Соотношения деформации — перемещения

МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК - когда соотношение между деформациями и перемещениями, с одной стороны, и деформациями и усилиями, с другой-могут быть приняты линейными. [c.32]

Уравнения деформаций (2.14) получились в виде линейных соотношений между перемещениями и и деформациями е вследствие использования допущения о малости (или более строго о бесконечной малости) деформаций и перемещений. [c.32]

По решению уравнений (7.53) определяются внутренние усилия из соотношений (7.50).. . (7.52), после чего находятся деформации и перемещения в каждой точке оболочки. [c.223]

Допустим, что граничные условия на всей поверхности тела заданы в перемещениях. Очевидно, что распределение деформаций и перемещений в упругом теле зависит только от одной упругой постоянной — коэффициента Пуассона. Следовательно, деформированное состояние вязкоупругого тела в любой момент времени t совпадает с деформированным состоянием упругого тела. Если граничные условия во времени остаются постоянными, то и деформированное состояние вязкоупругого тела остается неизменным. Компоненты тензора напряжений меняются во времени. Их значения легко найти из физических соотношений, а графики изменения напряжений во времени оказываются подобными кривым релаксации, которые строятся по результатам испытаний образцов при фиксированных во времени деформациях. Итак, в рассматриваемом случае решается задача о релаксации вязкоупругого тела. [c.352]

Здесь черточки над буквами обозначают преобразования Лапласа соответствующих функций. Уравнения (17.9.1) имеют форму обычных уравнений закона Гука. Выполняя преобразования Лапласа над уравнениями равновесия, соотношениями связи между деформациями и перемещениями и граничными условиями, мы получим для изображений систему уравнений, совпадающую с системой уравнений теории упругости. Ее решение ничем не отличается от решения задачи обычной теории упругости изображения напряжений и перемещений оказываются выраженными явно через изображения заданных на границе усилий и перемещений и функций наследственности. Теперь последний этап будет заключаться в том, чтобы перейти от изображений к оригиналам. Эта процедура буквально повторяет ту, которая предписывается принципом Вольтерра, но в других терминах. [c.599]

Связь между усилиями, моментами и характеристиками деформаций дают соотношения (16.26), а выражение деформаций через перемещения — соотношения (16.14). Совокупность уравнений (16.62), (16.26), (16.14) с соответствующими задаче краевыми условиями (см. 16.8) описывает поведение гибких пластин, для кото-рых нелинейность в уравнениях (16.63) и (16.14) существенна в силу того, что (1) , 0)2 е, (I, 2 о, Ё12 о- Если пластина жесткая, то ее прогибы W малы и малы повороты oj и (Оа- Тогда со , aii х о, е, о> Ё 2 О 1 И уравнения линеаризуются после отбрасывания нелинейных членов. В этом случае задача отыскания функций и, v отделяется от задачи отыскания функции w, т. е. задача разделяется на задачу о напряженно-деформированном состоянии под действием сил, векторы которых расположены в плоскости пластины, и на задачу поперечного изгиба. Уравнения первой из этих задач приведены в 17.8 и представлены соотношениями (17.23), (17.24). К этим уравнениям следует присоединить соответствующие им краевые условия (см. 16.8). [c.390]

Усилия и моменты выражаются через характеристики деформации согласно формуле (16.26), а сами деформации через перемещения — соотношениями (16.15). [c.391]

Решение задачи в перемещениях. Заменив в уравнениях равновесия наг[ряжения их выражениями через деформации по соотношениям (19.29), а деформации — через перемещения по соотношениям (19.28), получим уравнения равновесия в перемещениях. Ограничимся получением этих уравнений для случая осесимметричной деформации. В этом случае у О и все производные по ф от скалярных функций тоже нули. Тогда [c.454]

Для определения деформаций и перемещений обратимся к соотношениям упругости (19.29) и соотношениям Коши (19.28), из которых следует [c.462]

О соотношениях между скоростями деформаций и перемещений в наращиваемом теле. Заметим, что соотношения (3.23), (3.24), вообще говоря, не эквивалентны формулам Коши. Деист- [c.34]

Отметим, что в момент мгновенного приложения нагрузки Р I) (т. е. при t = 0) дифференцирование по времени в (7.8) следует понимать в обобщенном смысле. При этом скорости компонент деформации и ее и перемещения и,, содержат сингулярные составляющие вида Де (г) б (1), Дее (г) б (1) и Ди (г) б (1), где Де , Дее, Ди — приращения соответствующих величин в момент = О, аб (О — дельта-функция Дирака. Следовательно, при = О соотношения Коши выполняются именно для приращений деформаций и перемещений. Используя приведенные рассуждения, можно показать, что полученное ниже решение справедливо и для произвольной кусочно-непрерывной нагрузки Р t). [c.116]

Если прогиб моментной оболочки соизмерим с ее толщиной, линейные геометрические соотношения (5) связывающие деформации с перемещениями, несправедливы. Однако деформирование [c.240]

Соотношения между деформациями и перемещениями в случае плоской задачи теории упругости запишутся в следующем виде [c.348]

Эти уравнения движения не зависят от характера соотношений между напряжениями и деформациями материала. Однако при исследовании распространения волн от динамических нагрузок из уравнений (12.1) целесообразно исключить напряжения с тем, чтобы оставить в них только неизвестные перемещения. Это можно сделать, используя зависимости между напряжениями и деформациями материала и зависимости деформаций от перемещений. Для линейно упругого изотропного материала уравнения движения можно, следовательно, выразить через три составляющие перемещения в следующем виде [c.367]

Задача теории упругости неоднородного тела формулируется и решается аналогично задаче теории упругости однородного изотропного или анизотропного тела. Различие между ними состоит лишь в том, что в физических уравнениях (законе упругости) механические характеристики являются заданными непрерывными функциями координат. Здесь необходимо еще раз подчеркнуть, что при этом деформации тела считаются малыми и предполагается выполнение обобщенного закона Гука. Очевидно, что в случае неоднородного тела остаются справедливыми общие уравнения механики сплошной среды соотношения Коши между деформациями и перемещениями и т. д. Подробное изложение теории напряжений и деформаций приводится в многочисленных книгах [11, 100, 138 и др.], поэтому ниже они даются без вывода в прямоугольной системе координат х, у, z) в объеме, необходимом для дальнейшего изложения. Эти же уравнения в других системах координат (цилиндрической, сферической) можно найти в указанных выше и других изданиях. [c.32]

После определения перемещений узлов от заданных сил по уравнению (4.43) находят деформации и напряжения в каждом узле модели. Соотношения связи между деформациями и перемещениями в осесимметричной модели имеют вид [c.85]

Это уравнение в вариациях позволяет получить уравнения равновесия элемента рассматриваемого тела и совокупность всех вариантов граничных условий на поверхности тела. Для этого необходимо конкретизировать связь между деформациями е и перемещениями и). Тогда условие (3.3) позволяет получить соответствующие уравнения равновесия и граничные условия. Последнее обстоятельство оказывается особенно важным при построении различных вариантов приближенных теорий, основанных на тех или иных кинематических гипотезах (гипотеза плоских сечений, прямой нормали, ломаной нормали и т. д.). Зададим, например, связь деформаций с перемещениями линейными соотношениями [c.73]

Связь между деформациями и перемещениями в классической линейной теории упругости задается соотношениями (3.4). Как уже отмечалось, в положении равновесия ЬЭ — О, т. е. полная потенциальная энергия принимает стационарное значение. Для выяснения характера соответствующей стационарной точки необходимо исследовать вторую вариацию полной потенциальной энергии 6 5. Учитывая, что в соответствии с (3.15) вторая вариация Ь П = О, [c.78]

С использованием геометрических соотношений связи деформаций с перемещениями (3.4) определяется распределение деформаций в области, занимаемой элементом [c.103]

Воспользуемся для оболочек вращения разложением решений в тригонометрические ряды по угловой координате р. Получим соотношения для п-х гармоник разложения составляющих решения. При использовании выражений (4.200) и при учете того, что для оболочек вращения дА д = О, связь обобщенных деформаций с перемещениями можно записать в следующей форме [c.176]

Для вычисления матрицы жесткости [Ктп) исходными являются соотношения упругости для слоев и связи деформаций с перемещениями. Матрица жесткости [Ктп состоит из трех слагаемых, которые определяются матрицами жесткости обшивок и заполнителя [c.232]

Подставляя в (19.15) и (19.16) формулы для напряжений из (19.14), а затем выражая деформации через перемещения по соотношениям Коши (16.2), после несложных преобразований (см. 16.4), получим [c.407]

Соотношения Коши, связывающие деформации с перемещениями, имеют вид [c.491]

Подставляя полученные выражения для напряжений в уравнения равновесия (16.1) и выражая деформации через перемещения с помощью соотношений Коши (16.2), придем к следующей системе нелинейных дифференциальных уравнений [c.512]

Фундаментальное интегральное соотношение. Рассмотрим тело, занимающее область V с границей S (рис. 1.5.10) и находящееся в состоянии равновесия при действии заданных объемных А) ( —1, 2, 3) и поверхностных (1=1, 2, 3) нагрузок. Состояние тела характеризуется компонентами напряжений а-д, деформаций и перемещений щ. [c.65]

Соотношения между деформациями и перемещениями в координатах Ху Х2 можно представить в виде [c.220]

Соотношения (5.2.5) и (5.2.6) в совокупности с уравнениями равновесия или движения, а также геометрическими соотношениями, связывающими деформации с перемещениями, образуют полную систему уравнений статики или динамики тонкостенных композитных элементов конструкций. Расчет таких элементов осуществляют по следующей схеме. [c.310]

Изучению напряжений, деформаций и перемещений в пластически деформируемых телах посвящен раздел механики деформируемого твердого тела, называемый теорией пластичности [10, 12, 13, 18, 36]. Теория пластичиости решает глав1гым обра юм те же задачи, что и линейная теория упругости, но для материалов с другими физическими свойствами. Поэтому между указанными теориями имеется много общего, в частности общими оказываьзтся уравнения равновесия, зависимости между перемещениями и деформациями, уравнения совместности деформаций. Только вместо закона Гука, используемого в линейной теории упругости, в теории пластичности применяются другие физические соотношения. [c.293]

Основы теории упругости были разработаны почти одновременно Навье (1821), Коши (1822), Пуассоном (1829). Независимо друг от друга они получили по существу все основные уравнения этой теории. Особо выделялись работы Коши. В отличие от Навье и Пуассона, привлекавших гипотезу молекулярных сил, Коши, опираясь на метод, в котором используется статика твердого тела, ввел понятия деформации и нагфяжения, установил дифференциальные уравнения равновесия, граничные условия, зависимости между деформациями и перемещениями, а также соотношения между напряжениями и деформациями для изотропного тела, первоначально содержавшие две упругие постоянные. В эти же годы появились исследования М. В. Остроградского о распространении волн в упругом теле при возмущении в его малой области. На эти исследования ссылается в своих работах Пуассон, впервые (1830) доказавший существование в однородной изотропной среде двух типов волн (волны расширения и искажения). [c.5]

Заменив в этих уравнениях усилия Ту, Т у их выражениями согласно соотношениям упругости (16.26) через деформации с последующей заменой деформаций через перемещения по формулам (16.14), отбросив в них нелинейные члены, получим систему двух уравнений в персхмещениях [c.411]

Итак, на этом этапе имеем десять неиэвестных (два перемещения, четыре деформации и четыре напряжения) и девять уравнений (четыре физических соотношения, два уравнения равновесия и три геометрических соотношения, связывающие деформации с перемещениями), т. е. одно лишнее неизвестное. Учитывая аналогию в записи разрешающих уравнений для плоского напряженного состояния и плоской деформации, естественно предположить, что [c.47]

Рассмотрим сначала принцип соответствия для термореологически простых материалов. В качестве четырех независимых переменных вместо t н Xi возьмем и Xi. Применяя преобразование Лапласа по приведенному времени (формула (42)) к уравнениям равновесия, граничным условиям и соотношениям между деформациями и перемещениями, получаем систему идентичную уравнениям (102) — (105), но теперь над всеми членами вместо черты (например, дц) будет стоять крышечка (например, t,j). Преобразование Лапласа определяющих уравнений (64) дает [c.143]

При этом может нарушиться подобие поля деформаций и перемещений в натуре и модели. В этом случае деформацип в натуре лучше непосредствеино определять по найдеины м для натуры напряжениям с помощью соотношений термоупругости (1.4), в которые следует подставлять характеристики материала н, Цн, н элемента композитной конструкции, в котором определяют деформации. [c.15]

Принцип возможных перемещений является наиболее общим принципом механики. Он справедлив при любых реологических свойствах тела, т. е. при любых зависимостях между деформациями и напряжениями в материале тела его можно использовать и в случае неконсервативных внешних сил. Основные соотношения этого параграфа получены при линейных кинематиче ских связях деформаций с перемещениями, задаваемых матрицей (3.5), но сам принцип возможных перемещений остается в силе и для более общего вида таких связей, в частности, при нелинейных кинематических зависимостях (в этом случае нелинейные слагаемые появятся в уравнениях равновесия и граничных условиях). [c.75]

Основные соотношения классической теории упругости Линейиая классическая теория базируется на ряде гипотез, основными из которых являются предположения о сведении системы сил, действующих на элементарную площадку, только к рав недействующей (отсутствие моментов), о малости градиентов перемещений (линей пая связь между деформациями и перемещениями), об идеальной упругости материала (линейная связь между напряжениями и деформациями) [c.137]

Используя далее кинематрсческие соотношения между компонентами перемещений щ и компонентами деформации 8у, физические зависимости между компонентами напряжения Сту и компонентами деформахщи, сможем выразить через перемещения сначала деформации 8у, а затем и напряжения а/, [c.53]

Вариационные соотношения (4.5.38) и (4.5.39) представляют слабые формулировки итерационных методов, из которых, задаваясь связью деформаций и перемещений, можно получить в качестве уравнений Эйлера уравнения в перемепгениях для различных задач. Однако значение этих соотношений заключается в том, что они ЯШ1ЯЮТСЯ основой для вывода разрешающих уравнений при различных способах дискретизации задачи, например МКЭ, а также для получения теоретических оценок сходимости методов. [c.233]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...