Собственные векторы тензоров

Поэтому основной принцип формулировки условия разрушения с использованием первого инварианта тензора напряжений, вытекающий из второй формы записи уравнения (50), можно интерпретировать следующим образом для изотропного материала собственный вектор тензора поверхности прочности Fi всегда совпадает с собственным вектором тензора напряжений. [c.438]

Из зависимостей (1.10) усматривается, что тензор можно рассматривать как оператор, переводящий вектор в некоторый другой. Наибольший интерес представляют векторы, претерпевающие при этом минимальные изменения. Эти так называемые главные (собственные) векторы тензора а удовлетворяют соотношению [c.9]

Векторы поляризации нормальных мод являются собственными векторами тензора поперечной непроницаемости с собственными значениями 1/л . Поскольку г , — симметричный тензор второго ранга, он имеет два ортогональных собственных вектора. Эти два собственных вектора D, и Dj отвечают двум нормальным модам распространения с показателем преломления л, и 2 соответственно. [c.88]

Найденное выражение для гравитационного момента можно применить теперь для анализа движения системы типа гантелей, показанной на рис. 4. У любого твердого тела существуют положения равновесия. Однако для определения положения равновесия гантелей симметрию обычного типа необходимо заменить симметрией масс относительно главных осей инерции тела. Из определения главной оси инерции как собственного вектора тензора инерции [c.187]

Если два собственных вектора тензора Qik не зависят от времени, [c.186]

Направим ось 2 вдоль вектора. Построим вектор перпендикулярный к и, который также является собственным вектором тензора 4. [c.64]

Поскольку в рассматриваемом случае справедлива формула (п — собственный вектор тензора р, соответствующий некратному собственному значению) [c.102]

Это основное соотношение для определения собственных чисел и собственных векторов тензора напряжений. В развернутой форме это уравнение запишется так [c.26]

Если мы рассматриваем пучок, распространяющийся в одном направлении к, то, очевидно, что к к = О (так как свет представляет собой поперечную волну). Следовательно, вектор к есть собственный вектор тензора соответствующий собственному значению Я = 0 тогда остается только два собственных значения Хр, соответствующих р = 1,2. Суммарную поляризацию пучка обычно определяют равенством 1/1 — /а I = 1 / + г)- [c.62]

Собственные векторы тензоров я -8 1 и 8 1.я . Обозначим собственные значения и векторы тензора я -8 1 через [c.250]

Итак, мы получили два диадных представления тензора Грина (14) и (40), образованные из собственных векторов тензоров О, е -я и я-8 1. Напомним, что тройки е и е в общем случае не ортогональны друг к другу (в отличие от а и 6). Представление (40) используется в 3.4 для определения нормальных волн и функции Грина О (fei), а также при квантовании поля в среде. Поле v-й нормальной волны параллельно вектору е , и если он комплексный, то поле имеет эллиптическую поляризацию (см. [157], с. 142). [c.252]

Очевидно, что Я —также собственные значения 0. . Правые и левый собственный векторы тензора Q, обозначаемые е, соответствующие собственному значению определяются по (1) уравнениями [c.435]

Следует заметить, что и [г) ] соответственно суть собственное значение и собственный вектор тензора В силу свойств тензора кТ ы можно утверждать, что тензор Лд симметричен и положительно определен. [c.52]

Упражнение 1.13.2 (Эйлер).. Пусть е, д —тройка ортонормированных собственных векторов тензора Е в системе покоя ф и тело Я вращается [c.75]

Прежде всего, поскольку тензор U симметричен, он имеет по крайней мере одну ортогональную тройку главных осей эти оси называются главными осями деформации ) в точке X в отсчетной конфигурации x(i ). Точно также и V имеет ортогональную тройку главных осей, которые называются главными осями деформации в точке X в актуальной конфигурации х ( > О - В силу (2) и и V имеют общие собственные числа. Действительно, если Bj — собственный вектор тензора U, соответствующий собственному числу Vi, то [c.100]

Таким образом, е. является также собственным вектором тензора О. [c.271]

Компоненты относительно ортонормированной тройки собственных векторов тензора В (которые, конечно, являются также собственными векторами тензора Т) называются, главными компонентами. Примерами главных компонент служат главные растяжения Vi и главные напряжения ti, и соотношение (17) демонстрирует упрощения, которые часто достигаются в результате использования главных компонент. [c.274]

Теорема Френеля — Адамара. Каждая собственная амплитуда а волны ускорения с волновой нормалью п должна быть собственным вектором тензора А(п) собственная скорость распространения S, соответствующая этой амплитуде, определяется с точностью до знака тем обстоятельством, что соответствующее акустическое число ps равно [c.338]

IV. 9.3. Пусть Vf t) и (<) —собственные числа и соответствующие собственные векторы тензора U. Заметим, что UU = UU = 0. Тем самым подучено (IV. 9-16). Запишите далее (IV. 9-2) в внде [c.532]

Выбирая в качестве базисных единичные векторы, направленные вдоль собственных векторов тензора В, и полагая а = (я1. О, 0), Ь = (61.0.0), найдем, что [c.555]

XII. 10.1. Для изотропных материалов а представляет собой изотропную скалярную функцию симметричного тензора V. Теорема о представлении для изотропных функций приводит к (XII. 10-10). Возьмите в качестве базисных единичные векторы, направленные вдоль собственных векторов тензора V. Тогда из. соотношения Т = рУд а (V) следует, что [c.559]

Если и и — любые неколлинеарные векторы в плоскости, перпендикулярной являются собственными векторами тензора Л, принадлежащими собственному значению v, то комплексный вектор и = также представляет собой собственный вектор, принадлежащий тому же собственному значению у1- [c.25]

Это означает, что вектор и II 02 является собственным вектором тензора принадлежащим собственному значению А[9 ,. [c.27]

Аналогично если /г обозначает ]-ю компоненту А-го собственного вектора тензора iJ, то [c.40]

ПЛОСКОЙ волны в направлении п векторы смещения направлены вдоль собственных векторов тензора второго ранга [c.125]

Пронумеруем собственные значения и соответствующие собственные векторы тензора следующим образом [c.131]

Выпишем собственные значения и собственные векторы тензора [c.131]

Векторы ортонормированного базиса из собственных векторов тензора В будем обозначать через ( (о,), а собственные значения, как указывалось выше, — через [c.433]

Поле напряжений в области G назовем расслоенным (или слоистым), если существует семейство поверхностей S, заполняющее область G, такое, что векторное поле единичных нормалей к поверхностям семейства S совпадает с полем п собственных векторов тензора напряжений. [c.39]

Предположим, что базисные векторы е, е ,, вд суть собственные векторы тензора инерции ( 1.9). Координатные оси, связанные с те.пом, тогда будут главными, а кинетическая энергия тела запииются в виде ( 6.2) [c.465]

Первое из этих условий выполняется тогда, когда направления осей координат совпадают с собственными векторами тензора Fi (главными осями прочности ортотронного материала), второе — когда оси координат совпадают с собственными векторами Oi (главными осями тензора напряжений), третье — когда совпадают (или параллельны) собственные векторы тензора поверхности прочности и собственные векторы тензора напряжений. Отметим, что второе из этих условий, вообще говоря, не вы- [c.438]

Здесь Tjj, ij — компоненты симметричных тензоров напряжений и скоростей пластических деформаций в декартовой системе координат xi, Ж2, Жз Ui — компоненты вектора скорости, по повторяющимся индексам производится суммирование от 1 до 3, Sij — символ Кронекера, а — среднее напряжение п = гг е — собственный вектор тензора напряжений, отвечающий некратному главному напряжению (71 (два других главных напряжения сг2 и сгз совпадают) [c.94]

Очевидно, что главные направления (собственные векторы) тензоров Г Т и <5 совпадают, а их собе свенные значения обозначаемые, соответственно, и <5 , связаны формулой [c.67]

Доказательство. Следующее доказательство предложено Серрином и Ноллом. Пусть е— собственный вектор тензора А выберем в качестве Q отражение относительно плоскости, нормальной к е [c.270]

Из теоремы разложения Коши следует, что деформация локального элемента среды Р может быть получена чистым растяжением элемента на величину, скажем, 1а, а =1,2,3, вдоль трех подходящих взаимно ортогональных осей Са, а затем поворотом элемейта как твердого тела относительно зтих осей можно выполнить сначала поворот, а затем растяжения вдоль получившихся осей. Коэффициенты %а называются главными коэффициентами растяжения при деформации. Единичные собственные векторы тензоров и и V направлены вдоль главных осей тензора деформации в конфигурациях Ж в. и Ж соответственно действительно, так как [c.85]

При условии расслоеппости поля собственных векторов тензора напряжений, отвечающих наибольшему (или наименьшему) главному напряжению, найдены такие канонические криволинейные координаты, нри преобразовании к которым уравнения равновесия, сформулированные для ребра поверхности текучести, приводятся к трем уравнениям, допускающим при некоторых ограничениях точные интегралы. Найдены инварианты, сохраняющие свои значения нри продвижении вдоль лпнпй главных напряжений в среде с повреждениями. Построены капонические координаты плоской задачи и найдены инвариантные отношения, устанавливающие баланс главных напряжений, повреждений и кривизн линий главных напряжений. [c.440]

Рассмотрим, следуя [ ], уравнения равновесия для тела, подчиняющегося условию пластичности Треска. Нредноложим, что реализуется напряженное состояние, соответствующее ребру прпзмы Треска. Обозначим через сг тензор напряжений 1.1, 1711, — ортопормироваппый базис из собственных векторов тензора напряжений (71, (72, (7з — соответствующие собственные значения (главные напряжения). [c.444]

Таким образом, для напряженного состояния, соответствующего ребру прпзмы Треска, которое, кроме того, является расслоенным в некоторой области пространства, поле собственных векторов тензора напряжений с наибольгппм (или наименьгппм) собственным значением п должно удовлетворять уравнениям [c.447]

Рассмотрим уравнения равновесия для напряженных состояний, соответствуюгцих ребру нризмы Треска. Обозначим через сг тензор напряжений 1, т, п — ортопормироваппый базис из собственных векторов тензора напряжений. [c.17]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...