Обобщенно консервативная система

В тех случаях, когда система не консервативна, но имеет место равенство (24) i), формула (25) устанавливает интеграл уравнений движения, подобный интегралу энергии в натуральных консервативных системах. Поэтому при выполнении условия (24) гамильтониан называется обобщенной энергией, а утверждение (25) — обобщенным законом сохранения энергии. Системы, удовлетворяющие условию (24), далее называются обобщенно консервативными системами. [c.265]

Движения в стационарном потенциальном поле (консервативные и обобщенно консервативные системы) [c.325]

Уравнение Гамильтона — Якоби для консервативных и обобщенно консервативных систем. В случае консервативной (обобщенно консервативной) системы в уравнение Гамильтона — Якоби входит функция Н, не зависящая явно от времени. Поэтому уравнение это принимает вид [c.332]

Уравнения (156) представляют собой в неявной форме конечные уравнения движения рассматриваемой консервативной (обобщенно консервативной) системы. Таким образом, зная полный интеграл уравнения (154), можно сразу получить уравнения движения в конечном виде. [c.333]

Обобщенно-консервативные системы. Уравнения Уиттекера. Уравнения Якоби. Принцип наименьшего [c.6]

Из равенства (17) следует, что для обобщенно-консервативной системы и S3 О, т. е. t не входит явно и в функцию Лагранжа L. [c.88]

Для обобщенно-консервативной системы интегралом является функция pi). Если — циклические коорди- [c.97]

ОБОБЩЕННО-КОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ 127 [c.127]

Обобщенно-консервативные системы. [c.127]

Но интегральный инвариант (4) снова имеет вид интеграла Пуанкаре — Картана, если считать, что основными координатами и импульсами являются величины и pj (/ = 2, я), а переменная играет роль переменной времени (вместо функции Н имеем функцию К). Поэтому (см. 18) движение обобщенно-консервативной системы должно удовлетворять следующей гамильтоновой системе дифференциальных уравнений порядка 2я — 2 [c.128]

ОБОБЩЕННО-КОНСЕРВАТИВНЫЙ СИСТЕМЫ [c.131]

МЫ с помощью формул (9) и (21) получим следующие конечные уравнения движения обобщенно-консервативной системы [c.161]

В случае обобщенно-консервативной системы мы заменили уравнение (6) уравнением (20), в котором число независимых переменных на единицу меньше. Аналогичное понижение числа независимых переменных в уравнении в частных производных можно произвести и в том случае, если одна из координат циклическая. [c.161]

Если координаты q y,, q являются циклическими у обобщенно-консервативной системы, то функцию 5 ищут [c.161]

Здесь мы познакомим читателя с методом разделения переменных для нахождения полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби. Этот метод применяется в тех случаях, когда функция Гамильтона Н обобщенно-консервативной системы имеет специальную структуру. [c.162]

Характеристическая функция Гамильтона. Функцию У, входящую в правую часть равенства (14), называют характеристической функцией Гамильтона. Она удовлетворяет уравнению (13) и была введена в п. 177 как не зависящая от времени часть производящей функции 5, задающей свободное каноническое преобразование, приводящее функцию Гамильтона f( i,..., pi,..., рп) консервативной или обобщенно консервативной системы к функции % = 0. [c.361]

К сожалению, не существует простого критерия, позволяющего в общем случае по структуре функции Гамильтона судить о возможности разделения переменных в уравнении (7) Мы укажем только два простейших случая разделения переменных для консервативной или обобщенно консервативной системы. [c.363]

Для приближенного исследования движения при малых, но отличных от нуля значениях е в механике разработан специальный аппарат теории возмущений, основанный на применении канонических преобразований. Для простоты ограничимся здесь случаем консервативной или обобщенно консервативной системы с одной степенью свободы (п = 1) Функция Гамильтона (17) имеет вид [c.392]

Принцип Мопертюи-Лагранжа. При заданной константе энергии h уравнения движения консервативной или обобщенно консервативной системы могут быть записаны в форме уравнений Якоби (см. уравнения (36) п. 152). Эти уравнения имеют форму уравнений Лагранжа второго рода, где в качестве функции Лагранжа L выступает функция Якоби Р, а роль независимой переменной играет обобщенная координата qi. По аналогии с действием S по Гамильтону введем действие по Лагранжу [c.483]

Пример 9.5. Обобщенно консервативная система с одной степенью свободы. [c.414]

Очень важным свойством переменных действия является их адиабатическая инвариантность. Это свойство заключается в том, что переменные действия сохраняют постоянные значения при достаточно медленном изменении параметров системы (изменения параметров за )время, сравнимое с периодами системы 7 г = 2я/(0 , весьма малы). Для доказательства этого утверждения рассмотрим систему, которая в каждый момент времени близка по свойствам к изученной выше обобщенно-консервативной системе с разделяющимися и периодически изменяющимися со временем переменными. Гамильтониан такой системы явно зависит от медленно меняющихся со временем параметров А., т. е. имеет вид [c.443]

Функция ф(д, р, является первым интегралом обобщенно-консервативной системы. Показать, что функции [c.207]

Показать, что в обобщенно-консервативной системе с гамильтонианом Я(q, р) интеграл [c.227]

Теорема 20.3. Функция Гамильтона Н(д,р) обобщенно-консервативной системы является первым интегралом соответствующей гамильтоновой системы (19.12) [c.83]

Обобщенно-консервативные системы так же, как в случае циклической координаты, допускают понижение порядка уравнений Гамильтона (19.12) на две единицы. [c.84]

Для обобщенно-консервативной системы уравнение (24.19) принимает в исходных переменных вид [c.126]

Рассмотрим решение некоторых простых задач методом Гамильтона — Якоби. Ограничимся обобщенно-консервативными системами-системами, функция Гамильтона которых не зависит явно от времени и, следовательно, уравнения движения допускают обобщенный интеграл энергии. [c.330]

Будем рассматривать обобщенно-консервативные системы, т. е. такие системы, у которых функция Гамильтона не зависит явно от времени и, следовательно, существует обобщенный (или обычный) интеграл энергии ). Кроме того, предположим, что существует хотя бы одна система обобщенных координат, при которой переменные в уравнении Гамильтона — Якоби разделяются. Относительно движения самой системы материальных точек и тел предположим, что оно условно-периодическое. Это означает, что при финитном изменении координат каждая пара канонически сопряженных переменных 9 -, изменяется периодически с одним и тем же периодом, следовательно, траектория изображающей точки в каждой плоскости ( 1, р1) будет замкнутой кривой. И если [c.348]

Пусть системе сообщили соответствующие начальные обобщенные координаты и скоросги и она движется. При движении консервативной системы, удовлетворяющей связям, указанным в условии теоремы, справедлив закон сохранения механической энергии [c.424]

Решение. Примем за обобщенную координату системы вертикальное отклонение г груза от положения покоя (рис. 272, б). Рассматриваемая система находится под действием консервативных сил — сил тяжести и силы упругости. Воспользуемся уравнением Лагранжа в виде (126.1) [c.353]

За обобщенную координату системы примем координату груза у. На груз действуют консервативные силы — сила тяжести G и реакция упругой балки Р. Циклическую частоту колебаний груза, лежащего на упругой балке, определим по уравнению Лагранжа (123.1) [c.355]

Подобным же образом в общем случае консервативной системы с п степенями свободы, когда потенциальная энергия является функцией от п обобщенных координат Qi,, q,i, положениям равновесия соответствуют точки координатного пространства, в которых достигаются стационарные значения функции V (q). [c.212]

В случае консервативной системы с одной степенью свободы, возмущаемой гармонической обобщенной силой, уравнение движения имеет ВИД [c.249]

В частном случае обобщенно консервативной системы гамильтониан Н является интегралом уравнений движения поэтому если некоторая функция f(q, р, 4 —интеграл уравнений движения, то ее первая, вторая и т. д. частные производные по времени также являются интегралами этих уравнений. Действительно, для таких систем в силу теоремы Якоби — Пуассона (/, Я) = = onst и из условия (30) следует, что [c.269]

Таким образом, из теоремы Нётер следует, что при движении обобщенно консервативной системы ее обобщенная энергия Н не меняется. При движении же консервативной системы /У = 7 + I/ и не меняется ее полная механическая энергия. [c.290]

Во всех предыдущих параграфах данной главы мы рассматривали движение системы в потенциальном поле, но не требовали, чтобы поле это было стационарным. Именно поэтому мы предполагали, что лагранжиан, гамильтониан и иные функции, встречавшиеся нам по ходу изложения, могут зависеть явно от времени. В этом смысле изложенный выше материал охватывал движения в нестационарных потенциальных полях и, в частности, движение в потенциальном поле системы, имеющей механические реономпые связи. Для случая, когда система натуральна, связи склерономны и поле стационарно, т. е. когда потенциальная функция не зависит явно от времени, выше было установлено лишь то, что гамильтониан совпадает с полной энергией системы. Отправляясь от этого факта, мы ввели понятие обобщенно консервативной системы как такой гамильтоновой системы, в которой гамильтониан не зависит явно от времени, а сам гамиль- [c.325]

Вариационный принцип Мопертюи — Лагранжа. Рассмотрим теперь координатное пространство q и будем считать, что ось в этом пространстве играет такую же роль, какую в общем случае в расширенном координатном пространстве играла ось времени. В этом пространстве выберем дне точки и проведем между ними прямой путь, соответствующий уравнениям Якоби для рассматриваемой консервативной (обобщенно консервативной) системы. На этом пути /y = /i = onst. Проведем между этнми же точками однопараметрический пучок окольных путей, расположенных в изоэнергетическом подпространстве , т. е. таких, что вдоль них тоже Я = Л. В качестве функционала на этом пучке возьмем интеграл [c.330]

Уравнение (154) и является уравнением Гамильтона — Якоби для консервативных (Я = —энергия системы) или обобщенно консервативных (Я — обобщенная энергия) систем. Таким образом, чтобы составить уравнение Гамильтона — Якоби для консервативной (обобщенно консервативной) системы, нужно просто записать закон сохранения энергии (обобщенной энергии) и в выражении энергии заменить все импульсы часинлми производными искомой функции V по соответствующим координатам. [c.333]

К. Якоби и содержатся в его классических Лекциях по динамике>, изданных в 1886 г. (русский перевод ГОНТИ, 1936). В с у чае ненатуральной обобщенно-консервативной системы фунь щая в уравнения Якоби, определяется формулой (9). [c.130]

Теорема 20.5. Интегрирование системы (19.12) порядка 2п, соответствующей обобщенно-консервативной системе, сводится к ип-тегрировапию гамильтоновой системы порядка 2п-2. [c.84]

Равновесие консервативной системы неустойчиво, если потеп1щальпая энергия системы в положении равновесия не имеет минимума и отсутствие минимума определяется слагаемыми второго порядка малости в разложении потенциальной энергии в ряд по степеням обобщенных координат. [c.425]

Равновесие консервативной системы неустойчиво, если гют енциальная энергия системы в положении равновесия имеет максимум и наличие максимума определяется членами наименьшего порядка малости в разложении потенциальной энергии в ряд по сгепеням обобщенных координат. [c.425]

Р е ш е и и е. Воспользуемся уравнегшем Лагранжа II рода для консервативной системы. Приняв за обобщенную координату системы вертикальное отклонение у груза 1 от положения покоя, соответствующего статической деформации пружины, имеем [c.313]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...