Бигармонические функции

Функции ф, удовлетворяющие уравнению (7.18), носят название бигармонических функций. Пользуясь бигармоническими функциями с однозначными вторыми производными, можно строить многочисленные решения плоских задач теории упругости, которые автоматически удовлетворяют уравнениям равновесия и условиям совместности деформаций. Эти решения следует лишь удовлетворить заданным граничным условиям. Такой метод решения задач, когда решение задается, а граничные условия определяют характер внешнего воздействия, носит название обратного. [c.134]

При симметричной нагрузке сферической оболочки с помощью общих уравнений теории упругости решение можно представить, пользуясь одной бигармонической функцией ф, в форме [c.324]

Следовательно, компоненты перемещений и, и, гю являются бигармоническими функциями, так как они удовлетворяют би-гармоническому уравнению [c.23]

Бигармоническими функциями называют функции, удовлетворяющие бигармоническому уравнению, производные которых до четвертого порядка непрерывны, а производные второго порядка однозначны. [c.23]

Рещение плоской задачи теории упругости сводится к нахождению бигармонической функции, если на контуре тела заданы [c.31]

Функция напряжений ф является бигармонической функцией. [c.34]

Действуя оператором ДД на обе части каждой из формул обобщенного закона Гука для изотропного и однородного тела и учитывая, что относительная объемная деформация есть гармоническая функция, а Uj суть бигармонические функции, приходим к выводу, что компоненты напряжения также суть бигармонические функции. [c.77]

Таким образом, решение плоской задачи теории упругости сводится к определению бигармонической функции по известным на контурах значениям этой функции и ее нормальной производной. [c.109]

Комплексное представление бигармонической функции, компонентов вектора перемещения и тензора напряжений [c.118]

Заметим, что уравнения (4.19) не означают, конечно, что перемещения ui (при отсутствии массовых сил) являются произвольными бигармоническими функциями эти функции должны удовлетворять также и дифференциальным уравнениям более низкого порядка — уравнениям Ламе (4.12). [c.75]

Таким образом, решение задачи о плоской деформации свелось к определению бигармонической функции Эри, которая должна удовлетворять условиям (9.21) на контуре L. [c.228]

Можно показать (см. [3, 4]), что при симметричном нагружении тела относительно его среднего поперечного сечения, с центром тяжести которого совмещено начало координат, бигармоническая функция напряжений Ф представляется в следующем виде [c.228]

Если определена бигармоническая функция Эри, удовлетворяющая граничным условиям (9.21), то соответствующие напряжения находятся по формулам (9.16), а перемещения х и 2 определяются интегрированием системы трех уравнений (9.4). Эти три уравнения, со- [c.232]

Отсюда следует, что любая бигармоническая функция и, в частности, функция Эри, через производные которой определяются напряжения и перемещения в плоской задаче, может быть представлена в общем ваде через три гармонические функции, две из которых (р и q) сопряженные [c.234]

Итак, решение плоской задачи может быть сведено к определению бигармонической функции Ф (х , по значениям этой функции на контуре L и ее производной по нормали к контуру L, определяемым формулами (9,77) и (9.78) в зависимости от заданных поверхностных сил tt и 2. [c.237]

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ БИГАРМОНИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ [c.239]

В 5 гл. IV было отмечено, что любая гармоническая функция / и ее производные /,/ представляют собой бигармонические функции. Там же было показано, что если — гармонические функции, то функции [c.239]

Очевидно, что сумма бигармонических функций также удовлетворяет бигармоническому уравнению. Следовательно, функции [c.239]

Общее представление (9.68) бигармонической функции также приводится к этим двум видам [c.240]

Определив напряжения а,г. ве. Огв. а затем и перемещения и е, соответствующие представленным рядами в выражении (9.177) бигармоническим функциям, можно убедиться, что последние удовлетворяют условиям однозначности перемещений. [c.271]

Предварительно необходимо рассмотреть следующий вопрос, имеющий, вообще говоря, общий интерес. В 6 гл. I отмечалась теорема о среднем для гармонических функций. Опираясь на нее, установим аналогичную теорему для бигармонических функций [71]. Пусть и(р)—некоторая бигармоническая функция. Тогда функция Аи(р)—гармоническая и для любой внутренней точки ее области определения справедлива последовательность равенств [c.262]

Тождество (2.23) представляет собой теорему о среднем для бигармонической функции. Как отмечалось (см. (4.7) гл. II), все компоненты смещений в декартовых координатах являются бигармоническими функциями, и поэтому для них справедливо равенство (2.23). Естественно, что оно справедливо и для их производных по декартовым координатам. [c.263]

Это уравнение называется бигармоническим уравнением. Ввиду обратимости всех рассуждений имеем основание сделать следующее заключение каждой бигармонической функции соответствует поле напряжений, удовлетворяющее уравнениям упругого равновесия. [c.278]

Таким образом, если решается вторая основная задача теории упругости для области, ограниченной некоторым контуром, то следует определить в области бигармоническую функцию, удовлетворяющую предельным условиям (4.24). Однако оказывается полезным преобразовать эти условия, для чего проинтегрируем (4.24) по дуге. Тогда придем к значениям производных функции Эйри по л и г/, что позволяет определить производные по нормали н касательной к контуру. Интегрируя же производную по касательной вдоль дуги еще раз, придем к значению самой функции. В результате получаем традиционную постановку так называемой бигармонической проблемы определение бигармонической функции по ее значению и значению ее нормальной производной ). [c.279]

Как уже было показано ((4.7) гл. 11), каждая из компонент смещений будет являться бигармонической функцией. Разумеется, эти бигармонические функции не будут независимыми, и задачи теории упругости не сведутся к трем самостоятельным бигармоническим задачам. [c.284]

Как было показано в 8.5, каждая из компонент тензора напряжений есть бигармоническая функция, поэтому [c.349]

Таким образом, решение уравнения равновесия (9.3) может быть найдено в форме (9.11), если векторная функция и скалярная функция ф удовлетворяют соответственно уравнениям Пуассона (9.15) и (9.16). Решение Буссинеска — Папковича включает четыре скалярные функции — скалярную функцию ф и три проекции вектора i j. Представление, в котором ф является не гармонической, а бигармонической функцией, было дано Буссинеском и независимо от него Б. Г. Галеркиным. [c.226]

Любая бигармоническая функция может быть представлена через две независимые г.чрмонические функции в одном из трех видов (9.85). Например, бнгармоническую функцию [c.239]

При решении многих плоских задач удобно принимать гармонические функции fi хх, Хг) в выражениях (9.85) в форме однородцых гармонических полиномов, определяемых вещественной Re и мнимой Im частями функции о = 2 - комплексного переменного г — Xi + ix . В этом случае представления (9.85) бигармонической функции Ф принимают вид [c.240]

Суммируя выражения (9.150), (9.175), (9.91) и присоединяя еще бигармоническую функцию получим удовлетворяющее бигар- [c.270]

Каждая из компонент вектора перемещения представляет собою бигармоническию функцию от координат. [c.249]

Однако не следует думать, что задача теории упругости может быть сведена к интегрированию системы (8.5.5) или что величина 0 может быть найдена по известным методам решения уравнения Лапласа. Величина 0 никогда не бывает задана на границе и определить ее, решая задачу Дирихле, не удается. Система (8.5.5) представляет собою систему двенадцатого порядка, тогда как исходная система (8.5.3) шестого порядка. Чтобы определить бигармоническую функцию, на границе области необходимо задать два условия, например, щ и dujdn, т. е. нормальную производную от Ui, тогда как для решения системы [c.249]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...