c.75]

Примеры П. и. 1]. Отклонение зависящей от координат плотности атомов в кристалле от её ср. значения преобразуется под действием общей группы трансляций и пространственных вращений, входящих в группу симметрии G изотропной жидкости, но остаётся инвариантным относительно преобразований из пространственной группы симметрии кристалла. 2). Анизотропная часть тензора. диэлектрич. проницаемости в жидком кристалле преобразуется под действием группы пространственных вращений как симметричный тензор с нулевым следом. 3). Намагниченность в ферромагнетике преобразуется как вектор при вращениях подсистемы спинов и меняет знак при обращении времени. 4). Волнован ф-ция Y бозе-кошденсата в сверхтекучем Не (см. Гелий жидкий. Сверхтекучесть) преобразуется под действием калибровочного преобразования группы И ), входящей в группу G изотропной жидкости Ч — Р ехр(гф). 5). Комплексная матрица Ааг в сверхтекучем 3fle преобразуется как вектор по второму индексу при пространственных вращениях, как вектор по первому индексу при спиновых вращениях, умножается на ехр((ф) при калибровочных преобразованиях, переходит в комплексно сопряжённую матрицу при обращении времени и меняет знак при пространственной инверсии. Согласно теории Ландау, равновесное значение П. п. вблизи фазового перехода 2-го рода находят, минимизируя функционал Гинзбурга — Ландау, инвариантный относительно преобразований из группы G. [c.534]

Можно считать, что эти два уравнения определяют группу масштабных преобразований (аналогичных группе трансляций или группе движений в классической механике). Они получили название уравнений ренормализационной группы (или кратко РГ-урав-нений) ). Эти уравнения совместно с (10.6.2) и (10.6.3) играют ключевую роль в теории Вильсона. Чтобы теорию можно было использовать, допустим, что uni являются аналитическими функ-циями К1,, даже в критической точке. Одно из прекрасных качеств теории заключается в том, что она позволяет показать, каким образом система дифференциальных уравнений с аналитическими коэффициентами может совершенно естественно приводить к критическим сингулярностям. [c.380]

Наконец, для построения направления определяюгцего изменение частоты следует подействовать па. q = Е os t, Е sin t)x группой трансляций по времени t f = t т [c.166]

Таким образом, группа трансляций по времени индуцирует в фазовом пространству группу врагцений, определяюгцую следуюгцее векторное поле [c.167]

Трудности в определении интегральных характеристик островных систем связаны с тем, что группы асимптотических симметрий, возникающие в различных подходах, бесконечнопараметрические. Как правило, они содержат бесконечнопараметрическую подгруппу супер-трансляций, в которой имеется 4-параметрическая инвариантная подгруппа изоморфная группе трансляций. Группа Лоренца получается факторизацией группы асимптотических симметрий по подгруппе супертрансляций, и, как результат, возникает бесконечный набор групп Лоренца, что и приводит к трудностям в определении момента импульса. [c.137]

Структура группы БМС аналогична структуре группы Пуанкаре, но есть и существенные различи. Она является полупрямым произведением группы Лоренца и (бесконечномерной) группы супертраисля-ций, а группа Пуанкаре — полупрямым произведением группы Лоренца и 4-параметрической группы трансляций. Эта особенность группы БМС приводит к тому, что в нее невозможно каноническим образов вложить псщгрупйу Пуанкаре, иными словами существует бесконечное множество вариантов групп Пуанкаре. [c.148]

В последнее время методы калибровочных полей используются для описания структуры и физических свойств неупорядоченных систем. При этом наряду с изучаемыми в механике сплошных сред физическими полями (поле деформаций) появляются калибровочные поля, описывающие дефекты (дислокации, дисклинации, точечные дефекты), ответственные за неупорядоченность [1—8]. Так, в работах [1—2] в качестве калибровочной группы введена группа СЬ(3), что позволяет описать дислокации Сомилианы [9]. В работе [3] взята группа аффинных преобразований ОЬ(3)[>Т(3), что позволило учесть трансляционный вклад в деформацию. Наконец, в работе [4] калибровочной группой является полупрямое произведение группы вращений 80(3) и группы трансляций Т(3), 80(3)>Т(3). Обобщение нелинейной теории упругости локализаций группы 80(3)[>Т(3) дает возможность построить динамику дислокаций и дисклинаций. [c.20]

В главах 2—7 и 9 излагается теория пространственных групп. В гл. 2 дается описание структуры кристаллических пространственных групп как групп симметрии трехмерного пространства кристалла. Особое внимание уделяется математической структуре кристаллических пространственных групп. Мы не приводим полного описания 230 пространственных групп, так как оно вместе с иллюстрациями имеется в литературе. В гл. 3 дается обзор стандартного материала по теории представлений конечных групп. Хотя этот материал широко известен, он необходим нам как основа для изложения теории представлений пространственных групп. В гл. 4 излагается теория представлений группы трансляций Неприводимые представления групп трансляций кристалла играют центральную роль в теории, поэтому важно рассмотреть их надлежащим образом, а также правильно ввести понятие первой зоны Бриллюэна. Далее в гл. 5 дается детальный вывод построения и свойств неприводимых предста влений и векторных пространств кристаллической пространственной группы . Этот материал оказывается центральным для характеристики собственных функций и собственных значений при их классификации по симметрии. Рассмотрение в главах 6 и 7 посвящено определению коэффициентов приведения для пространственных групп. Эти коэффициенты приведения являются основными входящими в рассмотрение величинами при определении правил отбора. С математической точки зрения они являются коэффициентами рядов Клебша — Гордана в разложении прямого произведения неприводимых представлений двух пространственных групп. [c.19]

Соответственно математическая задача отыскания всех пространственных групп оказывается тождественной задаче о нахождении всех групп трансляции X, всех точечных групп ф и всех центральных расширений. Эта задача давно была полностью решена Шенфлисом и Федоровым. Результаты, и полное перечисление 230 кристаллографических пространственных групп приведены в книге [7]. Мы будем использовать эти результаты по мере необходимости. При этом мы будем пользоваться как обозначениями Шенфлиса, так и Сокращенными обозначениями Германа — Магуина [16]. [c.43]

Вторая пространственная группа, которую мы изучим в этой книге ), — это пространственная группа структуры алмаза 0 или Fd3m. Это довольно типичный представитель несимморфных групп. Группой трансляции снова является группа F (гранецентрированная кубическая), а точечной группой кристалла— группа Oft. Поэтому 01 есть (нерасщепленное) расширение F при помощи Oft. Оказывается, однако, что для этой группы имеется упрощающее обстоятельство, которое может быть полезным при последующем использовании теории представлений. При явном выписывании 48 смежных классов в разложении по F можно показать, что [c.45]

Все пространственные группы содержат группу трансляций X в качестве нормального делителя. Любая подгруппа группы будет одновременно и подгруппой группы . Пусть подгруппа 5 группы является нормальным делителем группы . Очевидно, она является и нормальным делителем группы так как X — абелева группа. Тогда одновременно с группой / (т. е. факторгруппой ф) можно определить факторгруппу / . Однако если [c.46]

Часто оказывается полезным разложение пространственной группы на подгруппы, являющиеся в свою очередь пространственными группами. (Например, как было показано в 9, пространственная группа алмаза о, являющаяся типичной несимморфной пространственной группой, имеет как подгруппу с индексом 2 пространственную группу цинковой обманки Та-) Предположим, что пространственная группа имеет подгруппу а, также являющуюся пространственной группой. Группа может включать (или не включать) в себя в качестве подгруппы полную группу трансляций S для общности предположим, что она не включает Пусть Ха — нормальная подгруппа трансляций, входящая в а, и пусть элементы Ха равны [c.47]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...