Интегрируемость ядер

Интегральное уравнение (3.19) имеет симметричное квадратично интегрируемое ядро для любой области с границей конечной кривизны. В этом легко убедиться, если учесть, что х и х лежат на границе dR, следовательно, сингулярность при Xq->Xq намного слабее, чем кажется на первый взгляд. [c.443]

В случае 0 = Н = еще одно выражение для а(//, I/) получается при реализации операторов Гильберта—Шмидта Со и С как интегральных операторов с квадратично интегрируемыми ядрами до( л,1/) и д ц,1/). Пусть А = 0 0о и Л состоит из точек А, где конечны интеграл (6) и аналогичный интеграл от а о(а ) Л) - Подставляя в (13) выражение (7) для Z fl G) и аналогичное выражение для ( / Со), найдем, что [c.302]

Исследование дифференциальных уравнений математической физики в конечной области пространства обычно проводится с помощью перевода их в интегральные уравнения с подходящей функцией Грина [28, 29]. Это обстоятельство объясняется тем, что исходный дифференциальный оператор является неограниченным, тогда как функция Грина в конечной области пространства, удовлетворяющая соответствующим граничным условиям, порождает не только ограниченный, но вполне непрерывный оператор, т.е. оператор с квадратично интегрируемым ядром [45]. Этот оператор можно представить как предел конечномерных операторов и, следовательно, перенести на него (а, тем самым, и на исходный дифференциальный оператор) все существенные теоремы алгебры конечномерных пространств [45] (существование собственных функций, их полнота и разложение по базису, альтернатива Фредгольма, теория возмущений и т.д.). [c.68]

Покажем теперь, что, начиная с определенного значения Я (которое будет установлено), ряд (2.11) в случае симметричных уравнений (с интегрируемым квадратом ядра) будет расходиться, что приводит к расходимости ряда для резольвенты. На основании неравенства Шварца для произвольного п получаем [c.43]

Можно показать [26], что ядро интегрируемо с квадратом и поэтому, применяя теорию симметричных интегральных уравнений Фредгольма, приходим к доказательству существования (когда область конечна) дискретного спектра собственных значений (иначе говоря, частот собственных колебаний), которые являются вещественными и, более того, положительными числами ). [c.571]

Это выражение можно преобразовать далее ((Зм. [2]) и показать, что для степенных потенциалов с угловым обрезанием ядро 2 (1 1) ограничено константой, умноженной на соответствующее ядро для упругих сферических молекул. В той же работе [2] показано, что третья итерация симметризованной формы / /27 2/7 / этого ядра интегрируема с квадратом. Следовательно, оператор вполне непрерывен в (понятия функционального анализа см. в книге [4]) при любых степенных потенциалах с угловым обрезанием и для упругих сферических молекул. Так как это, очевидно, верно и для (в этом случае ядро само интегрируемо с квадратом), то отсюда следует, что оператор К вполне непрерывен. Ясно, однако, что это свойство бесполезно, если переходить [c.87]

Нетрудно видеть, что простейшим будет способ, основанный -на использовании следующего факта как мы знаем (упругие сферические молекулы и потенциалы с угловым обрезанием) или предполагаем (потенциалы с радиальным обрезанием), оператор самосопряжен и вполне непрерывен в (здесь применяются терминология и результаты гл. 3), так что его ядро можно разложить в ряд по его интегрируемым с квадратом собственным функциям (таким, что = A- v9r). Другими словами, можно записать [c.108]

Отметим, что ядро интегрального уравнения (2.19) симметрично и интегрируемо с квадратом для любой области с ограниченной кривизной- Это легко проверить, если учесть, что обе точки х и Хо лежат на границе дК и, таким образом, при х Хо особенность существенно слабее, чем кажется на первый взгляд. [c.150]

Прежде всего заметим, что уравнение (2.9) является интегральным уравнением Фредгольма второго рода, ибо его ядро интегрируемо с квадратом 1 1 [c.347]

Ввиду того что б= ЛХ представляет собой неопределенный интеграл от X, утверждение относительно Л очевидно. Ядро О о, 8) имеет логарифмическую особенность при о = 5 таким образом, при фиксированном значении о оно представляет собой на интервале (О, и) функцию от 5 с интегрируемым квадратом. По той же причине преобразование (скалярное произведение) [c.206]

Доказательство. Рассмотрим опер ор = /со D /(о, обозначающий умножение на функцию j/u), затем применение оператора D и снова умножение на /to. Он представляет собой интегральный оператор с неотрицательным симметричным ядром D, (s, )= /u), (s)D(s, с интегрируемым квадра- [c.280]

Таким образом, получено интегральное уравнение первого рода, где неизвестной величиной является ди/дЫ, т. е. электрическое поле на отверстии. В левой части уравнения — разность at — магнитных полей справа и слева экрана при закрытом металлической пленкой отверстии. Это уравнение в отличие от (13.7) имеет очень слабую, интегрируемую, особенность в ядре. [c.131]

Ядро К(а, I) непрерывно на любой гладкой части Lf и интегрируемо везде на Lf . [c.421]

Развиваемый групповой формализм Пуанкаре применил к выводу уравнений твердого тела, содержащего полости, заполненные вихревой идеальной несжимаемой жидкостью. Для этих уравнений он указал случай интегрируемости, характеризующийся динамической симметрией. Он также получил эллиптическую квадратуру и использовал ее для объяснения различных эффектов в прецессии Земли, которую представлял себе как твердую оболочку (мантию) с жидким ядром. Указал также явные формулы для частот малых колебаний и получил необходимые условия устойчивости. [c.24]

Ядро H f, т) предполагается непрерывным при -Г1 т < <оо или имеющим интегрируемую степенную особенность. [c.357]

Однако набор экспоненциальных функций недостаточно хорошо описывает поведение реальных материалов [44]. Испытания на ползучесть показывают, что в первый момент после приложения нагрузки скорость ползучести оказывается весьма большой, настолько, что ее измерение затруднительно. При i=0 кривые ползучести имеют вертикальные касательные. Поэтому опытные данные лучше описываются ядрами с интегрируемой степенной особенностью при t—х=0. [c.360]

Доказательство проведем при упрощающем предположении, что ядра 0(х, у) и К х, у) имеют интегрируемые вторые производные. Это ограничение можно, конечно, ослабить, однако большинство потенциалов удовлетворяет этому условию. При сделанном предположении применим оператор д 1дР) — [c.201]

В существующей теории линейных интегральных уравнений обычно предполагается, что ядро K(W) является вполне непрерывным к числу таких ядер относятся, в частности, ядра с интегрируемым квадратом (ядра Гильберта — Шмидта). [c.257]

Это уравнение (его обычно называют уравнением Липпмана — Швингера) имеет ядро, интегрируемое с квадратом, если потенциал удовлетворяет условию [c.257]

Покажем (на примере трехчастичной задачи), что для многочастичного рассеяния а) ядро К ) не является ядром с интегрируемым квадратом б) ядро K W) не является даже вполне непрерывным ядром. [c.259]

Однако 1Т) не имеет предела при Rl — оо и а — оо, поэтому — Е) лежит в непрерывном спектре ядра КС ). Итак, для трехчастичной и т. д. задачи ядро /С(и ) не является ни интегрируемым с квадратом, ни даже вполне непрерывным. [c.262]

Суть проведенной перестройки уравнения Липпмана — Швингера в систему уравнений Вейнберга состоит в том, что теперь ядро 1 ) является хорошим ядром, а именно ядром Гильберта — Шмидта с интегрируемым квадратом. [c.267]

Ввиду того что ядро (11.4) удовлетворяет условиям (7.7) и симметрично так же, как и ядро (9.8), все свойства, указанные выше для представления функции рядом Фурье, сохраняются и здесь. В частности, имеет место сходимость к полусумме левого и правого пределов для функции ограниченного изменения на конечном интервале и абсолютно интегрируемой (—сх < х <С оо). Теоремы о свертках (9.15), (9.16) записываются здесь в следующем виде. Пусть и х), и (х) интегрируемы и [c.59]

Проводился также анализ уравнения переноса для конечной (ограниченной) геометрии с учетом энергетической зависимости [25]. В предположении, что скорость нейтрона не может быть равна нулю и ядро рассеяния интегрируемо и ограничено, было найдено, что при больших временах решение уравнения переноса определяется дискретными собственными значениями. Асимптотически решение уравнения переноса пропорционально ехр (аоО, так что в этом достаточно общем случае критическая система есть такая, для которой ао = 0. При некоторых условиях на ядро рассеяния, которые практически всегда выполняются для систем, содержащих делящиеся изотопы, существует по крайней мере одно дискретное собственное значение, т. е. а . Хотя этот результат не был подтвержден в общем случае, разумно предположить, что всегда существует действительное ао и что не отрицательно. [c.36]

Для всех Я > О по мере приближения к своему фронту пропагатор бесконечно гладким образом плавно убывает до нуля. Эта особенность поведения решений уравнений в теории наследственной упругости со (слабо-) сингулярными ядрами наследственности была обнаружена достаточно давно. Авторы, рассматривавшие в рамках наследственной упругости задачи о возбуждении переходных волн в наследственно-упругой среде, при использовании ядер наследственности, имеющих интегрируемую особенность, обнаруживали (и доказывали) плавное (бесконечно гладкое) убывание переходной волны по мере приближения к её фронту. В общем случае такие решения строились и вычислялись с использованием асимптотических методов или разложения в ряды по спецфункциям, родственным гипер- [c.171]

В ряде случаев (например, при нелинейном законе изменения коэффициента подъемной силы сечения крыла по углам атаки) при решении интегро-дифференциального уравнения желательно применять метод последовательных приближений. Однако М. В, Келдыш показал, чтЬ процесс последовательных приближений расходится, если применять его к исходному сингулярному интегро-дифференциальному уравнению. В работах Г. И. Майкапара (1944) и Г. Ф. Бураго (1947) рассматриваются различные формы обращения интегро-дифференциального уравнения и сведения его к интегральному уравнению с интегрируемым ядром, при решении которого можно использовать метод последовательных приближений. В теории несущей линии был также получен ряд частных точных решений. Г, Ф. Бураго (1947) и И. Н, Векуа (1947) получили точные решения для закрученного эллиптического крыла и для некоторого класса крыльев, являющихся обобщением эллиптического, а Я, М. Серебрийский (1944) получил точные решения для эллиптического крыла при произвольной нелинейной зависимости коэффициента подъемной силы профиля от угла атаки. [c.93]

Для гиперболических систем еще одним необходимым условием является аналитичность амплитуды оператора при продолжении в пижпюю комплексную полуплоскость. Это условие автоматически выполняется, когда оператор представляется в виде свертки с производными от функции с интегрируемым ядром (типично встречающийся случай для приложений). Оставшееся условие для гиперболичности — обобщенное условие Адамара [367]. [c.274]

Покажем, что для функции С[р], заданной выражением (1.51), давление не может возрастать до бесконечности на концах площадки контакта. Действительно, предполагая, что давление имеет интегрируемую степенную особенность, т. е. особенность вида (1 0 (О < б < 1) в точке ( = 1, и учитывая, что ядро интегрального уравнения имеет особенность вида 1п(1 - ( ), получим, что левая часть уравнения (1.59) имеет особенность порядка (1 —в правой же части особенности нет, что и доказывает высказанное выше утверждение. Таким образом, учёт Дополнительной податливости за счёт смятия микронеровностей Йриводит к исчезновению особенностей давления на краях области взаимодействия, имеющих место в случае постановки контактной задачи для гладких тел, макроформа которых такова. Что имеет место разрыв производной функции смещения и х) на краях площадки контакта (например, для штампа с плоским Основанием, т. е. f x) = О при ж < а). [c.67]

В силу (2.48) ядра объемного потенциала и потенциала простого слоя имеют слабые особенности соответственно в Q и на Г. Следовательно, если плотности F(y,t) и ф(г/, ) являются для каждого t ограниченными интегрируемыми функциями соответственно в Q и на Г и достаточно быстро убывают при г/ ->-сх) (если области интегрирования бесконечны), то указанные потенциалы непрерывно продолжимы на Г. [c.145]

Входящие в эти уравнения интегралы необходимо понимать в смысле главных значений Коши. Это сингулярные интегральные уравнения. Существенное значение имеет вопрос, является ли справедливой для обсуждаемых уравнений теория Фредгольма, ибо классическая теория интегральных уравнений применяется к уравнениям с квазисингулярными ядрами (ядрами со слабой особенностью, т. е. такими, которые на основном интервале имеют особенности, интегрируемые в обычном смысле). [c.617]

Одним из основных вопросов в теории вязкоупругости является выбор ядер интегральных уравнений (1.5) и (1.6), нахождение резольвент, а также достоверное определение их параметров. Анализ экспериментальных кривых ползучести показывает, что прн малых t деформация после приложения нагрузки быстро нарастает, так что вначале кривая ползучести практически сливается с осью ординат. Попытки определения фактической скорости ползучести в опыте при о — onst для очень малых t оканчиваются неудачей, так как или скорость ползучести остается больше той, какая может быть измерена применяемыми регистрирующими приборами, или не удается исключить колебательные явления. В связи с изложенным многие исследователи пришли к заключению, что функция ползучести для реального материала должна обязательно иметь слабую (интегрируемую) особенность. Поэтому заметна тенденция использовать для анализа реологических задач ядра интегральных уравнений, имеющие слабую особенность при t =0. Систематизация таких ядер" и их резольвент проведена в работе [95] (табл. 1.1). Отметим, что дробноэкспоненциальная функция Ю. Н. Работнова может использоваться не только как ядро релаксации, но и как ядро ползучести, например, когда материал обнаруживает ограниченную во времени ползучесть. Использование ядра Эа для решения практических задач представляется особенно перспективным в связи со следующими обстоятельствами. Во-первых, на их основе Ю. И. Работновым [138] и М. И. Розовским [149, 150] разработан метод решения задач линейной вязкоупругости с применением принципа Вольтерры. Этими авторами создана алгебра операторов, согласно которой можно производить математические действия умножения, деления и т. д. над выражениями, содержащими интегральные операторы. Дальнейшее развитие алгебры операторов имеется в работах [65, 155]. Во-вторых, Эа — функции протабулированы и изданы отдельной книгой [142]. В-третьих, разработан достаточно эффективный метод определения параметров Эа — функции для реального материала на ЭВМ [126, 163]. [c.21]

Ядро уравнения MQp обладает слабой особенностью логарифми ческого типа, так как при Р Q, MQp с э 1п rQp -> оо. Эта осо бенность является интегрируемой и не меняет свойств уравнения [c.83]

В своей работе [256] А. Пуанкаре привел вполне современный вывод уравнений (2.3), (2.8), опираясь на развитый им формализм общих уравнений движения на группах Ли. Он также явно указал сведение к эллиптическим квадратурам для осесимметричного случая и рассмотрел устойчивость регулярных прецессий. По этому поводу интересна его полемика с В. Кельвином относительно поведения частоты и устойчивости прецессии тела при наличии жидкой полости. При этом Пуанкаре использует систему (2.7) ДЛЯ описания движения Земли, представляющей собой твердую оболочку (мантию) и жидкое ядро. В дальнейшем эту модель изучает также В. А. Стеклов, приводя в работе [273] открытые им случаи интегрируемости. [c.182]

Анализ этих формул показывает, что объемные потенциалы и граничный потенциал / (р, х, 510, а следовательно, и иЧ (р, х, 5У) содержат яйра со слабыми, т. е. интегрируемыми, особенностями, о значит, что они непрерывны врюду в и, следовательно, непрерывно продолжаются на границу дУ. Потенциалы ТГг (м, х, дУ) и Кь (р, х, дУ), а следовательно, W l (и, х, дУ) и р, х, дУ) содержат ядра с сингулярными особенностями Они при пересечении границы терпят разрыв. Потенциал (в, х, дУ) а следовательно, и Р (и, х, дУ) содержат ядра с сильными особенностями. Свойства таких интегралов рассмотрим в следующих разделах, а зд сь отметим, что эти потенциалы непрерывно пересекают границу. [c.115]

Ожидаемая качественная картина поведения близких к интегрируемым систем, опирающаяся на формулировку теорем Пуанкаре-Биргофа, КАМ-теоремы и теоремы о закручивании (twist-theorem), приведены в главе 6 книги [33]. Она подтверждается многими численными экспериментами независимо от формальных деталей модели. Это имеет место и в рассматриваемой задаче. Типичная картина хаотизации и разрушения ядра вихревой области приведена на рис. 10 в виде сечений Пуанкаре для е = 0.1, = 1. Эволюция аналогичных картин в зависимости от частоты V представлена в [10], где также имеется последовательность сечений Пуанкаре для оптимальной частоты V = 0.25 и набора амплитуд возмущений е в интервале [О, 0.6], по мере роста которых сжимается ядро регулярных траекторий, размываются окружающие его отдельные вихри и расширяется охваченная хаотическим перемешиванием оболочка, из которой все интенсивнее осуществляется вынос частиц в проточное течение. [c.492]

К сожалению, система интегральных уравнений, которая получается при этом, не будет системой типа Фредгольма. Действительно, ядра этих уравнений не являются абсолютно интегрируемыми, и соответствующие интегралы имеют смысл, только если пЬнимать их как сингулярные интегралы Коши. [c.144]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...