Точка обобщенного равновесия

Мы будем говорить, что данная система (5), имеющая в начале координат точку обобщенного равновесия, обратима , если при замене Ь па — вновь полученная система эквивалентна первоначальной по отношению к преобразованиям формальной группы. [c.124]

Но такой множитель указывал бы ни более, ни менее, как на существование периодического решения уравнений вариации с тем же периодом 2тг, что и данное движение. Будем называть точку обобщенного равновесия простой , если для нее не существует решения уравнений вариации с тем же периодом, что у самой точки обобщенного равновесия, и кратной , если такое решение существует. [c.150]

Они принадлежат к тому же типу, что прежние, но имеют точку обобщенного равновесия в начале координат при всех малых значениях параметра с. Решение в формальных рядах такой системы дифференциальных уравнений, разумеется, содержит параметр с. Именно такого рода формальные ряды оказываются часто полезными в приложениях при этом равенство нулю параметров, аналогичных с, может соответствовать специальному интегрируемому случаю динамической проблемы, когда периодическое движение, из которого мы исходим, может быть выражено в явном виде. [c.151]

В этом параграфе мы рассмотрим вопрос о существовании периодических движений с периодом 2кж в окрестности точки обобщенного равновесия для систем с одной степенью свободы (та = 1). Мы докажем существование бесконечного числа таких близких периодических движений в общем случае устойчивого равновесия при помощи соображений, которые хотя и не опираются явно на геометрическую теорему Пуанкаре, но повторяют в точности рассуждения, доказывающие эту теорему в некоторых частных случаях. Ниже (в 3) эти результаты будут приложены к первоначальной динамической проблеме с двумя степенями свободы. [c.157]

Необходимо теперь формулировать условия, которые должны быть наложены на обобщенное равновесие для того, чтобы мы могли сделать требуемое заключение о существовании бесконечного множества периодических движений в окрестности точки обобщенного равновесия. Прежде всего мы предполагаем, что обобщенное равновесие принадлежит к общему устойчивому типу н что оно обладает полной устойчивостью. Значение нормального вида уравнений (глава III, 9) заключается в том, что решение их может быть написано под видом [c.159]

Первый вопрос, связанный с возможными обобщениями предыдущих результатов для случая двух степеней свободы (т = 2), будет заключаться в следующем. Пусть начало координат является точкой обобщенного равновесия общего устойчивого типа для какого-нибудь динамической системы, которую мы, кроме того, будем считать вполне устойчивой. Если постоянная I не равна нулю, то можем ли мы сказать, что всегда существует бесконечное множество периодических движений в окрестности начала координат [c.170]

Здесь коэффициенты с , dij суть периодические фуикции от с периодом т. Начало координат есть точка обобщенного равновесия, имеющая множителями числа [c.170]

Предположим, что всякая гамильтонова проблема локально интегрируема в окрестности точки обобщенного равновесия общего устойчивого типа (см. главу III). Применяя нормальные переменные, мы видим, что тогда Т является по существу вращением на переменный угол. [c.256]

Обобщенные нагрузки, обобщенные напряжения и их про изводные связаны друг с другом уравнениями равновесия. Если, например, вторично выбрать обобщенные напряжения для нашей балки так, как это было только что сделано, и использовать для них правило знаков, показанное на рис. 1.1, то уравнения равновесия примут вид [c.11]

Рассматриваемая система имеет две степени свободы. За обобщенные координаты выберем расстояние вдоль плоскости от груза А до точки статического равновесия пружины и угол ф, образуемый маятником с вертикалью [c.64]

В статике для равновесия свободного твердого тела, имеющего шесть степеней свободы, было получено шесть условий равновесия для приложенных к/телу сил. Эти условия можно получить также, приравняв нулю каждою из шести обобщенных сил. Для этого следует выбрать в качестве обобщенных координат декартовы координаты х, у, г какой-либо точки тела и углы поворота тела вокруг осей координат, проходящих через эту точку. Обобщенные силы, отнесенные к координатам х, у, г, превратятся соответственно в суммы проекций приложенных сил на эти оси, а обобщенные силы, отнесенные к углам поворота вокруг осей координат, — в суммы моментов сил относительно этих осей. [c.384]

Вырезанные узлы должны также удовлетворять условию равновесия. Поэтому для узла первой рамы необходимо выполнение равенства М1=М2. Тогда из уравнения (10) вытекает как следствие, что обобщенные перемещения концевых сечений продольного и поперечного элементов в узле всегда равны по абсолютной величине. Так как бимомент является самоуравновешенный силовым фактором, то условие равновесия не накладывает жестких ограничений на соотношения 81 и В2. Можно предположить, что 81= 82, и тог- [c.192]

Формула (Д.14) представляет собой обобщение результатов, полученных в 5.4 и 5.5. Очевидно, что соотношения (5.82) и (5.135) являются частными случаями (Д.14). Если допустить, что справедливо уравнение состояния совершенного газа рУ = N , то константу равновесия реакции й можно выразить в виде [c.530]

Если формальные ряды решения проблемы обобщенного равновесия устойчивого типа для уравнений Пфаффа оборвать на членах произвольного порядка 8 относительно начальных значений Рх,. ., произвольных постоянных ), то полученные таким образом 2т тригонометрических сумм. ) будут иметь коэффициенты не выше чем первого порядка относительно щ и будут выражать координаты Хх- , Х2т с [c.113]

Если для какой-нибудь системы имеет место устойчивость первого порядка, то обратимость является необходимым и достаточным условием полной устойчивости обобщенного равновесия. [c.130]

Таким путем делается очевидной природа координат, применяемых для приведения проблемы к проблеме обобщенного равновесия. Эти координаты имеют то преимущество, что если в качестве секущей [c.214]

Напомним, что в проблеме обобщенного равновесия множители А определены с точностью до целых кратных 2тг / /г (т.е. в данном случае до целых, кратных / ). Так как мы имеем теперь только два множителя А, —А, и так как А тоже будет множителем, то А должно [c.398]

Допустим, что консервативная механическая система, состоящая из п материальных точек и имеющая одну степень свободы, находится в некотором положении в устойчивом равновесии. Исследуем, какое движение будет совершать эта система, если ее вывести из равновесия малым возмущением. Условимся опять определять положение системы обобщенной координатой q, выбранной так, что при равновесии равновесие устойчиво, а возмущения малы, то координата q и обобщенная скорость q будут во все время движения тоже оставаться величинами малыми. Для составления дифференциального уравнения движения системы воспользуемся уравнением Лагранжа, которое, если выразить обобщенную силу Q через потенциальную энергию системы,П [(см. 143, формулы (115)], примет вид [c.389]

Теорема Н. Г. Четаева. Если в изолированном положении равновесия потенциальная энергия, предполагаемая аналитической функцией обобщенных координат, не имеет минимума, то равновесие неустойчиво. [c.311]

Положение системы материальных точек, определяемое в некоторой системе отсчета обобщенными координатами = (/= = 1, п), называется положением равновесия для наблюдателя, связанного с этой системой отсчета, если система материальных точек, будучи приведена в это положение с нулевыми скоростями q / = 0 (/=1, )> остается в нем сколь угодно долго. [c.209]

Подобным же образом в общем случае консервативной системы с п степенями свободы, когда потенциальная энергия является функцией от п обобщенных координат Qi,, q,i, положениям равновесия соответствуют точки координатного пространства, в которых достигаются стационарные значения функции V (q). [c.212]

Пусть q"j (/ = 1,. .., л) — исследуемое положение равновесия. Переместим начало координат в точку qj, т. е. будем считать, что <7/ = О (/=1,. .., п) и что — отклонения обобщенных координат от их равновесных значений. Тогда в 2п-мерном фазовом пространстве <7, q положению равновесия тоже соответствует начало координат, так как при равновесии все q равны нулю. [c.212]

Принцип ВОЗМОЖНЫХ перемещений в обобщенных координатах формулируется так для равновесия системы материальных точек, подчиненной идеальным и стационарным связям, необходимо и достаточно, чтобы сумма работ обобщенных сил на соответствующих обобщенных возможных перемещениях системы равнялась нулю [c.456]

Итак, в случае равновесия системы материальных точек все обобщенные силы равны нулю. [c.456]

Задача 1315 (рис. 714). Жесткая Т-образная невесомая конструкция может без трения вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси О в вертикальной плоскости. В точках А и В конструкции закреплены точечные массы М и т соответственно. Третья точечная масса D величиной т может колебаться при помощи пружины жесткостью с по перекладине АС около точки С, причем СА = АВ = АО = /. Приняв за обобщенные координаты угловую координату ф поворота кон- Рис. 714 струкции и относительную координату S точки D относительно точки С, составить уравнения малых колебаний системы около положения равновесия и найти собственные частоты. [c.471]

Однородный стержень ОАВ, изогнутый под прямым углом, шарнирно закреплен в точке О и находится в вертикальной плоскости. Найти значение обобщенной координаты ф стержня в положении его устойчивого равновесия, если ОА=АВ. [c.162]

Следовательно, необходимым и достаточным условием существования положения равновесия голономной стационарной системы, подчиненной идеальным связям, яв- ляется равенство нулю скоростей всех точек системы и равенство нулю всех обобщенных сил. [c.36]

Обобщенная проблема Пфаффа. При таких обстоятельствах естественно ожидать, что пфаффовы уравнения, содержащие время i с точкой обобщенного равновесия в начале координат, допускают формальное приведение к гамильтонову виду. Нетрудно доказать справедливость этого утверждения посредством небольшого изменения предыдущих рассуждений. [c.105]

Для точки обобщенного равновесия, полученной вышеизложенным способом приведения, множители не будут удовлетворять этому условию ввиду того, что такая система всегда будет иметь множитель, равный пулю( ), который будет, разумеется, двойным. В этом легко убедиться из следующего рассуждения. Пфаффова система имеет интеграл Z = onst в первоначальных переменных и, следовательно, интеграл [c.108]

Статика точки. Обобщение на пространство трех измерений известных положений статики для плоскости не представляет затруднений. Равнодействующая любого числа сил, действующих на материальную точку, может быть определена при помощи многоугольника сил. То обстоятельство, что сторрны многоугольника не лежат в одной плоскости, не вносит изменений в доказательство предложения ( Статика", 7). Для существования равновесия необходимо, чтобы многоугольник был замкнутым. [c.36]

Теперь виден порядок применения теоремы Лагранжа —Дирихле- нужно разложить потенциальную энергию в ряд по степеням Яъ . Яз, ограничиваясь членами второго порядка малости, определить обобщенные коэффициенты жесткости с,, и составить определители (20.15). Если все А > О, то положение равновесия устойчиво. [c.459]

Здесь это легко вытекает из следующего рассуждения. В 5 было доказано, что при отсутствии кратных множителей любая задача обобщенного равновесия приводится к такой, для которой уравнения вариации имеют постоянные коэффициенты, посредством линейного преобразования зависимых переменных с коэффициентами, периодически зависящими от с периодом г. При этом преобразовании сохраняется пфаффова форма дифференциальных уравнений согласно 12 главы II. (То обстоятельство, что преобразование содержит Ь, не отражается на этом факте.) Нетрудно также видеть, что сохраняются и множители . Пусть в самом деле преобразование от старых переменных Ж1,. .., х,2т к новым Ж1,. .., Ж2т выражается матричным равенством [c.365]

Полученный результат допускает следующую простую интерпретацию. Если в <снаправлении обобщенной координаты действует обобщенная сила Кг, то условия равновесия будут [c.262]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...