Некоторые обобщения и частные случаи

Некоторые обобщения и частные случаи [c.96]

Рассмотрим некоторые обобщения понятий, введенных в 204. Скалярные и векторные поля представляют собой частные случаи тензорных полей. Тензорным полем называется часть пространства, каждой точке которого можно поставить в соответствие определенное значение компонент тензора. Тензор, определенный этими компонентами, является функцией точки поля или ее радиуса-вектора. [c.385]

Решение системы дифференциальных уравнений теплообмена средствами математического анализа связано с большими, иногда непреодолимыми трудностями. Аналитические решения удается получить лишь для некоторых частных случаев при условии введения упрощающих предпосылок. Поэтому такие задачи решаются либо численными методами с использованием вычислительной техники, либо для исследования теплообмена используются экспериментальные методы. Численные и экспериментальные результаты представляют собой решения отдельных частных задач, обобщение которых ограничено. При изменении каждого из аргументов требуется новое решение или новый эксперимент. Преодолеть эти трудности позволяет теория подобия. [c.171]

Анализ термодинамических циклов различных тепловых двигателе- лей показывает, что все они могут рассматриваться как частные случаи некоторого условного цикла, показанного на ор- и на Г-диаграммах (рис. 94, о, б). Далее этот цикл называется обобщенным. [c.280]

В частных случаях компоненты момента количества движения отождествляются с обобщенными компонентами импульса. В общем случае такое отождествление момента количества движения, связанного с некоторой угловой координатой, можно провести для простой механической системы, где отсутствуют, например, электромагнитные эффекты. Интересно исследовать скобку Пуассона от двух компонент момента количества движения. Для простоты рассмотрим материальную точку и используем декартову систему координат тогда компоненты момента количества движения будут даваться формулами [c.109]

Некоторым обобщением множества (2) является небулярное множество [46]. Это множество задается функцией принадлежности, которая сопоставляет каждому элементу множества число из интервала [0,1 ] или символ, обозначающий, что принадлежность не определена. На основе этих понятий определяется эвристическая система как небулярная, имеющая неопределенное количество входов и выходов, а также неопределенные функции. В частном случае, когда множества, на которых определена система, являются обычными, эвристическая система совпадает с обычной системой. [c.24]

При расчете в системе СИ вт м - град) числовой коэффициент должен быть заменен на 190. Формула обобщает данные для воды, фреонов, аммиака и некоторых других жидкостей при давлениях Р Ркр 0,9 с отклонением от опытных значений а не свыше 30У . Преимущество формул этого типа несколько снижается из-за того, что для детально неисследованного вещества наперед неизвестна степень его термодинамического подобия тем исследованным веществам, свойства которых были заложены в обобщенную формулу. Впрочем, во всех случаях использования обобщенных формул нужно считаться с их меньшей точностью, чем формул, специально полученных для частных случаев. [c.178]

Это еще раз подтверждает универсальность решений (4-5-41) и (4-5-42), которые являются обобщением имеющихся результатов некоторых частных случаев (хорошие или плохие проводники теплоты и т. д.) и могут быть использованы во всех практических случаях. [c.274]

Колесо доказательства сделало теперь полный оборот начав с некоторых сведений из области конвективного теплообмена без массообмена, мы подошли к все более сложным процессам массопереноса. Возвращаясь теперь к теплообмену, мы получили обобщенные формулы и методы расчета такие, что их аналоги, обычно используемые в учебниках по теплообмену, представляются не более чем частными случаями. Уравнение (4-51) является более общим, нежели (4-53), в то время как уравнения (4-48) и (4-49) являются еще более общими. [c.149]

Метод решения той же задачи в тригонометрических рядах развит В. В. Соколовским [ ] им же рассмотрены различные частные случаи и некоторые обобщения. [c.198]

Аналогичные процессы. Уравнение теплопроводности является прямым следствием закона сохранения, представленного первым законом термодинамики, и пропорциональности плотности потока градиенту температуры [см. (3.1)]. Существует множество других физических процессов, при которых соответствующая плотность потока некоторой величины пропорциональна градиенту этой величины и для которых существует закон сохранения. Отсюда следует, что эти процессы будут описываться дифференциальными уравнениями, аналогичными (3.2). К подобным процессам можно отнести диффузию химических компонент, движение заряженных частиц в электромагнитном поле, течение в пористых материалах, потенциальные течения, перенос тепла и влаги в почве, а также полностью развитые течение и теплообмен в каналах. Построив вычислительную процедуру для решения уравнения (3.2), мы сможем применить ее и для любого аналогичного процесса, просто придавая новый смысл величинам Т, к, Sfj и др. Например, можно интерпретировать Т как концентрацию, к как коэффициент диффузии, как скорость химической реакции и т.п. Удобнее работать с таким обобщенным дифференциальным уравнением, так как уравнение теплопроводности и другие аналогичные уравнения станут его частными случаями. В дальнейшем будем основываться на подобном обобщенном дифференциальном уравнении. [c.66]

Основные граничные плоские и антиплоские задачи теории упругости для многосвязной области, содержащей криволинейные разрезы и отверстия произвольной формы, сведены в работах [94—96] к системе сингулярных интегральных уравнений первого рода по замкнутым (контуры отверстий и внешняя граница) и разомкнутым (разрезы) контурам. При этом предполагалось, что контуры разрезов и отверстий не пересекаются между собой (см. параграф 3 данной главы). Краевые трещины рассматривались только в некоторых частных случаях граничного контура (окружность, прямая), когда удается построить модифицированные сингулярные интегральные уравнения, не содержащие искомых функций на этом контуре [70, 95]. В последнее время изучались также задачи в случае произвольной симметричной области с краевой трещиной, находящейся на оси упругой и геометрической симметрии [27, 53, 58, 104] (см. также параграфы 3—5 четвертой главы). Ниже, следуя работе [97], приводятся обобщения указанных выше результатов на общий случай многосвязной области с разрезами и отверстиями, когда разрезы одним или двумя концами могут выходить на внешнюю границу и контуры отверстий. Получены численные решения построенных интегральных уравнений при одноосном растяжении бесконечной плоскости с одним или двумя круговыми отверстиями, на контуры которых выходят радиальные трещины. [c.33]

Обобщение опытных данных при шести исходных независимых переменных величинах представляется затруднительным. Однако, как показывается ниже, можно свести указанные выше шесть величин к двум зависящим от них обобщенным параметрам. При этом, проводя опыты лишь для некоторых частных случаев, можно обобщить получаемые результаты, распространяя их также и на случаи, когда исходные условия отличаются от тех, при которых были проведены опыты. [c.111]

Ю. А. Гартунг исследовал различные случаи движения тела с обобщенной прецессией вектора угловой скорости, в частности, эллиптическую и круговую, соответственно годографам вектора угловой скорости. Составлялись уравнения движения, интегрировались и находились управляющие воздействия. При изучении более простых видов обобщенной прецессии появлялись случаи, когда находились некоторые новые частные случаи движений гироскопов Эйлера <и Лагранжа даже при отсутствии дополнительных воздействий. [c.13]

С этой целью решения представляются в виде обобщенных рядов Фурье, которые не требуют для своего построения знания собственных функций и собственных чисел каких-либо вспомогательных граничных задач в некоторых частных случаях найдены новые представления решений в квадратурах. [c.10]

Критерий минимального запаса работоспособности, положенный в основу развиваемого в книге подхода к решению экстремальных задач, является обобщенным критерием, объединяющим частные критерии — выходные параметры и надежность. В некоторых частных случаях, когда другие частные критерии типа стоимости или габаритов существенно зависят от управляемых параметров, они также могут быть включены в обобщенный критерий минимального запаса. Оптимальное решение с позиций выходных параметров и надежности получается постольку, поскольку производится улучшение тех показателей качества функционирования, которые в-данный момент поиска имеют наихудшие запасы, т. е. лимитируют общую надежность. Если не касаться вопросов корректности требований технического задания, то такой подход сводит к минимуму элементы субъективизма в постановке задачи. В этом отношении он бес- [c.234]

В данной работе основное внимание уделяется вопросам точности определения теплофизических характеристик в среде постоянной и переменной температуры. Авторы считают, что дальнейшее развитие этой области технической физики должно идти по пути совершенствования самих измерений с точки зрения увеличения точности определения теплофизических характеристик и создания соответствующих приборов, основанных на современных достижениях вычислительной и счетно-решающей техники. Все необходимые в работе оценки проводятся на основе строгих решений двумерных и многослойных задач теплопроводности. Смысл обобщения некоторых методов онределения теплофизических характеристик касается разработки новых двумерных методик расчета теплофизических коэффициентов в стационарных, регулярных и квазистационарных тепловых режимах. В частных случаях из полученных формул вытекают общеизвестные расчетные соотношения для коэффициентов тепло- и температуропроводности. [c.31]

В этом параграфе мы рассмотрим вопрос о существовании периодических движений с периодом 2кж в окрестности точки обобщенного равновесия для систем с одной степенью свободы (та = 1). Мы докажем существование бесконечного числа таких близких периодических движений в общем случае устойчивого равновесия при помощи соображений, которые хотя и не опираются явно на геометрическую теорему Пуанкаре, но повторяют в точности рассуждения, доказывающие эту теорему в некоторых частных случаях. Ниже (в 3) эти результаты будут приложены к первоначальной динамической проблеме с двумя степенями свободы. [c.157]

Из этого перечня видно, что книга не претендует на освещение всех вопросов теории упругости анизотропного тела, а излагает только некоторые, наиболее изученные, но еще не приведенные в систему. В ней не содержится исследований по изгибу и устойчивости анизотропных пластинок, так как эти вопросы достаточно полно разработаны в нашей книге <Анизотропные пластинки . Задача о плоской деформации и обобщенном плоском напряженном состоянии изложена сжато (в связи с более общей задачей), причем из частных случаев рассмотрены только наиболее важные. В книге не затронуты проблемы равновесия и устойчивости анизотропных оболочек, а также динамики упругого тела (за исключением общих уравнений движения) Во всех случаях предполагается, что деформации являются упругими и малыми, а материал следует обобщенному закону Гука. В конце имеется перечень литературы, куда, кроме работ, излагающих специальные вопросы, включены также некоторые основные курсы теории упругости. [c.12]

При этом обобщении увеличивается на единицу число полей, подлежащих отысканию при решении некоторой задачи, но не увеличивается число регламентирующих их условий. Чтобы определить поле температур, нужны дополнительные общие условия сверх тех, которые получаются из уравнений количества движения и момента количества движения. Естественно искать эти условия в термодинамике. В механике сплошной среды прошлого столетия механика сопрягалась с термодинамикой однородных процессов посредством требования, чтобы в частном случае, когда поля F и 0 сводятся к функциям одного лишь времени t, определяющие соотношения механики сплошных сред были совместимы с соотношениями частного вида, рассмотренными в 5, или, несколько более общим образом, с соотношениями, намеченными в 6. [c.425]

Основным критерием возникновения срыва на лопасти служат значения углов атаки или коэффициентов подъемной силы (рассматриваемые непосредственно либо представленные посредством эквивалентных параметров). Влияние срыва на винте заметно проявляется в тех случаях, когда на значительной части диска винта углы атаки сечений лопастей превысят критические углы для профилей. Расчет границ летных режимов винта на основании такого критерия является сложной задачей. Углы атаки изменяются по диску винта неравномерно, и их трудно рассчитать с удовлетворительной точностью, особенно для экстремальных режимов полета. Кроме того, на вращающейся лопасти срыв представляет собой более сложное аэродинамическое явление, чем на профиле крыла. Поэтому используемые для него критерии имеют эмпирическую основу. Срыв может диагностироваться на основе значений обобщенных характеристик работы винта, например параметров Ст/а и i. Если срыв охватывает лишь ограниченную часть диска винта, то предпочтительны более частные критерии. Установлен ряд таких критериев, в которых используется значение угла атаки сечения лопасти в некоторых критических точках диска винта. Однако лучше производить детальный расчет аэродинамических нагрузок лопастей при заданных условиях полета, используя описанную в гл. 14 схему определения сил при срыв-ном обтекании сечений. Но даже столь полный анализ, учитывающий упругие свойства лопастей, пока не дает адекватного представления о срыве, поскольку наши знания в этой области аэродинамики лопасти еше недостаточно полны. [c.796]

Иными словами, с позиции исследователя эффективных коэффициентов обобщенной проводимости упорядоченная структура является частным случаем хаотической, и эффективные свойства этих структур будут одинаковыми, если соблюдены условия адекватности. Сформулированная точка зрения может показаться необычной из-за некоторой психологической предубежденности, согласно которой во всех случаях хаос и порядок кажутся качественно отличными. Чтобы дополнительно пояс- [c.16]

Обобщение на случай отображения при помощи рациональных функций. Случай областей, отображаемых на круг при помощи полиномов и при помощи функций вида (Г), указанного в 84 (стр. 323), есть частный случай областей, отображаемых при помощи рациональных функций общего вида. И В этом более общем случае решение может быть получено тем же путем, что и выше единственной принципиальной разницей является то, что на этот раз приходится, вообще говоря, вычислять корни некоторого алгебраического уравнения. [c.325]

В частном случае обобщенно консервативной системы гамильтониан Н является интегралом уравнений движения поэтому если некоторая функция f(q, р, 4 —интеграл уравнений движения, то ее первая, вторая и т. д. частные производные по времени также являются интегралами этих уравнений. Действительно, для таких систем в силу теоремы Якоби — Пуассона (/, Я) = = onst и из условия (30) следует, что [c.269]

В общем случае два любых парамезра рабочего тела могут изменяться произвольно. Однако наибольший интерес представляют некоторые частные случаи. К числу частных термодинамических процессов относятся изохорный (dv = 0) изобарный ( р = 0) изотермный (dT = 0) адиабатный (dq = 0) и политропный, который при определенных условиях может рассматриваться в качестве обобщенного по отношению ко всем перечисленным выше термодинамическим процессам. [c.20]

Общая теорема, лежащая и основе теории, доказанная Буссине-ском, формулирована в гл. I, ее обобщение на случай системы-— н гл. V. В той же гл. I дана общая схема решения задачи о нахождении связи между темпом охлаждения и коэффициентом теплоотдачи. Ценность этой схемы выясняется на частных практически важных задачах, решение которых дано в гл. II и III. Теория регулярного режима однородного твердого тела получает большую общность, простоту и наглядность, если для его описания прибегнуть к критериальным величинам, чему посвящены 6, 7, 8, 9 гл. I и вся гл. IV. Введение критериев W, р и С приводит к основной теореме автора ( 5 гл. I), введение критериев S и Г) (гл. IV) открывает перспективы решения задачи о регулярном режиме тел сложных и неправильных очертаний, неразрешимой методами современного математического анализа. В гл. V дана общая схема решения задачи о регулярном режиме системы, а дялее в гл. VI она применена к рассмотрению ряда частных случаев составных тел. Некоторые частные случаи регулярного режима двухсоставных и трехсоставных тел также удалось описать при помощи критериальных величин (Б, Ж, П к k — 8и9гл. VI). [c.10]

Аппарат, развитый в 3, 4 для задачи дифракции на диэлектрическом теле с посгоянной диэлектрической проницаемостью е, в. sitom и следующем параграфах будет обобщен на задачу о дифракции иа теле, в котором г есть функция координат, г = г г). Собственным значением однородной задачи будет теперь ие сама диэлектрическая проницаемость вспомогательного тела е , которая тоже оказывается функцией точки, а некоторое число, входящее в е . Вид функции е (г) зависит ог вида функции е (г) — подобно тому, как для е = onst форма тела во вспомогательной однородной задаче повторяла форму тела в основной задаче дифра а1И11. Результаты 3, 4 являются частными случаями результатов этого параграфа. [c.42]

Как и в случае конечномерных динамических систем, в области задач об оптимальном управлении системами с распределенными параметрами сохраняют полную работоспособность усовершенствованные методы классического вариационного исчисления. При этом и здесь основное внимание было уделено составлению необходимых условий минимума для экстремальных задач со связями, трактуемыми как проблема Майера — Больца. Главным образом это было сделано для задач, связанных с уравнениями эллиптического типа. Было показано, что в таких типичных задачах, возникающих из проблем оптимального управления, необходимые условия стационарности (уравнение Эйлера и естественные граничные условия, а также условия Вейерштрасса Эрдманна) составляются при помощи обычных приемов. Критерии опираются снова на множители Лагранжа которые здесь зависят уже обычно от пространственных координат, а соответствующие дифференциальные уравнения снова конструируются исходя из подходящих форм функции Гамильтона. Условия стационарности дополняются необходимым условием Вейерштрасса сильного относительного минимума. Разумеется, это условие, которое записывается через условие экстремальности функции Гамильтона на оптимальных решениях, имеет смысл, аналогичный соответствующему условию принципа максимума. Важно, однако, заметить, что при работе с модификациями классических методов вариационного исчисления в случае уравнений с частными производными проявляются некоторые новые черты. В результате получаются условия оптимальности, более сильные, нежели известные в настоящее время обобщения принципа максимума на системы, описываемые уравнениями в частных производных. Упомянутые черты проявляются, в частности, в связи с тем обстоятельством, что приращение минимизируемого функционала при изменении объемного управления (за счет варьирования от оптимального управления) в пределах области достаточно малой меры зависит не только от вариации управления и меры области, но также существенно определяется и предельной формой области варьирования. Таким образом, получается, что при изменении формы области, определяющей вариацию, могут, получаться более или менее широкие необходимые условия экстремальности. Как отмечено выше, эффект анизотропии варьирования пока был получен только классическими методами. Причины этого, по-видимому, различны некоторые работы, посвященные принципу максимума, относятся к таким задачам, где этот эффект вообще не проявляется, в других случаях эффект анизотропии исключался вследствие ограничения при исследованиях лишь вариациями специального вида. Полезно также заметить, что описываемый эффект анизотропии расширяет возможность управления и оптимизации в обширном классе случаев независимо от типа исходных уравнений. Эффективность классических методов вариационного исчисления была проверена на конкретных типах задач. В частности, таким путем была исследована задача об оптимальном распределении проводимости электропроводной жидкости (газа) в канале магнитодинамического генератора электрической энергии. Эта задача как раз доставляет пример вариационной проблемы, где эффект анизотропии варьирования играет существенную роль. Развитию классических методов исследования посвящены работы К. А. Лурье. [c.239]

Равновесие круглой толстой плиты, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой, было изучено при помощи однородных решений Г, Н, Бухариновым (1952), применившим соотношение обобщенной ортогональности П, Ф. Папковича (1940) это соотношение было указана Папковичем для краевых условий функций однородных решений, соответствующих обращению в нуль самих функций и их первых производных на параллельных сторонах полосы строгое обоснование метода Папковича было дано позднее Г. А. Гринбергом (1953), Равновесие круглой плиты под действием произвольной осесимметричной нагрузки исследовано при помощи однородных решений В. К, Прокоповым (1958), Осесимметричный изгиб круглой плиты в весьма общей постановке рассмотрен Б, Л. Абрамяном и А, А, Баблояном (1958) точное решение задачи о равновесии защемленной по боковой поверхности плиты при помощи бесконечных систем алгебраических уравнений дали В. Т. Гринченко и А, Ф. Улитка (1963) аналогичные результаты получены Г, М, Валовым (1962), Некоторые частные случаи осесимметричного изгиба толстых плит рассмотрены [c.19]

Метод обобщенных рядов Фурье. Вводные замечания. Рассмотренные в предыдущих параграфах численные примеры показывают, что метод канонических функциональных уравнений может быть использован для получения приближенных решений граничных задач. Однако общего доказательства сходимости процесса приближения, применяемого в этом методе, мы не имеем, и теоремы 19 дают доказательство сходимости лишь в частных случаях. Теперь мы укажем другой способ приближенного решения граничных задач, в котором нам удалось доказать сходимость. Этот метод позволит получить решения в виде р.чдов по некоторым полным системам ортогональных функций и конечные их отрезки представляют приближения к точным решениям, [c.394]

Тем не менее, даже в простейших частных случаях, помимо прямых обобщений хорошо известных результатов, в вещественной алгебраической геометрии [51]-[53], известно очень немногое. Рассмотрим, на пример, вещественный многочлен степени й от двух переменных. Легко видеть, что количество точек максимума и минимума, Мо -Ь М2, не превосходит (1 /2 + 0 (1), но не известно как велика может быть их разность Мо — М2. Для произведения й линейных функций асимптотика была найдена Ю.Чекановым в [54], при этом использовалась арифметика эллиптических кривых по модулю р ответ таков М0/М2 < 2 и для некоторых конфигураций прямых, М0/М2 > 2 — 0(1/й) (см. также [55]-[57]). [c.38]

Можно установить достаточный признак или критерий устойчивости для консервативных систем, который дается теоремой, доказанной в конце XVIII века Лагранжем для некоторых частных случаев и обобщенной в середин XIX века Дирихле на случай любых консервативных систем. [c.13]

Во втором издании Теории звука рассматривается обобщение линейных колебаний и в другом направлении,— когда параметры системы периодически изменяются. В обоих случаях Рэйли имел предшественников уравнение колебаний с третьей степенью скорости встречалось и раньше в небесной механике, и Остроградский посвятил ему небольшую, но во многих отношениях замечательную работу в 1836 г. А при анализе влияния периодически изменяющихся параметров Рэйли рассматривает частный случай уравнения, полученного Матье в 1868 г. при исследовании колебаний эллиптической мембраны к тому же общие результаты по теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими (общего порядка) коэффициентами были получены еще в 1883 г. в работе, которая, по-видимому, осталась неизвестной Рэйли Но в обоих случаях Рэйли исходил из общей постановки вопроса — и с целью показать границы линейной теории, и с целью выявить (притом самыми скромными средствами) некоторые новые свойства колебаний, обусловленные нелинейностью. Так на исходе XIX в. подготавливалась почва для оформления в самостоятельную дисциплину теории (как линейных, так и нелинейных) колебаний. [c.279]

Заметим, что в задаче обтекания постоянство вектора V, является обязательным [134] в отличие от постановок для вихревого движения идеальной жидкости, когда па бесконечности допустимо задание неоднородного поля скорости. Некоторый промежуточный вариант — внутренняя задача в неограниченной области, например задача о течении жидкости в бесконечной трубе. В этом случае вопрос о концевых условиях далеко не тривиален, хотя для ламинарных движений естественно считать, что на концах (имеющих разные сечения) асимптотически должны быть заданы нуазейлевы режимы. Частным случаем задачи в бесконечной области является проблема вязких струй, которая в обобщенной форхмулировке может быть поставлена следующим образом. На сфере единичного радиуса или иа другой ограничепиой поверхности дано произвольное поле вектора скорости. Требуется найти стационарное решение Ьне этой сферы, сопрягающееся с покоем на бесконечности. Теории вязких струй посвящена обширная литература [7, 26, 96]. Эта проблема подробно обсуждается в настоящей монографии. [c.11]

В ряде случаев (например, при нелинейном законе изменения коэффициента подъемной силы сечения крыла по углам атаки) при решении интегро-дифференциального уравнения желательно применять метод последовательных приближений. Однако М. В, Келдыш показал, чтЬ процесс последовательных приближений расходится, если применять его к исходному сингулярному интегро-дифференциальному уравнению. В работах Г. И. Майкапара (1944) и Г. Ф. Бураго (1947) рассматриваются различные формы обращения интегро-дифференциального уравнения и сведения его к интегральному уравнению с интегрируемым ядром, при решении которого можно использовать метод последовательных приближений. В теории несущей линии был также получен ряд частных точных решений. Г, Ф. Бураго (1947) и И. Н, Векуа (1947) получили точные решения для закрученного эллиптического крыла и для некоторого класса крыльев, являющихся обобщением эллиптического, а Я, М. Серебрийский (1944) получил точные решения для эллиптического крыла при произвольной нелинейной зависимости коэффициента подъемной силы профиля от угла атаки. [c.93]

Скорости деформации при этом обычно определяются посредством ассоциированного закона течения. Отметим некоторые причины, побуждающие к анализу этой задачи. Различные условия текучести в случаях плоской деформации и плоского напряженного состояния, несколько пные предельные условия в механике грунтов делают естественным анализ задачи при общем условии пластичности. Некоторое значение имеют поиски простых приближенных решений, возможных при частных формулировках условия текучести. Наконец, с условием пластичности общего вида в какой-то мере может быть связан важный случай обобщенной плоской деформации, когда длинное цилиндрическое тело испытывает постоян- [c.106]

Идея применить обобщенную задачу двух неподвижных центров для построения промежуточных орбит искусственных спутников была выдвинута в 1961 г. Е. А. Гребениковым, В. Г. Деминым и автором [24], [25]. Предложенная этими авторами формула (1.9.8) обобщала результаты Дж. Винти и М. Д. Кислика на случай несимметричного тела. Оказалось также, что менее удачная, но, несомненно, представляющая интерес аппроксимирующая формула Р. Баррара [26] может рассматриваться как некоторый предельный случай формулы (1.9.8). Другими словами, формула (1.9.8) содержит в себе все аппроксимирующие выражения для потенциала как частные или предельные случаи. [c.45]

Одпако при рассмотрении уравнений полей, содержащих, как правило, четыре или большее число независимых переменных х, у, г, I. .., практически невозможно воспользоваться тем, что решение является стационарным значением некоторых интегралов, так как само решепие дифференциальных уравнений в частных производных представляет больпше трудности. В этих случаях использование вариационного принципа дает преимущество лишь при выводе законов сохранения, в частности закона сохранения энергии. Другое дело, если решаются задачи с одной независимой неремеппой (время в механике или длина луча в геометрической оптике). В этом случае имеют дело с обыкновенными дифференциальными уравнениями, и оказывается, что примененне вариационного принципа существенно упрощает исследование решения задачи. Фактически такой подход является непосредственным обобщением обычной геометрической оптики. В своем современном виде оп разработан главным образом Д. Гильбертом, и рассуждения, изложенные выше, базируются на материалах его неопубликованных лекций, прочитанных в Геттингене примерно в 1903 г. Здесь приводится теория лишь для трехмерного пространства х, у, г), однако ее легко обобщить на многомерный случай. [c.663]

Обобщенная задача двух неподвижных центров (см. ч. VI) также допускает круговые орбиты. Их устойчивость при постоянно действующих возмущениях исследована в работах [135], [136], [137], а для случая предельного варианта задачи двух неподвижных центров в [138]. Названная задача допускает в качестве частных рещений так называемые эллипсоидальные и ги-перболоидальные орбиты [47]. Эти орбиты лежат на эллипсоиде или на гиперболоиде вращения. Первые располагаются между двумя параллелями, и если являются периодическими, то после некоторого числа оборотов замыкаются, в противном случае имеем обмотку части эллипсопда. Гиперболоидальные траектории не являются спутниковыми орбитами, так как при оо материальная точка удаляется на бесконечность. С помошью связки интегралов В. Г. Демин [87] показал, что эллипсоидальные орбиты устойчивы по отношению к большой полуоси и эксцентриситету эллипсоида и гиперболоида, на которых происходит движение спутника. Устойчивость движения стационарных (или суточных) спутников рассмотрена в [89], [137]. [c.848]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...