Существование периодических движений

Наличие на фазовой плоскости замкнутых фазовых траекторий (например, эллипсов в окрестностях рассмотренной особой точки) указывает на существование периодических движений. Из нашего анализа следует, что в окрестностях особой точки, отвечающей минимуму потенциальной энергии, происходят периодические движения с эллиптическими фазовыми траекториями, соответствующими гармоническим колебаниям. Реальное движение тем ближе к гармоническому, чем меньше превышение запаса энергии системы над запасом энергии в точке равновесия, т. е. чем меньше величина Л —Л . В системах, в которых потенциальная функция [c.19]

Обозначим через Т какой-нибудь характерный промежуток времени, например время движения маятника между крайним и вертикальным положениями или между двумя одинаковыми фазами, т. е. период колебания, и т. д. (существование периодического движения можно принять как гипотезу или как результат, известный из дополнительных данных). Имеем [c.38]

I ЛАПА 5. Существование периодических движений. ... 132 [c.6]

Существование периодических движений [c.132]

Все сказанное до сих пор аналогично тому, что имело место для состояния равновесия бифуркационные поверхности Л +i и N4, неподвижной точки аналогичны бифуркационным поверхностям No и Na состояния равновесия, а бифуркационная поверхность N-1 является новой. Однако возможные бифуркации периодического движения этим не исчерпываются. Бифуркация периодического движения Г возможна еще за счет его исчезновения, происходящего по трем сценариям Г теряет замкнутость, уходя в бесконечность, на Г появляется состояние равновесия, Г стягивается в точку. Других возможностей нет, точнее, нет других возможностей прекращения существования периодического движения Г, не сопряженных с переходами через поверхности iV+i, N i и Л ф. Рассмотрим каждый из трех сценариев в отдельности. [c.110]

Примем как гипотезу или как результат, известный из дополнительных данных, существование периодического движения. Пусть — [c.44]

Роль периодических движений. Периодические движения, включая равновесие, составляют очень важный класс движений динамических систем. В этой главе пашей главной целью будет рассмотрение различных общих методов, позволяющих устанавливать существование периодических движений. [c.132]

Существование периодических движений 133 [c.133]

Существование периодических движений 135 [c.135]

Существование периодических движений 137 [c.137]

Существование, периодических движений 139 [c.139]

Существование периодических движений 141 [c.141]

Поверхность М, определенная в предыдущем параграфе, может иметь любое число конечных выпуклых границ, помимо границ в бесконечности, и для такой поверхности справедливы полученные в предыдущем параграфе теоремы существования периодического движения. [c.141]

Существование периодических движений 143 [c.143]

Существование периодических движений 145 [c.145]

Существование периодических движений 147 [c.147]

Существование периодических движений 149 [c.149]

Существование периодических движений 151 [c.151]

Существование периодических движений 153 [c.153]

Существование периодических движений 155 [c.155]

Периодические движения вблизи обобщенного равновесия (та = 1). Последняя геометрическая теорема Пуанкаре и ее об-общения доставляют нам дополнительное орудие для установления существования периодических движений. До сих пор еще не найдено какого-либо обобщения этой теоремы на большее число измерений, так что ее применение ограничивается динамическими системами с двумя степенями свободы. В этой главе мы намереваемся изложить некоторые основные идеи, содержащиеся в этой теореме и ее применениях. [c.157]

В этом параграфе мы рассмотрим вопрос о существовании периодических движений с периодом 2кж в окрестности точки обобщенного равновесия для систем с одной степенью свободы (та = 1). Мы докажем существование бесконечного числа таких близких периодических движений в общем случае устойчивого равновесия при помощи соображений, которые хотя и не опираются явно на геометрическую теорему Пуанкаре, но повторяют в точности рассуждения, доказывающие эту теорему в некоторых частных случаях. Ниже (в 3) эти результаты будут приложены к первоначальной динамической проблеме с двумя степенями свободы. [c.157]

Таким образом, для существования периодического движения необходимо, чтобы величины (1) при i = О и при t = 2Т принимали одни и те же значения, и чтобы —Х возрастало на 2л. [c.430]

Существование периодических движений, близких треугольным точкам либрации ограниченной круговой задачи трех тел доказывается при помощи теоремы А. М. Ляпунова о голоморфном интеграле [22, 49]. [c.206]

Заметим, что термин строгая теория отнюдь не означает, что эта теория дает точные количественные ответы на поставленные вопросы. Строгая теория может давать приближенные количественные ответы (например, может оценить амплитуду колебательного процесса при помощи неравенств) и может делать качественные высказывания (например, о существовании периодических движений). [c.15]

Помимо самого факта существования периодических движений нас всегда должен интересовать вопрос, устойчивы ли эти движения. Поэтому при рассмотрении периодических движений мы должны строго сформулировать понятие устойчивости движения, подобно тому как мы сформулировали понятие об устойчивости положений равновесия. Мы примем определение устойчивости движения, данное Ляпуновым и вполне соответствующее обычному определению устойчивости состояний равновесия, приведенному в гл. I, 3. [c.149]

Поставим задачу определения условий существования периодических движений с частотой возмущающей силы и. [c.231]

На границе таких областей происходит либо исчезновение одного из этих движений, либо нарушение устойчивости. Поэтому задача выделения областей существования и устойчивости простейших установившихся движений (состояний равновесия и периодических движений) является частью более обш,ей задачи изучения бифуркаций особых точек и замкнутых фазовых кривых. Однако значимость теории бифуркации состоит не только в этом, но и в том, что она открывает путь к более полному изучению динамических систем и оказывается полезной даже при изучении конкретной динамической системы, которая ни от каких параметров не зависит. Последнее означает, что в ряде случаев изучение конкретной динамической системы существенно облегчается путем искусственного введения параметров и последующего использования теории бифуркаций. [c.251]

О существовании счетного множества периодических движений в четырехмерном пространстве в расширенной окрестности седло-фокуса. Докл. АН СССР, 1967, 172. № 1, 54—57 [c.214]

В самом деле, условия 1.1, 1.2, 1.4 обеспечивают существование -периодического решения Т=Т (ср) уравнения (1. 35) движения машинного агрегата [181. Другого периодического решения быть не может, так как при выполнении условия 1.3 приведенный момент М (ср, Т) всех действующих сил убывает с ростом кинетической энергии Т. [c.37]

Теперь получим уравнения, позволяющие отыскать такие начальные векторы Vo. Vo. которые обеспечивали бы существование периодического решения у системы уравнений движения [c.129]

Следовательно, соответствующее периодическое решение у системы уравнений движения (16.21) существует, если система уравнений (18.7) имеет такое решение на каждом fe-м шаге. Выясним условия, гарантирующие существование периодического решения у системы (18.7). [c.152]

Рассмотрим сначала вопрос о существовании периодических движений тела в трехмерном пространстве. Пусть h = U1 — максимальное критическое значение интеграла энергии. При h > U1 область возможных движений совпадает со всей S0 3). На любом римаповом S0 3) существует по крайней мере три различных замкнутых геодезических [52]. Им соответствуют шесть различных периодических движений твердого тела (некоторые из них могут быть перманентными вращениями). При остальных некритических h область В имеет края. Если, например, тело вращается в ньютоновском поле сил (классическое приближение, см. 4 гл. III), то каждая связная компонента области возможных движений согласно [55, 56] диффеоморфна х [О, 1] (Т — двумерный тор) или X В" S — окружность, а В" — двумерный диск). В первом случае граница дВ состоит из двух связных многообразий, диффеоморфпых Т , и, следовательно, по теореме 3 существует, по крайней мере, одно либрационное периодическое [c.143]

Когда уравнения возмущенного движения нелинейны, вопрос о существовании периодических движений рассматривали А. А. Андронов (1937) для уравнений второго порядка и П. А. Кузьмин (1939) для уравнений второго и третьего порядков, а вопросы о поведении траекторий как в области точек бифуркации, так и в точках ответвления периодических орбит исследовал Н. Н. Баутин (1950). Последний показал, что в рассматриваемых случаях поведение динамической системы вблизи границы области устойчивости определяется ее поведением на самой границе. Те границы области устойчивости, на которых невозмущенное движение устойчиво,, называют безопасными , а те границы, на которых оно неустойчиво,— опасными . Нахождение опасных и безопасных границ сводится, к решению задачи устойчивости в критических случаях. Впоследствии эти результаты были развиты в работах ряда авторов (А. И. Лурье, 1951 И. Г. Малкин, 1952, и другие). [c.60]

Приложение к исключительному случаю. Случай та-мер-ной лагранжевой системы, имеющей характеристическую поверхность, которая может быть одио-однозначпо и аналитически отображена на гиперсферу, представляет исключительный интерес, но как раз к этому случаю намеченный здесь метод минимакса не приложим, так как на таком многообразии не существует замкнутых кривых I, не сводимых в точку. Тем не менее и в этом случае можно установить существование периодических движений типа минимакса. [c.143]

В статье Депри [122] исследованы периодические движения при значениях отношения масс основных тел, больших критического значения [х , а в работах [140, 172] рассмотрен вопроси существовании периодических движений при таких значениях отношения масс [i, для которых их существование не следует из теоремы Ляпунова о голоморфном интеграле. [c.206]

При исследовании устойчивости особыми являются такие значения параметра [.i, при которых возможны резонансы первога (ляпуновское условие существования периодического движения), второго (порождающие точки для параметрического резонанса), третьего и четвертого (порождающие точки для резонансов, проявляющихся в нелинейной задаче) порядков. В общем виде такие резонансы можно записать следующим образом [c.217]

Теперь рассмотрим оставшиеся возможности для изменения периодического движения Г, т. е. те, при которых наруилается существование гладкого взаимно однозначного отображения секущей. Для таких изменений есть следующие возможности замкнутая кривая Г стягивается в точку, на ней появляется состояние равновесия, она уходит в бесконечность ). Замкнутая кривая может стянуться только к особой точке — состоянию равновесия — и поэтому этот случай уже был изучен при рассмотрении бифуркаций состояний равновесия. Он соответствует переходу через бифуркационную поверхность Л/, . Второй случай новый, хотя он тоже связан с бифуркацией состояния равновесия, но не был замечен, поскольку раньше рассмотрение относилось только к окрестности состояния равновесия и не выходило за ее пределы. Перейдем к его рассмотрению. Третий случай оставим без внимания ввиду очевидности связанных с ним изменений. В рассматриваемом случае при бифуркационном значении параметра имеется состояние равновесия О и фазовая кривая Г, выходящая и вновь входящая в него. Пусть это состояние равновесия простое, типа О ". Так как фазовая кривая Г выходит из О" , то она лежит на инвариантном многообразии S,,, а так как она в него еще и входит, то она принадлежит еще и многообразию S l,. Отсюда следует, что многообразия Sp и 5 пересекаются по кривой Г. Соответствующая картинка представлена на рис. 7.14. Как нетрудно понять, пересечение поверхностей S,, и не является общим случаем и при общих сколь угодно малых изменениях параметров динамической системы должйо исчезнуть. Это означае т, что в пространстве параметров этому случаю вообще не отвечают области, а, как можно обнаружить, в общем случае только некоторые поверхности на едирплцу меньшей размерности. Таким образом, исследование этой бифуркации периодического движения свелось к следующему вопросу когда фазовая кривая, идущая из простого седлового дви- [c.262]

У рассматриваемой нами системы всякая фазовая точка может находиться вне выделенных нами окрестностей не дольше некоторого конечного времени т. Поэтому фазовые траектории, лежащие вне выделенных малых окрестностей, порождают на их граничных поверхностях некоторые точечные отображения. При этом каждая поверхность а,, oj-, или oi2 отображается в какие-то другие поверхности о], ш/, (0/1 или (0/2. Отображение, преобразующее, например, точки поверхности о/ в сод, будем обозначать через Т(а/- (О д). Таких различных отображений будет конечное число, причем каждое из этих отображений кусочно-гладкое. Это последнее утверждение следует из существования верхней границы т длительности движения фазовой точки от одной поверхности до другой и из компактности гладких кусков поверхностей без контакта, ограничивающих выделенные нами окрестности состояний равновесия и периодических движений. [c.276]

Метод вспомогательных оторЗажений. Опнсанные выше критерии существования неподвижной точки и особенно критерий, основанный на принципе сжимающих отображений, в тех случаях, когда его удается применить, дает значительные, а ииогд ) и исчерпывающие сведения о поведении изучаемой системы. В качестве примера можно привести произвольную механическую систему с взаимными и собственными комбинированными трениями без падающих участков характеристик трения. К такой системе возможно применение принципа сжимающих отображений, позволяющее установить глобальную устойчивость многообразия состояний равновесия или периодических движений при воздействии на такую систему внешней периодической силы. Применение принципа сжимающих отображений позволяет установить существование и единственность вынужденных колебаний в системе с т 1к называемым конструкционным демпфированием. Соответствующие примеры могут быть продолжены, но все же они не очень многочисленны, поскольку далеко не всегда имеется сжимаемость. В настоящем разделе излагается метод вспомогательных отображений, позволяющий расширить применение критерия о существовании и единственности неподвижной точки на несжимающие отображения. Ради геометрической наглядности это изложение, как и относящиеся к нему примеры, будет ограничено двумерными точечными отображениями. [c.301]

На первый взгляд может показаться, что проведенное исследование малопригодно для практических целей, так как для составления матрицы F требуется знать решение (30.7.2) уравнений движения. Но это, однако, не совсем так. Фактически нам требуется знать лишь значения при р = а, = О, t = а, для чего достаточно знать решение уравнений линейного приближения (уравнений в вариациях) для случая = 0. Последнее же решение всегда может быть построено (гл. XXIII). Таким образом, теория Пуанкаре дает нам практически удобный метод доказательства существования периодических решений. [c.616]

В первой главе мы приняли за основной постулат существование периодического явления, связанного с каждой отдельной порцией энергии, зависимость которой от собственной массы выражена соотношением Планка— Эйнштейна. Теория относительности показала нам, таким образом, необходимость связать с равномерным движением всякого движущегося тела распространение с постоянной скоростью некоторой фазовой волны, и мы смогли объснить это распространение, пользуясь представлением Минковского о пространстве-времени. [c.666]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...