Теории геометрически линейные упругих

Теории геометрически линейные упругих тел 311 [c.566]

В гл. 4 была рассмотрена в элементарном изложении теория устойчивости упругих стержней. Особенность этих задач состояла в том, что уравнения равновесия составлялись для деформированного состояния стержня, т. е. по существу речь шла о геометрически нелинейных задачах. Вариационные уравнения, описанные в 8.7, эквивалентны геометрически линейным уравнениям теории упругости, для которых доказана теорема единственности. Поэтому никакие задачи устойчивости с помощью этих вариационных уравнений решать нельзя. Здесь мы постараемся распространить вариационные уравнения на геометрически нелинейные задачи. Существо дела состоит в том, что уравнения статики должны составляться не в исходной системе координат, например декартовой, а в той криволинейной системе координат, в которую превращается исходная вследствие деформации. Прямой путь получения таких уравнений довольно сложен, поэтому нам будет удобно вернуться к выводу 7.4, где напряжения определялись по существу как обобщенные силы, для которых компоненты тензора деформации служили обобщенными неремещениями. Пусть тело, ограниченное поверхностью [c.390]

ОСНОВНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [c.40]

Присоединим к уравнениям (5.1) соотношения, связывающие деформации и перемещения в геометрически линейных задачах теории упругости, а также физические уравнения в форме обобщенного закона Гука [c.84]

В предыдущем разделе были получены критерии статического подобия механических явлений на основе уравнений линейной теории упругости и геометрически линейной теории пластичности в предположении малости удлинений, сдвигов и поворотов элементарного объема деформируемого тела. Эти ограничения обычно используют при расчетах напряженно-деформированного состояния конструкций. [c.96]

Физические уравнения для упругого тела представляют собой обобщенный закон Гука и имеют тот же вид, что и в геометрически линейных задачах теории упругости (5.2). [c.97]

ГЕОМЕТРИЧЕСКИ ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ [c.23]

В гл. 1 и 2 книги мы будем рассматривать теорию упругости при малых перемещениях (геометрически линейную теорию упругости) и выведем принцип виртуальной работы и связанные с ним вариационные принципы для задачи о статическом равновесии упругого тела, находящегося под действием массовых (объемных) сил, при заданных граничных условиях [1,2 ]. Для описания трехмерного пространства, в котором рассматривается тело, применяются ортогональные декартовы координаты (х, у, z). В геометрически линейной теории упругости компоненты перемещений и, V, W в точке тела считаются столь малыми, что уравнения задачи выполняются в линейном приближении. Запишем эти линеаризованные уравнения [c.23]

Соотношения деформации—перемещения. В геометрически линейной теории упругости используются следующие соотношения между деформациями и перемещениями [c.24]

Примерно до середины нашего века термин теория упругости практически совпадал с термином линейная теория упругости . Это н означает, что нелинейной теории тогда не существовало. Всегда было ясно, что все формулы теории упругости, строго говоря, нелинейны. Более того, уже в начале века были заложены основы современной нелинейной теории. Однако практический интерес к ней возник лишь лет сорок назад, и поддерживало его вначале все большее внедрение гибких элементов, способных работать в закритической области при упругих деформациях. Так пошла в дело геометрически нелинейная теория упругости, справедливая при малых деформациях, но допускающая большие повороты. Параллельно с ней развивалась и физически нелинейная (но геометрически линейная) теория, в которой рассматривались проблемы, где источником нелинейности являлись механические свойства материалов. Задачи теории упругости, и геометрически и физически нелинейные, до поры до времени приходилось обходить, так как отвечающие им уравнения из-за своей сложности не позволяли получать даже грубые решения. [c.3]

Бабешко с соавторами [19, 20] на основе соотношений теории простых процессов нагружения рассмотрел неизотермические процессы повторного нагружения слоистых оболочек вращения нагрузками как того же знака, что и первоначальное, так и обратного знака с учетом вторичных пластических деформаций. Предполагалось, что при активных процесс 1х и разгрузке элементы оболочки деформируются по одним и тем же прямолинейным траекториям, материалы оболочки обладают идеальным эффектом Баушингера, а деформации ползучести пренебрежимо малы по сравнению с мгновенными упругопластическими деформациями. Исследование проводилось в рамках гипотез Кирхгофа Лява для геометрически линейной и квазистатической постановки. В качестве примера исследовано неупругое поведение сферической оболочки в процессе ее охлаждения и действия внутреннего давления. Зависимость параметров упругости от температуры не учитывалась. [c.10]

Заметим, что при выводе уравнения (45) конкретная форма зависимости напряжений от деформаций не использована, так что это уравнение годится как для линейно упругих материалов, так и для материалов с нелинейными определяющими соотношениями в геометрически линейной постановке (а также для геометрически нелинейной теории при использовании переменных Лагранжа и соответствующего тензора напряжений). [c.102]

Общая постановка плоских контактных задач для полупространства и слоя, подверженных одновременному воздействию сил тяжести и однородных, ориентированных вдоль границы, начальных напряжений дана в работе В. М. Александрова и Н. X. Арутюняна [1]. Предполагалось, что материал среды является несжимаемым и описывается либо уравнениями физически нелинейной (геометрически линейной) теории установившейся ползучести, либо уравнениями геометрически нелинейной (физически линейной) теории упругости. В предположении, что силы трения в области контакта отсутствуют, изучена проблема эллиптичности линеаризованных уравнений (внутренней устойчивости среды), исследованы явления поверхностной неустойчивости среды. В качестве иллюстрации проведен анализ влияния механических свойств и начального напряженного состояния среды на контактную жесткость. Для потенциала Муни обнаружены значения начальных напряжений, при которых упругий континуум начинает работать как основание Винклера. [c.236]

На расстояниях, больших по сравнению с величиной пластической области, но малых по сравнению с геометрическими размерами тела, материал можно считать линейно упругим. При этом поля напряжений, деформаций и перемещений представляются соответствующими асимптотическими зависимостями линейной теории упругости. [c.66]

Эти исследования реализованы на базе вариационных методов и заключаются в построении и анализе вариационных неравенств, которые в контактных задачах без учета трения выражают принцип возможных перемещений Лагранжа. Установлено, что статические задачи геометрически линейной теории упругости эквивалентны задачам минимизации функционалов полной энергии с ограничениями в форме неравенств, которые, в свою очередь, решаются при помощи методов математического программирования и оптимального проектирования. [c.478]

В так называемой классической теории упругости ограничиваются в соответствии с большинством практических приложений малыми (бесконечно малыми) деформациями и кладут в основу линейно-упругое поведение материалов согласно идеализированному закону Гука. Преимущество такого подхода состоит прежде всего в том, что математическое описание существенно упрощается благодаря геометрической линейности. Характерным для линейной теории упругости является линейность всех уравнений относительно искомых величин и их производных. [c.9]

Данные модели, однако, с чисто механической точки зрения внутренне не противоречивы и обладают одним немаловажным достоинством они позволяют найти соответствующие им точные решения задач о трещине. При удалении от края трещины поля напряжений и деформаций, отвечающие этим двум моделям (и соответственно - линейной теории упругости), сближаются и, если деформации и повороты вдали от трещины малы, становятся неразличимыми. Это дает основания полагать, что влияние геометрической нелинейности в данных задачах носит локальный характер и что там, где она не проявляется, результаты линейной теории правильны. Область, вне которой влияние геометрической нелинейности несущественно, для обычных жестких материалов оказывается достаточно малой, что оправдывает применение геометрически линейной теории не только для упругого, но и для упругопластического тела. При этом зависимости для напряжений и перемещений у края трещины в линейно-упругом теле следует [c.68]

Из рис. 7.11 видно, что некоторые слабые повреждения поверхности имеют место для углов наклона осциллирующей силы, при которых не следует ожидать возникновения проскальзывания. В экспериментах Тайлера и др. [354] наблюдались более существенные повреждения в кольцевой зоне а г а под действием чисто нормальной нагрузки. Различие кривизн сферической поверхности и подстилающего плоского основания может приводить к появлению тангенциальных усилий и, возможно, к проскальзыванию, однако этот эффект относится к эффектам второго порядка и не может быть исследован в рамках геометрически линейной теории упругости. Более [c.262]

В разобранном выше примере предполагалось наличие пО контуру лишь силовых факторов, тогда как на отдельные точки или на отдельные участки контура могут быть наложены геометрические связи, препятствующие линейным или угловым смещениям. Кроме того, плоская пластинка взята лишь как наглядная иллюстрация идеи метода, тогда как последний может быть распространен на расчет изгибаемых плит, оболочек и, что особенно существенно, на расчет пространственных объектов теории упругости. В последнем случае особенно четко выявляются преимущества рассматриваемого метода по сравнению с другими ме -одами расчета. [c.150]

Развитие техники за последние десятилетия связано с применением новых материалов и широким использованием в конструкциях различного рода гибких элементов и вызвало необходимость решения задач, которые являются предметом нелинейной теории упругости. Эти задачи могут быть либо геометрически нелинейными (когда тела не обладают достаточной жесткостью, например гибкие стержни), либо физически нелинейными (когда тела не подчиняются закону Гука), а также геометрически и физически нелинейными (когда детали изготовлены из резины или некоторых пластмасс). Во всех этих задачах непременными свойствами модели являются сплошность и идеальная упругость, а возможность других свойств, конкретизирующих ее, определяется особенностями абстрагируемого твердого тела. Нелинейная теория упругости, таким образом, имеет еще более общий характер и решает весьма широкий круг задач, постоянно и неизбежно выдвигаемых современной техникой. Это не принижает фундаментального значения линейной теории упругости и не обязывает получать зависимости последней как частный случай значительно более сложных соотношений нелинейной теории упругости. Напротив, познания теории упругости должны начинаться с изучения исторически первой и наиболее разработанной линейной теории упругости, которая в этом отношении должна носить как бы пропедевтический характер. [c.5]

Если указанные две предпосылки не выполняются, то говорят о нелинейной теории упругости. Последняя может разделяться на а) теорию нелинейную физически (связь между напряжениями и деформациями нелинейна), но линейную в геометрическом (деформационном) отношении б) линейную в физическом смысле, но нелинейную в геометрическом (случай конечных деформаций в идеально упругом теле) и в) нелинейную и в физическом и геометрическом отношениях (общий случай). [c.50]

Для некоторых материалов распределение напряжений вблизи концов щели существенно связано с эффектами, описываемыми в рамках нелинейной теории упругости ). Используя уравнения геометрически и динамически нелинейной теории упругости, можно получить конечные значения напряжений вблизи конца щели. Даже в рамках линейной теории упругости с ис- [c.513]

Предварительные замечания. В настоящем параграфе дается более точное определение геометрических соотношений, имеющих место при деформации тела, нежели приведенные выше. Такое уточнение позволяет оценить характер ранее полученных зависимостей и ограничить область возможного их применения, т. е. область возможного применения классической (линейной) теории сплошной деформируемой среды (в частности, классической теории упругости). [c.479]

В [2] был о дано общее решение задачи о вторичных эффектах при чистом изгибе составного призматического бруса в квадратичной теории упругости при линейных физических и квадратичных геометрических зависимостях. [c.231]

В работе изучается напряженное состояние брусьев в геометрически нелинейной постановке, но с линейной зависимостью между деформациями и напряжениями, т. е. рассматриваемая задача физически линейная, а геометрически нелинейная. Решение задачи сводится к граничным задачам плоской теории упругости (одной бигармонической функции) в области поперечного сечения бруса. Рассматривается частный пример, когда область поперечного сечения является кругом. В работе приведены. явные выражения компонентов напряжений и деформации для круглого сечения. [c.433]

Основные геометрические соотношения (1.17) линейной теории упругости в прямоугольных координатах в матричной форме имеют вид [c.13]

Эффективный коэффициент может существенно отличаться от теоретического а , определяемого по соотношениям теории упругости. Если теоретический коэффициент зависит только от геометрических параметров детали, концентратора, нагрузок и напряженного состояния, то эффективный коэффициент зависит от долговечности. Отличие от определяется влиянием пластичности, неравномерности напряжений, масштабным фактором и чувствительностью материала к концентрации напряжений. Часто величина п (или te) не известна заранее. В этом случае может быть рекомендовано несколько упрощенных процедур [130], позволяющих получить приближенное решение. Если имеются данные испытаний образцов из материала, из которого изготовлен диск с концентрацией напряжений при том же виде нагрузки и равенстве теоретических коэффициентов концентрации образца и диска, долговечность можно определить с помощью приближенной процедуры (рис. 4.24). На рис. 4.24, б построена линейная зависимость амплитуды от среднего напряжения [аналогично(4.43)] на рис. 4.24, а приведена зависимость — Nf для образца с концентрацией напряжений при симметричном цикле (кривая / точка А соответствует значению долговечности). Коэффициент концентрации учитывают при амплитуде напряжений, а среднее напряжение принимают по номинальному значению. При использовании результатов следует иметь в виду влияние масштабного фактора при несовпадении размеров концентратора образца и диска. Очевидным преимуществом является учет чувствительности к концентрации напряжений. Если а известен из опыта испытаний аналогичных конструкций, то следует пользоваться кривой 2 для гладких образцов (точка В соответствует значению = [c.142]

Уравнения равновесия, силовые граничные условия и геометрические соотношения, а также соответствующие им уравнения связи между масштабами в теории малых упругопластических деформаций совпадают с аналогичными уравнениями линейной теории упругости ( 5.1) и в данном разделе не рассматриваются. [c.91]

Пользуясь результатами масштабных преобразований уравнений равновесия, граничных условий и геометрических соотношений линейной теории упругости, которые, как указывалось, справедливы для случая упругопластических деформаций и допускают известный произвол в выборе масштаба относительных удлинений ( 5.1), можно поставить выбор этого масштаба в зависимость от характера диаграмм деформации модели и натуры. [c.93]

Необходимо подчеркнуть, что теорема единственности доказана нами для геометрически линейной постановки задачи теории упругости. Если условие (8.4.8) не выполнено, единственности может не существовать. Это может означать одно из двух о либо принятая модель сплошной среды некорректна, либо материал неустойчив. При- Рис. 8.4.1 мером такого неустойчивого материала служит материал с падающей диаграммой растяжения, подобной изображенной на рис. 8.4.1. Видно непосредственно, что одному п тому же значению напряжения на этой диаграмме соответствуют два разных значения деформации. Вопрос о действительном существовании таких неустойчивых упругих материалов остается открытым диаграммы вида изображенной на рис. 8.4.1 наблюдаются при описании пластического поведения и представляют зависшюсть условного напряжения, т. е. растягивающей силы от деформации. Пример неустойчивости такого рода был рассмотрен в 4.13. Для геометрически нелинейных систем теорема единственности несправедлива нарушение единственности соответствует потере устойчивости упругого тела. Рассмотрению подобного рода задач в элементарной постановке была посвящена вся четвертая глава. [c.247]

Компоненты перемещения, деформации и напряжения истинного равновесного состояния геометрически линейной задачи теории упругости должны удовлетворять всей совокупности вьшисанных вьппе уравнений и соотношений. [c.40]

Геометрически линейная теория однородных оболочек типа Тимошенко построена в работах [ 1.24, 1.30, 1.33-1.35]. Линейные теории многослойных оболочек в рамках гипотез Тимошен-ко развиты в работах [ 1.4, 1.18,1.19, 1.31 и др.]. Геометрически нелинейная теория является менее исследованной. Общим вопросам нелинейной теории однородных оболочек с учетом поперечных сдвигов посвящены фундаментальные работы [ 1,1, L7, 1.29]. Л.Я. Айнола [ 1,1] построил теорию упругих анизотропных оболочек типа Тимошенко на основе обобщенного вариационного принципа Гамильтона-Остроградского. К.З. Галимо-вым выведены уравнения движения при конечных перемеще- [c.7]

Как это характерно для публикаций Колски, в рассматриваемой работе дано всестороннее содержательное обсуждение подробностей эксперимента, трудностей и ограничений, что, к сожалению, не типично для большинства работ тех, кто в последующем описывал модификации этого опыта. Колски сравнивал кривые перемещение — время на дальнем конце второго стержня при наличии и отсутствии короткого образца-вафли между стержнями таким путем он построил посредством расчета кривые перемещение — время для сечений по обеим сторонам от вафли. Этот расчет, конечно, основывался на теории линейно-упругих волн при допущении, что отсутствует вязкостная или геометрическая дисперсия импульсов, бегущих вдоль жестких стержней. [c.211]

Важным этапом изучения теории колебаний в курсе теоретической механики является овладение одним из простейших приемов линеаризации на примерах геометрически нелинейных механических систем с сосредоточенными параметрами, т.е. таких, выражения для деформации линейных упругих звеньев которых содержат члены более высокого порядка малости" относительно обобщшных координат чем первый. Линейность обобщенных восстанавливающих сил обеспечивается сохранением членов до порядка включительно в выражении потенциальной энергии каждого линейного упругого элемента [c.37]

Следует подчеркнуть, что теорема единствепности нами доказана для геометрически линейной теории упругости. Для нелинейной теории и больших деформаций приведенный выше способ доказательства недействителен, так как тогда положительная определейность энергии деформации может нарушаться. Последнее означает одно из двух либо принятая модель сплошпой среды некорректна, либо материал неустойчив. Примером неустойчивого материала служит материал с падаюш,ей диаграммой растяжения, когда одному и тому же значению на- [c.62]

Метод асимптотического интегрирования обобш ен также для вывода уравнений динамики пластинок при больших перемещениях (Л. Я. Айнола, 1965, 1966). Результаты показывают, что известные уравнения мембранной теории Кармана, линейной теории изгиба с плоским напряженным состоянием и чисто линейной теории являются при определенных условиях нагрузки асимптотическими приближениями уравнений геометрически нелинейной теории упругости. Указанные выше исследования должны представлять интерес в отношении методики — уравнения движения и граничные условия выводятся из требования, чтобы вариация соответствующего функционала равнялась нулю с требуемой асимптотической точностью. [c.264]

При наличии в теле трещины для суждения о характере ее распространения и тем самым для суждения о прочности также необходимо знание напряженного состояния. Задача онределения нанряжешюго состояния около конца трещины отличается от обычных задач онределения концентрации напряжений тем, что геометрически линеаризованная постановка краевых условий и физически линейная теория упругости приводят к бесконечным напряжениям и бесконечным градиентам напряжений в конце тонкого разреза. При этом понятие коэффициента концентрации напряжений теряет смысл. Разумеется, мол<ио было бы пытаться сохранить числовое безразмерное выражение коэффициента концентрации напряжений посредством учета сложных детальных особенностей деформации материала у конца разреза. Однако для решения задач о трещине совсем не обязательно интересоваться, детальными процессами, идущими в весьма малой окрестности конца разреза [155, 168]. Достаточно знать характер и интенсивность напряженного состояния в области, окружающей конец разреза вместе с малым объемом, где сосредоточен механизм разрушения (рис. 12.1). Это означает отказ от использования коэффициента концентрации напряжений в пользу a HMntoTH4e Koro [c.79]

Предлагаемая вниманию читателей книга освещает различные методы решения задач механики деформируемого твердого тела. Для иллюстрации возможностей методов выбраны задачи статики, динамики и устойчивости стержневых и пластинчатых систем, т.е. задачи сопротивления материалов, строительной механики и теории упругости, имеющих важное практическое и методологическое значения. Каждая задача механики деформируемого твердого тела содержит в себе три стороны 1. Статическая - рассматривает равновесие тела или конструкпди 2. Геометрическая - рассматривает связь между перемещениями и деформациями точек тела 3. Физическая -описывает связь между деформациями и напряжениями. Объединение этих сторон позволяет составить дифференциальное уравнение задачи. Далее нужно применить методы математики, которые разделяются на аналитические и численные. Большим преимуществом аналитических методов является то, что мы имеем точный и достоверный результат решения задачи. Применение численных методов приводит к получению просто результата и нужно еще доказывать его достоверность и оценивать величину погрепшости. К сожалению, до настоящего времени получено весьма мало точных аналитических решений задач механики деформируемого твердого тела и других наук. Поэтому приходится применять численные методы. Наличие весьма мощной компьютерной техники и развитого программного обеспечения практически обеспечивает решение любой задачи любой науки. В этой связи большую популярность и распространение приобрел универсальный численный метод конечных элементов (МКЭ). Применительно к стержневым системам алгоритм МКЭ в форме метода перемещений представлен во 2, 3 и 4 главах книги. Больпшми возможностями обладает также универсальный численный метод конечных разностей (МКР), который начал развиваться раньше МКЭ. Оба этих метода по праву занимают ведущие места в арсенале исследований. Большой опыт их применения выявил как преимущества, так и очевидные недостатки. Например, МКР обладает недостаточной устойчивостью численных операций, что сказывается на точности результатов при некоторых краевых условиях. МКЭ хуже, чем хотелось бы, решает задачи на определение спектров частот собственных колебаний и критических сил потери устойчивости. Эти и другие недостатки различных методов способствовали созданию и бурному развитию принццпиально нового метода решения дифференциальных уравнений задач механики и других наук. Метод получил название метод граничных элементов (МГЭ). В отличии от МКР, где используется конечно-разностная аппроксимация дифференциальных операторов, в МГЭ основой являются интегральное уравнение задачи и его фундаментальные решения. В отличие от МКЭ, где вся область объекта разбивается на конечные элементы, в МГЭ дискретизации подлежит лишь граница объекта. На границе объекта из системы линейных алгебраических уравнений определяются необходимые параметры, а состояние во [c.6]

Анализ закритического поведения аэроуп-ругих систем важен, так как во многих случаях превышение критической скорости флаттера не вызывает мгновенного разрушения конструкции, а приводит к установившимся колебаниям. Характеристики этих колебаний (амплитуды, и частоты) используют для оценки времени функционирования конструкции до разрушения. Необходимо рассматривать конечные деформации и геометрическую нелинейность. Наряду с геометрическими нелинейностями для расчета критических параметров потери устойчивости и поведения конструкции при флаттере в ряде случаев важен учет неупругих свойств материалов и аэродинамических нелинейностей. Учет нелинейных факторов позволяет, в частности, обнаружить статические и динамические формы потери устойчивости при немалых возмущениях, которые могут реализоваться при меньших значениях сжимающих нагрузок и скоростей потока, чем те, которые получаются на основе линейной теории. В тонкостенных конструкциях конечные прогибы вызывают растягивающие усилия в срединной плоскости. Так, рассматривая в качестве модели обшивки бесконечно длинную пластину, лежащую на упругом основании и обтекаемую газом, приходим к уравнению [c.523]

Это основные соотношения для относительных удлинений и сдвигов линейной теории упругости. В дальнейшем во всех случаях, когда Нет специальных оговорок, будем рассматривать линейные геометрические соотношения такого типа. На рис. 1.6 представлены две составляющие полного угла сдвига Уху плоскости г = onst. Каждая из них, как и величины е -, гу г yyj2 = y yl2 yzJ 2 = yxJ% является компонентом тензора деформации. [c.11]

Заметим, что не всякий объект, являющийся тензором по отношению к линейным преобразованиям декартовых координат, есть тензор по отношению к преобразованиям криволинейных координат например, большие пзремещения, рассматриваемые в геометрически нелинейной теории упругости, при нелинейных преобразованиях (13) преобразуются по нелинейному закону, а не по векторному. В данной книге используются только бесконечно малые перемещения и деформации, являющиеся векторами и тензорами. [c.211]

Линеаризованные физически нелинейные задачи для гладких и ребристых оболочек. Учет приобретенной анизотропии на примере линеарнзапни физически нелинейных задач теории малых упруго-пластических деформаций при использовании метода переменных параметров упругости рассмотрен в [П. 3]. В этом случае связь между компонентами усилий и деформаций для гладких и ребристых оболочек можно представить в форме (I 20) гл. 4 Д.ЧЯ неоднородных анизотропных оболочек. В этих уравнениях коэффициенты упругости являются функциями напряженно-деформированного состояния. Прн решении данной нелинейной задачи методом переменных параметров упругости физические соотношения на каждом шаге линеаризации сохраняют форму (1.20) с постоянными коэффициентами упругости. Часть коэффициентов в эти.х соотношениях обращается в нуль, а вид других зависит от интегральных физических характеристик сечения (например, [П. 6]). Уравнения равновесия и геометрические завнснмостн, естественно, остаются одинаковыми для теории малых упруго-пластических деформаций н линейной теории неоднородных анизотропных оболочек. [c.219]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...