Постановка задачи линейной теории упругости

Постановка задачи линейной теории упругости. Как неоднократно указывалось (пп. 3.6, 3.9 гл. II), возможность замены тензоров конечной деформации линейным тензором деформации 8 обусловлена малостью компонент тензора-градиента вектора перемещения Уы или, что то л<е самое, компонент тензора е и вектора поворота сй [c.100]

Как видно, постановка задачи почти аналогична постановке задач линейной теории упругости, за исключением связи напряжений с деформациями. Если так сформулировать задачу теории пластического течения, то конечная пластическая деформация может быть определена путем интегрирования полученных соотношений вдоль заданного пути интегрирования. [c.325]

Во всех тех предыдущих разделах настоящего курса, в которых обсуждалось статическое внешнее воздействие на деформируемые системы и использовалась линейная постановка проблемы (линейные уравнения), мы обнаруживали единственное положение равновесия системы, испытавшей деформацию, и относящиеся к нему внутренние усилия. Этот факт находится в полном соответствии с теоремой о единственности ре-щения задачи линейной теории упругости (см. т. I, 9.5). [c.277]

Систематически излагаются постановки пространственных контактных задач линейной теории упругости и методы их решения, не требующие математического аппарата, выходящего за рамки курса высшей математики для технических университетов. Изучаются контактные задачи для системы штампов, строятся асимптотические модели одностороннего дискретного контакта и рассматриваются вопросы равновесия твердого тела, опирающегося на шероховатую плоскость в нескольких точках. Подробно изложена техническая теория упругого ненасыщенного контакта шероховатых поверхностей. [c.2]

Обращение компонент напряжений в бесконечность у конца щели не следует рассматривать как коренное противоречие результатов линейной теории упругости в этой задаче опытам. Наоборот, в рамках линейной теории упругости и сильно упрощенной схематизированной постановки задачи это обстоятельство является хорошим отражением действительности. Использование модели линейно упругого тела в этой задаче, так же как и широко используемые идеализации во многих других случаях (абсолютно твердое тело, поверхности сильных разрывов, явление удара и т. д.), связано с некоторыми эффектами, которые в той или иной степени противоречат опыту. Важно, однако, чтобы такие противоречия не имели существенного значения для распределения искомых величин в основной части тела и для получения нужных выводов при решении поставленных задач ). [c.514]

Заметим, что задачу устойчивости пластин в рассматриваемой постановке, когда начальное напряженно-деформированное состояние описывается уравнениями линейной теории упругости, можно решать, не определяя этого состояния (см. 10). [c.137]

В работе изучается напряженное состояние брусьев в геометрически нелинейной постановке, но с линейной зависимостью между деформациями и напряжениями, т. е. рассматриваемая задача физически линейная, а геометрически нелинейная. Решение задачи сводится к граничным задачам плоской теории упругости (одной бигармонической функции) в области поперечного сечения бруса. Рассматривается частный пример, когда область поперечного сечения является кругом. В работе приведены. явные выражения компонентов напряжений и деформации для круглого сечения. [c.433]

В классической линейной теории упругости принята следующая постановка задачи уравнения равновесия формулируются для недеформированного состояния, компоненты деформаций связаны с перемещениями линейными зависимостями, а материал подчиняется закону Гука, т. е. напряжения и деформации связаны между собой линейными зависимостями. В этом случае задача определения напряженно-деформированного состояния сводится к линейным дифференциальным уравнениям, всегда имеющим единственное решение. Нетрудно показать, что напряженно-деформированное состояние, соответствующее этому единственному решению, является устойчивым. [c.77]

В классической линейной теории упругости принята такая постановка задачи материал подчиняется закону Гука, а компоненты деформаций связаны с перемещениями линейными зависимостями (1.17). В этом случае задача сводится к линейным дифференциальным уравнениям, всегда имеющим единственное решение. Это решение описывает устойчивое (в рамках линейной теории упругости) положение равновесия, т. е. соответствует минимуму полной потенциальной энергии. [c.24]

Постановка задачи линейной динамической теории упругости [c.371]

В настоящей главе с этих позиций рассмотрены некоторые двумерные задачи классической теории упругости как в линейной, так и в нелинейной постановках. [c.42]

Допущения связанные с малостью деформаций. Предположение малости деформации (например, при использовании линейной теории упругости) означает, что возможна суперпозиция деформаций, т. е. что параметры напряженно-деформированного состояния тела от суммарного внешнего воздействия на тело определяются как сумма параметров напряженно-деформированного состояния тела от каждого воздействия на него. А это позволяет сделать суш,ественные упрош,ения в постановке задачи. Используя такой подход, мы можем не учитывать при постановке задачи [c.258]

Общая постановка плоских контактных задач для полупространства и слоя, подверженных одновременному воздействию сил тяжести и однородных, ориентированных вдоль границы, начальных напряжений дана в работе В. М. Александрова и Н. X. Арутюняна [1]. Предполагалось, что материал среды является несжимаемым и описывается либо уравнениями физически нелинейной (геометрически линейной) теории установившейся ползучести, либо уравнениями геометрически нелинейной (физически линейной) теории упругости. В предположении, что силы трения в области контакта отсутствуют, изучена проблема эллиптичности линеаризованных уравнений (внутренней устойчивости среды), исследованы явления поверхностной неустойчивости среды. В качестве иллюстрации проведен анализ влияния механических свойств и начального напряженного состояния среды на контактную жесткость. Для потенциала Муни обнаружены значения начальных напряжений, при которых упругий континуум начинает работать как основание Винклера. [c.236]

При учете деформируемости ударника постановка контактной задачи существенно усложняется. Вместо (2.1) необходимо рассматривать уравнения, соответствующие принятой модели ударника (линейная теория упругости, тонкие оболочки и т.д.). Условия (2.2) для определения границы области контакта должны быть записаны в общем случае с учетом деформированной поверхности ударника Пь [c.389]

Г. П. Черепанов [1], используя граничные задачи линейного сопряжения, решил в общей постановке основную смешанную задачу плоской теории упругости для плоскости с разрезами, расположенными на одной прямой (ср. 120 настоящей книги). Им же (Черепанов [2]) дано решение основных граничных задач плоской теории упругости в неоднородной бесконечной пластинке с разрезами вдоль одной прямой или окружности. [c.601]

Ее постановка стимулируется в линейной теории равновесия, во-первых, важностью разработки основ расчета оболочек средней толщины, во-вто-рых, потребностями анализа напряженного состояния в особых точках (например, около вершины конической оболочки, в зоне приложения сосредоточенной нагрузки), в-третьих, необходимостью выяснения вопроса о том, как удовлетворить краевым условиям (или в каком смысле будут удовлетворены при помощи того или иного расчетного алгоритма краевые условия) наконец, на примере простейших задач (линейной теории равновесия) легче всего разработать основные методы приведения задач теории упругости к задачам теории оболочек, когда размерность объекта исследования уменьшается на единицу. [c.231]

Однако принципиально возможный путь решения задачи методом теории упругости связан со значительными математическими трудностями. Кроме того, количество пар зубьев в реальных соединениях конечно и сравнительно невелико, в связи с чем возможны существенные погрешности. Инженерный способ решения этой сложной пространственной задачи основан на теории балок на упругом основании в линейной и нелинейной постановке и использовании гипотез сопротивления материалов [10], [12]. [c.121]

Предлагается [297, 301 ] упрощенная постановка линейных задач использование уравнений равновесия в линеаризованной форме, а также других соотношений линейной теории упругости, например, при ступенчатой аппроксимации непрерывного процесса нагружения в виде последовательности линейных нагружений (разных для различных в последовательности ступенек) и т. д. [c.112]

Механическая и математическая постановка задачи о кручении тела вращения. При рассмотрении задачи об осесимметричной деформации тела вращения в цилиндрической системе координат г, ф, г основные уравнения линейной теории упругости распадаются на две независимые системы. Первая система служит для определения перемещений и и т и напряжений о,, Ог, и Гп в случае, когда тело вращения, деформируясь, не скручивается. Вторая система служит для определения перемещения V и касательных напряжений Тг и Гщ в случае чистого кручения тел вращения. [c.246]

Это утверждение отнюдь не следует понимать в том смысле, что линейная теория упругости утратила в настоящее время свое значение существуют многие задачи, в которых условия ее применимости, соблюдаются. Естественно, что нет никакой необходимости трактовать данные задачи в значительно более сложной нелинейной постановке. Речь идет, таким образом, не о сужении роли линейной теории упругости, а о существенном расширении класса задач, представляющих практический интерес. [c.11]

В заключение следует подчеркнуть, что в успехе изложенного выш-е доказательства центральную роль играет линейность всех входивших в рассмотрение формул, обеспечивающая однородность уравнений (18.8) и граничных условий (18.9). Достаточно сохранить хотя бы в одной из формул нелинейные члены — и доказательство утрачивает свою силу, так как при этом оказываются несправедливыми какие-либо из формул (18.4), (18.5), (18.6), (18.7). Поэтому полученный результат отнюдь не следует понимать как теорему, доказывающую единственность решения задач теории упругости. Его значение гораздо более скромно и сводится к утверждению, что, рассматривая задачу теории упругости в линейной ее постановке, мы всегда будем получать только одно решение, из чего, разумеется, никак не следует, что решение той же задачи в физически более строгой нелинейной постановке приведет к аналогичному заключению. Поэтому, получив решение уравнений линейной теории и убедившись, что оно удовлетворяет всем допущениям, на которых основывается линеаризация, надо, вообще говоря, еще проверить, является ли найденное положение равновесия устойчивым. Исследование этого, как ясно из сказанного выше, выходит за пределы возможностей линейной теории упругости. [c.218]

В настоящее время линейные задачи со смешанными граничными условиями благодаря важности их практических приложений и специфике методов их решения выделились в самостоятельный раздел механики сплошных сред. Этому способствовало и то обстоятельство, что конкретные задачи, с которыми приходится сталкиваться в теории упругости, гидромеханике, термодинамике, акустике и других областях математической физики, при надлежащей их постановке в основном оказываются смешанными. Смешанные задачи в теории упругости возникают при расчете различных деталей машин и элементов конструкций, находящихся во взаимодействии, при расчете фундаментов и оснований сооружений это все так называемые контактные задачи. Смешанными задачами также являются многие задачи концентрации напряжений в окрестности всевозможных трещин, инородных включений, подкрепляющих стрингеров и накладок, задачи изгиба пластин и оболочек при сложных условиях их опирания. [c.3]

Результаты, достигнутые в теории упругости, заманчиво использовать в механике жидкости, однако классические уравнения теории упругости являются линейными в частных производных, а уравнения гидродинамики — нелинейны, что осложняет их решение [31]. В то же время обшая корректная постановка расчета в теории упругости позволяет решать и нелинейные задачи. [c.39]

В главе рассматривается обобщенная плоская задача о динамике прямолинейных трещин в линейно-упругом безграничном теле. Вначале решаются фундаментальные задачи динамики для упругой полуплоскости, подверженной воздействию на ее границе (см. например 93]). Они решаются как в точной постановке (на основе линейной теории упругости), так и для некоторой приближенной модели [86, 96, 108, 148], использование которой значительно упрощает анализ динамики трещин и не сопровождается существенной потерей точности. [c.173]

S — граница j = x — декартовы координаты точек Q (в линейной теории различие между дг и а при постановке задачи исчезает). Если тело является линейно упругим, то в области й имеют место следующие соотнощения [c.54]

Эти формулировки справедливы для идеального упругого разрушения (при Оу- оо у конца трещины в линеаризованной постановке задачи теории упругости), и ими, вообще говоря, исчерпывается собственно линейная механика разрущения трещин. [c.330]

Постановка граничных условий для уравнений Ламе особенно проста, когда речь идет о первой основной задаче теории упругости, т. е. когда на поверхности задано и, = Ui. Если на границе заданы усилия, то следует по закону Гука выразить напряжения через деформации, т. е. первые производные от перемещений, и внести в граничные условия (8.4.6). Таким образом, на границе оказываются заданными некоторые линейные комбинации из первых производных функций ш, которые мы выписывать не будем. [c.249]

Все излагаемые в данной книге вопросы теории упругости (кроме задачи изгиба пластин) рассматриваются в линейной постановке. [c.10]

Вариационная постановка линейной задачи теории упругости в перемещениях. Для определения НДС элемента конструкции, работающего при термомеханическом малоцикловом нагружении, необходимо найти для объема V элемента, ограниченного поверхностью S = = + Sjj, поле перемещений и, которое должно удовлетворять [ 15 ] уравнениям равновесия [c.62]

Как будет показано в гл. IV, для решения проблемы прочности хрупкого тела нужно уметь находить решение соответствующей математической задачи теории упругости для тела с разрезами нулевой толщины. Эти задачи относятся к так называемым сингулярным краевым задачам, т. е. к граничным задачам с особыми точками. Такими точками являются, например, бесконечно удаленная точка, угловая точка, коническая точка, точка разрыва граничных условии, точка приложения сосредоточенной силы и т. д. Появление таких точек обычно связано с некоторой идеализацией исходной физической задачи. При этом в линейных задачах решение (или его производные, начиная с некоторого порядка) стремится к бесконечности при приближении к особой точке. Поскольку граничная задача в особой точке не определена, встает вопрос о формулировке физически осмысленного дополнительного условия в такой точке, т. е. о постановке корректной сингулярной краевой задачи. [c.51]

При наличии в теле трещины для суждения о характере ее распространения и тем самым для суждения о прочности также необходимо знание напряженного состояния. Задача онределения нанряжешюго состояния около конца трещины отличается от обычных задач онределения концентрации напряжений тем, что геометрически линеаризованная постановка краевых условий и физически линейная теория упругости приводят к бесконечным напряжениям и бесконечным градиентам напряжений в конце тонкого разреза. При этом понятие коэффициента концентрации напряжений теряет смысл. Разумеется, мол<ио было бы пытаться сохранить числовое безразмерное выражение коэффициента концентрации напряжений посредством учета сложных детальных особенностей деформации материала у конца разреза. Однако для решения задач о трещине совсем не обязательно интересоваться, детальными процессами, идущими в весьма малой окрестности конца разреза [155, 168]. Достаточно знать характер и интенсивность напряженного состояния в области, окружающей конец разреза вместе с малым объемом, где сосредоточен механизм разрушения (рис. 12.1). Это означает отказ от использования коэффициента концентрации напряжений в пользу a HMntoTH4e Koro [c.79]

Возможен случай, когда механическая система является системой с распределенными пара,метрами. К тако.му случаю относятся задачи о деформировании упругих тел магнитным полем. Эти задачи могут быть нелинейными, даже если упругие перемещения малы и справедливы уравнения линейной теории упругости. Нелинейность при этом обусловливается зависимостью пондеромоторных сил от перемещений. К указанному классу относятся два типа задач- о равновесии ферромагнитных тел, расположенных на расстояниях, сравнимых с малыми упругими перемещениями, и о равновесии близко расположенных проводящих стержней с токами. Постановка этих задач и некоторые результаты их исследования приведены в работе [16]. Математически аналогичная задача о равновесии электростатически заряженных капель рассмотрена в работе [181. [c.340]

Задание закона состояния приводит к замкнутой системе дифференциальных уравнений, по которой определяется реализуе- мое в теле напряженное состояние и вектор перемещения точек среды. Из сказанного следует, что в линейной постановке задача определения формы и размеров упругого тела в конечном состоянии отодвигается на второй план—их находят после того, как задача решена в предполон<ении неизменности начальной формы тела. Этот прием позволяет избежать серьезной трудности нелинейной теории упругости, когда напряженное состояние приходится разыскивать в 1/-объеме — в теле с неизвестной наперед границей О. Его законность подтверждается тем, что при решении задач нелинейной теории упругости методом последовательных приближений, например в форме ряда по степеням параметра ма.пости, характеризующего малость градиента вектора перемещения, исходное приближение, получаемое при пренебрежении слагаемыми, содержащими этот параметр, представляет решение задачи для линейно-упругого тела, когда определяющие уравнения отнесены к начальному объему и начальной форме его границы. [c.102]

Метод осреднения применяется к решению квазистатически Е задач линейной теории вязкоупругости для композитов. Особое внимание уделяется теории нулевого приближения. Для слоистых-вязкоупругих композитов тензоры эффективных ядер релаксации и ползучести находятся в явном виде. Выясняются особенности строения этих тензоров в случае структурной анизотропии. Вводится понятие канонических вязкоупругих операторов и описывается схема экспериментального определения их ядер. Дается описание метода численной реализации упругого решения и на" двух конкретных задачах показывается его применение. Даются постановки связанной задачи термовязкоупругости для физичес- ки линейных композитов и квазилинейной теории вязкоупругости, для композитов. [c.268]

Причина несоответствия заключалась в малой скорости выполнения арифметических операций, используемых при численном интегрировании и при решении систем линейных алгебраических уравнений. Поэтому были оправданы попытки обойти эти затруднения. Так, представлялось целесообразным для повышения скорости вычисления интегралов использовать в плоских задачах графомеханические приборы типа интеграторов. Если, кроме того, не приводить ГИУ к системе алгебраических уравнений, а использовать последовательные приближения, то можно исключить и арифметические операции, необходимые для решения системы. Такой способ предложен и реализован в 1948 г. Ш. Массоне, который подробно описал его в своей работе [161, вышедшей в 1949 г. Это был первый конкретный шаг в постановке расчетов по теории упругости на поток . Однако начавшееся примерно в то же время триумфальное наступление электронных вычислительных машин, естественно, переключило внимание на эти гораздо более совершенные счетные устройства. [c.268]

Динамические задачи об установившемся движении жесткого клина в упругой полосе в дорэлеевском и сверхзвуковом диапазонах скоростей изучены Б. И. Сметаниным [25] и В. М. Александровым и Б. И. Сметаниным [1]. Форма клина выбиралась сообразно физической постановке задачи. Так, при малых скоростях движения впереди вставки бежит трещина, т.е. клин может быть тупым . При сверхзвуковом движении среда обтекает носовую часть тела безотрывно и для сохранения гипотез линейной теории упругости клин выбирается заостренным. Решение первой из этих задач о подвижной полубесконечной вставке постоянной толщины весьма сходно с упомянутым выше случаем статического расклинивания полосы. Оно построено как методом больших Л , так и в виде разложения по полиномам Чебышева I рода, которое оказалось эффективным во всем диапазоне параметра Л. Изучено поведение коэффициента интенсивности напряжений в вершине трещины в зависимости от параметров задачи. [c.655]

Необходимо подчеркнуть, что теорема единственности доказана нами для геометрически линейной постановки задачи теории упругости. Если условие (8.4.8) не выполнено, единственности может не существовать. Это может означать одно из двух о либо принятая модель сплошной среды некорректна, либо материал неустойчив. При- Рис. 8.4.1 мером такого неустойчивого материала служит материал с падающей диаграммой растяжения, подобной изображенной на рис. 8.4.1. Видно непосредственно, что одному п тому же значению напряжения на этой диаграмме соответствуют два разных значения деформации. Вопрос о действительном существовании таких неустойчивых упругих материалов остается открытым диаграммы вида изображенной на рис. 8.4.1 наблюдаются при описании пластического поведения и представляют зависшюсть условного напряжения, т. е. растягивающей силы от деформации. Пример неустойчивости такого рода был рассмотрен в 4.13. Для геометрически нелинейных систем теорема единственности несправедлива нарушение единственности соответствует потере устойчивости упругого тела. Рассмотрению подобного рода задач в элементарной постановке была посвящена вся четвертая глава. [c.247]

Рассмотрены двумерные статические задачи теории трещин. В частности, изложена теория Гриффитса, проанализировано напряженное состояние в окрестности вершины трещины в линейной и нелинейной постановках, рассмотрены формы математической интерпретации реальных трещин и особенности, вносимые различными формами представления в описание процесса хрупкого разрушения, проведен учет структуры среды, как с помощью моментиой теории упругости, так и посредством рассмотрения дискретных моделей. [c.504]

Изотропными упругими средами будем называть среды, в которых тензоры деформации и напряжений соосны (п. 1.12). Кубик, выделенный из такой среды, одинаково деформируется под действием приложенных сил при любой ориентации ребер. Из теоремы Кейли — Гамильтона следует, что два соосных тензора связываются Друг с другом квадратичной зависимостью вида (I. 12.4). Одним из затруднений нелинейной теории упругости является указание той из мер деформации, которой должен быть сопоставлен тензор напряжения. В линейной постановке задачи оно отпадает, а квадратичная зависимость заменяется линейной вида [c.103]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...