Геометрически линейные задачи

Предполагается, что процесс наращивания достаточно медленный. Это позволяет пренебречь силами инерции. Кроме того, ограничим деформации по величине условием геометрически линейной задачи. [c.32]

Формоизменение наращиваемого тела (т.е. изменение его геометрической формы) имеет два существенно различных аспекта. С одной стороны, это деформация, вызванная действием приложенных к телу поверхностных и объемных термосиловых нагрузок, с другой стороны, это изменение формы вследствие неравномерного притока материала к разным участкам внешней поверхности тела. Термин деформация применительно к растущему телу имеет обычное для механики сплошной среды содержание, но отражает только первый из указанных аспектов. Второй аспект, в принципе никак не связанный с первым, служит характерным признаком наращиваемого тела. Вводимое при формулировке геометрически линейных задач механики растущих тел предположение о малости деформаций не накладывает никаких ограничений на формообразование рассматриваемого тела вследствие наращивания. [c.191]

Присоединим к уравнениям (5.1) соотношения, связывающие деформации и перемещения в геометрически линейных задачах теории упругости, а также физические уравнения в форме обобщенного закона Гука [c.84]

Физические уравнения для упругого тела представляют собой обобщенный закон Гука и имеют тот же вид, что и в геометрически линейных задачах теории упругости (5.2). [c.97]

ГЕОМЕТРИЧЕСКИ ЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ [c.19]

Геометрически линейные задачи [c.19]

Геометрически нелинейные контактные задачи. Рассмотрим задачу о контакте одного деформируемого тела с абсолютно жестким штампом. В отличие от геометрически линейных задач теперь необходимо различать начальное состояние тела, обозначаемое Qq, и текущее деформированное состояние О,. Используем в качестве независимых переменных декартовы координаты точек тела в состоянии Qq. Деформации будем описывать тензором Грина [c.105]

Кастильяно относится лишь к геометрически линейным задачам, 18). [c.138]

Проследим за развитием пластических зон по толщине пластинки. На рис. 6.9 и 6.10 показано распределение упругих и пластических (заштрихованы) зон для рассматриваемых задач. Решение с получено с учетом геометрической нелинейности б— для геометрически линейной задачи. В последнем случае мы имеем чистый изгиб, и распределение пластических зон симметрично относительно срединной плоскости. [c.162]

На рис. 6. 18 и 6. 19 проиллюстрировано влияние геометрической нелинейности. Сплошными линиями показаны результаты расчета неоднородной оболочки при <7=1,4 кгс/мм с учетом геометрической нелинейности, а пунктирными — результаты решения геометрически линейной задачи. [c.166]

С увеличением IS.K расчетные СРТ несколько завышены, что связано с завышением деформаций у вершины треш,ины при решении циклической упругопластической задачи в геометрически линейной постановке. [c.218]

МПа-2 0,87) представлены на рис. 4.12. С помощью полученного решения циклической упругопластической задачи был выполнен в геометрически линейной постановке (геометрически нелинейная постановка не требовалась, так как раскрытие в данном случае оказалось много меньше размера структурного элемента) расчет НДС ближайшего к вершине [c.224]

При проектировании технических объектов с использованием моделей и методов математического программирования оказывается удобной геометрическая иллюстрация процесса получения оптимального решения, Рассмотрим геометрическую интерпретацию задачи математического программирования с линейной целевой функцией и с системой ограничений, образующих выпуклую оболочку области существования задачи оптимизации, т. е. пусть имеется система уравнений [c.265]

Так как рассматривается задача геометрически не линейная, но физически — линейная, то связь между Mi, М3 и AQ,, Айз та же (см. решение линейной задачи) [c.205]

В гл. 4 была рассмотрена в элементарном изложении теория устойчивости упругих стержней. Особенность этих задач состояла в том, что уравнения равновесия составлялись для деформированного состояния стержня, т. е. по существу речь шла о геометрически нелинейных задачах. Вариационные уравнения, описанные в 8.7, эквивалентны геометрически линейным уравнениям теории упругости, для которых доказана теорема единственности. Поэтому никакие задачи устойчивости с помощью этих вариационных уравнений решать нельзя. Здесь мы постараемся распространить вариационные уравнения на геометрически нелинейные задачи. Существо дела состоит в том, что уравнения статики должны составляться не в исходной системе координат, например декартовой, а в той криволинейной системе координат, в которую превращается исходная вследствие деформации. Прямой путь получения таких уравнений довольно сложен, поэтому нам будет удобно вернуться к выводу 7.4, где напряжения определялись по существу как обобщенные силы, для которых компоненты тензора деформации служили обобщенными неремещениями. Пусть тело, ограниченное поверхностью [c.390]

В этой главе предполагается, что материал балки линейно упруг. Исключением являются последние два параграфа. Рассматривается геометрически линейная постановка задачи, т. е. [c.98]

Таким образом, геометрический смысл задачи линейного программирования заключается в отыскании такой точки в многограннике, которая наиболее (или наименее) уклонена от плоскости (2.27). Ясно, что эта точка совпадает с одной из его вершин. [c.65]

Задачу по определению НДС гофрированной оболочки решаем в квазистационарной несвязной постановке, используя численное интегрирование системы нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих НДС геометрически линейных тонких неупругих осесимметрично нагруженных оболочек вращения. Учитываем только физическую нелинейность, обусловленную работой материала за пределами упругости (пластичность, ползучесть). Физически нелинейную задачу [c.154]

Из факта линейности уравнений относительно величин поступательных перемещений тела следует, что возможно простое чисто геометрическое решение задачи. [c.241]

Для тел, ограниченных координатными поверхностями в какой-либо одной из ортогональных систем координат [8], с однотипными в пределах каждой отдельной координатной поверхности граничными условиями точное аналитическое решение линейной задачи можно получить методом разделения переменных (методом Фурье) [7] или математически эквивалентным ему, но более универсальным методом интегральных преобразований [10, 13, 20]. Основная идея этих методов связана с разложением искомого решения в ряд по собственным функциям соответствующей однородной задачи. Собственные функции и формулы интегральных преобразований для тел простой геометрической формы табулированы [13]. [c.43]

Для расчета геометрически и физически нелинейных систем, помимо описанных, могут быть использованы и другие подходы. Однако почти при всех подходах для решения нелинейной задачи необходимо иметь хороший алгоритм решения соответствующей линейной задачи. В данной главе будут получены уравнения, относящиеся к линейной задаче строительной механики. [c.6]

Коэффициенты матрицы линейно зависят от осевой силы, действующей на элементе. С другой стороны, поскольку мы рассматриваем линейную задачу, осевая сила в произвольном элементе будет линейной функцией приложенных нагрузок. Эти соображения позволяют записать матрицу геометрической жесткости произвольного элемента в следующей форме [c.37]

Компоненты перемещения, деформации и напряжения истинного равновесного состояния геометрически линейной задачи теории упругости должны удовлетворять всей совокупности вьшисанных вьппе уравнений и соотношений. [c.40]

В частности, для геометрически линейных задач статически возможные напряжения должны удовлетворять следующим однородньтм уравнениям равновесия по объему [c.50]

В математических постановках динамических задач термовязкоупругости можно выделить, как обычно, два основных источника нелинейности, один из которых определяется учетом конечности деформации среды (так называемая геометрическая нелинейность), а другой - нелинейностью определяющих соотношений (физическая нелинейность). При этом нелинейные определяющие соотношения могут быть приняты и в рамках геометрически линейной задачи. Еще один источник нелинейности может быть связан с нелинейностью траничных условий. [c.188]

Малые отклонения от основного состояния. При рассмотрении геометрически линейных задач о стержнях, пластинах и оболочках естественно рассматривать безмоментное напряженное состояние как основное и линеаризировать уравнения ползучести около основного состояния. Рассматривая задачу о сжатом стержне из материала, следующего закону ползучести с упрочнением, Ю. Н. Работнов и С. А. Шестериков (1956) установили, что вариации напряжений и деформаций связаны уравнением типа (5.2), в котором константы заменяются известными функциями времени. Прогиб представляет Ьобою функцию координаты, умноженную на функцию времени т ( ). Если стержень был первоначально прямой и в некоторый момент времени i ему сообщено возмущение, например приложена поперечная нагрузка, то можно указать такое критическое [c.146]

Если рассматривать геометрически линейную задачу, т. е. пренебрегать членом Giru в третьем уравнении (2.5), то вместо [c.41]

Параметр р1 означает контрольное число приближений, при котором заканчивается процесс последовательных приближений, если по тем или иным причинам не достигнута заданная относительная точность, определяемая параметром eps. При р1 = 0 решают геометрически линейную задачу. Параметр plo означает число шагов интегрирования в интервале Xs, Xa+i] между двумя точками ортогонализации. Наконец, параметр Д1 п] содержит величины Уг (5.15), характеризующие граничные условия на внешних сторонах торцевых шпангоутов. [c.127]

Как и в геометрически-линейной задаче, решение считается известным, а вместе с ним и распределение упругих и пластических зон в исходном состоянии. Еще раз напомним, что ненулевой прирост пластических деформаций при внешней догрузке может произойти только в точках, принадлежащих пластической зоне если в них удовлетворяется условие нагружения. Такие точки образуют пластическую зону Щр для поля приращений б0ij, [c.185]

Зависимости между и бфй можно находить а) из соответствующих геометрических соотношений (задачи 164, 169) б) из кинематических соотношений, считая, что система движется, и определяя при данном положении системы зависимости между линейными или угловыми со скоростями соответствующих T04eji или тел системы, а затем полагая 6sh=tдействительные перемещения будут при стационарных связях одними из возможных (иначе, здесь можно сразу считать зависимости меж- [c.362]

Мы предполагаем, что углы достаточно малы таким образом, задача рассматривается как геометрически линейная. Одновременный учет физической и геометрической нелинейностей существенно усложняе г исследование, хотя позволяет обнаружить новые эффекты. Исключая М из (4.5.7) и [c.126]

Необходимо подчеркнуть, что теорема единственности доказана нами для геометрически линейной постановки задачи теории упругости. Если условие (8.4.8) не выполнено, единственности может не существовать. Это может означать одно из двух о либо принятая модель сплошной среды некорректна, либо материал неустойчив. При- Рис. 8.4.1 мером такого неустойчивого материала служит материал с падающей диаграммой растяжения, подобной изображенной на рис. 8.4.1. Видно непосредственно, что одному п тому же значению напряжения на этой диаграмме соответствуют два разных значения деформации. Вопрос о действительном существовании таких неустойчивых упругих материалов остается открытым диаграммы вида изображенной на рис. 8.4.1 наблюдаются при описании пластического поведения и представляют зависшюсть условного напряжения, т. е. растягивающей силы от деформации. Пример неустойчивости такого рода был рассмотрен в 4.13. Для геометрически нелинейных систем теорема единственности несправедлива нарушение единственности соответствует потере устойчивости упругого тела. Рассмотрению подобного рода задач в элементарной постановке была посвящена вся четвертая глава. [c.247]

Здесь варьируются независимо напряжения о и перемещепи>1 щ. Функционал Лагранжа, записываемый через и деформации ij, выраженные через Ut по формулам (12.2.1), послужил отправной точкой для всех выводов. Прямое распространение на геометрически нелинейные задачи вариационного принципа типа Кастильяно невозможно. Действительно, в линейной теории было использовано то обстоятельство, что беу выражается через Ьщ по тем же формулам, по которым б ,- выражаются через Uu Поэтому преобразование объемного интеграла можно было произвести до варьирования функционала. В нелинейной теории этого сделать нельзя. [c.392]

Но 1 — Г = / таким образом, при р<Е /Е стержень асимптотически устойчив в том смысле, что прогиб его под действием продольной силы и произвольной поперечной нагрузки стремится к конечному пределу. Этот предел неограниченно возрастает, когда р стремится к величине отношения Е /Е при р Е /Е предельная теорема перестает быть справедливой. Общий вывод из рассмотренного примера следующий. Система мгновенно неустойчива, когда нагрузка превосходит эйле,рову, вычисленную по мгновенному модулю. Система асимптотически неустойчива, если нагрузка превышает эйлерову нагрузку, соответствующую длительному модулю. При меньших нагрузках система устойчива. Этот результат относится не только к случаю сжатого стержня, но п к любой наследственно-упругой системе, устойчивость которой может быть исследована на основе геометрически линейной постановки задачи типа Эйлера. [c.603]

НаибС Лее эффективный метод решения задачи об изгибно-крутильных деформациях тонкостенногс стержня сводится к следующему. Нужно привести все внешние силы к линии центров изгиба (центров кручения). Раздельно решить задачи а) продольного растяжения—сжатия под действием продольных сил, б) изгиба в плоскостях 0x2, Оуг с учетом внецентренности приложения продольных сил, в) кручения. Ввиду линейности задачи (геометрически линейна ввиду малости перемещений и поворотов, физически линейна ввиду использования линейного закона упругости — закона Гука) результаты этих решений сложить по напряжениям, деформациям и перемещениям. [c.338]

В начале охлаждения (первый полуцикл) пластическое течение прекращается, расчет снова ведется по формулам (7.36) и (7.37), в которых величины бр и ф сохраняют постоянные значения, достигнутые ими к концу нагрева. При достаточно высокой максимальной температуре нагрева в конце охлаждения снова начинается пластическое течение, которое, в основном, происходит в направлении, противоположном течению ири нагреве. Однако вследствие геометрической нелпнейности задачи соотношения между угловой и линейной деформациями при нагреве и при охлаждении будут различными, в результате чего за цикл будет накоплена некоторая деформация. [c.230]

Наиболее очевидный путь заключается в линеаризации исходных уравнений, которая в настоящее время идет по двум направлениям. Первое является физической линеаризацией, лежащей в основе обобщенного закона Гука, что приводит к физически линейным и геометрически нелинейным задачам, подробно рассмотренным в монографии В. В. Новожилова 103]. Второе направление заключается в геометрической линеаризации, обоснование которой дано в книге Г. Каудерера [43] (см. также [198]). [c.11]

Форма перемещений, определяемая при решении геометрически нелинейной задачи (блок № 4), существенно отличается от нормированнои линейной формы, в том числе и по амплитуде в точке нормирования, которая и будет соответствовать частоте собственных юлебаний, определяемой в блоке №7. [c.150]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...