Обобщенные функции и их свойства

Обобщенные функции и их свойства [c.10]

Л. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА [c.5]

При решении задачи статики многослойных панелей общего вида методом конечных элементов (МКЭ) на основе вариационных формулировок смешанного типа (4.41), (4.42) требования к выбору функций формы остаются такими же, как и в методе перемещений. В качестве функций формы конечного элемента наиболее часто используются алгебраические полиномы, порядок которых должен обеспечивать требуемую гладкость функций и их производных. В МКЭ важным требованием к функциям формы является требование воспроизводить в элементе однородное напряженно-деформированное состояние и, в частности, описывать смещение элемента как жесткого целого. Наиболее распространенный способ удовлетворения указанным требованиям состоит в повышении порядка аппроксимирующих полиномов. При этом используются полиномы более высокого порядка, чем это требуется, исходя из структуры вариационных уравнений, что приводит к увеличению обобщенных степеней свободы конечного элемента. Применение смешанных вариационных формулировок позволяет с помощью независимой аппроксимации деформаций и перемещений улучшить свойства конечных элементов. [c.190]

Для получения уравнений Лагранжа надо выразить кинетическую энергию Т системы через обобщенные координаты и скорости, найти обобщенные силы и произвести указанные в (11) дифференцирования функции Т qj t) по обобщенным координатам, обобщенным скоростям и времени. Заметим, что форма уравнений Лагранжа не зависит от выбора обобщенных координат i, 25 5 Qn- При другом их выборе изменились бы только функции Т и Q, а сама форма уравнений (11) осталась бы той же. В связи с этим говорят, что уравнения Лагранжа второго рода обладают свойством ковариантности. [c.270]

Рассмотрим вначале понятие сопряженного пространства, на основе, которого дальше определяются обобщенные функции. Предположим, что на некотором линейном нормированном пространстве Н определено множество всех линейных функционалов, значения которых принадлежат некоторому числовому пространству Е. В этом множестве функционалов можно ввести алгебраические операции сложения функционалов и умножения их на число, благодаря чему оно приобретает все свойства линейного банахова пространства. Такое множество обозначается Я+ и называется пространством, сопряженным с Н. Пространства Н, совпадающие со своими Я+, называются самосопряженными. Таковыми являются, например, пространства [c.219]

Под суммарными функциональными свойствами ПИНС (как и любого нефтепродукта) понимается обобщенная функция полезности данного продукта, т. е. совокупность всех его свойств, описываемая с необходимой и достаточной полнотой и достоверностью, обеспечивающая особенности применения этого продукта и гарантийные сроки защиты им металлоизделий. Для описания и оценки свойств ПИНС, с целью возможного использования методов математического моделирования и планирования эксперимента, а также для оптимизации составов, свойств, технологии производства и применения их вводятся понятия об идеальных и реальных ПИНС — эталонах сравнения — и систе- [c.19]

Принимаем, что существует прямая пропорциональная зависимость между суммарными. функциональными свойствами ПИНС как их обобщенной функцией полезности k и гарантийными сроками защиты ими металлоизделий в различных условиях (Г) СФС= -Г, где — коэффициент пропорциональности. [c.24]

Фактически теоретическая модель представляет собой совокупность знаний и представлений по химическому, физическому, физико-химическому и электрохимическому механизмам действия пине во всех возможных случаях их применения, т. е. является теоретической базой для описания суммарных и дифференциальных свойств продуктов, фундаментом их обобщенной функции полезности. Теоретическая модель — основное звено системы моделирования и оптимизации, так как согласно теории подобия рассмотрение конкретного продукта заменяется рассмотрением теоретической модели, и от правильности построения этой модели зависит работоспособность всей системы. [c.41]

Таким образом, метод поиска оптимального состава в каждом конкретном случае будет зависеть от конкретных задач, стоящих перед экспериментатором, от количества априорной информации и результатов предварительных, испытаний, даже от времени и количества имеющегося сырья. От последних двух условий может зависеть план эксперимента (полный факторный эксперимент или его дробная реплика). Но всегда при разработке оптимальных составов пине используют методы, их показатели и требования на показатели качества, обобщенные в систему моделирования и оптимизации функциональных свойств. При этом может быть применена оценка обобщенной функции полезности по частным функциям полезности, по частным функциям, выраженным в условных единицах (баллах) в соответствии с указанной выще системой оптимизации. [c.126]

Функции/и Ф (всего лишь две) идентифицируют реологические свойства структурной модели. После их определения по данным, полученным из опытов над образцами конкретного материала, модель подготовлена для применения к расчету процессов деформирования при любых программах нагружения (пока ограниченных условием пропорционального изменения напряжений дальнейшее обобщение рассматривается ниже). Те же две функции используются в принципе подобия и в уравнениях для расчета предельного состояния при циклической ползучести. [c.180]

Одним из эффективных методов составления исходных дифференциальных уравнений и решения соответствующих краевых задач теплопроводности и термоупругости для кусочно-однородных тел (многослойных, армированных, со сквозными и с несквозными включениями) в случае выполнения на поверхностях сопряжения их однородных элементов условий идеального термомеханического контакта, для многоступенчатых тонкостенных элементов, локально нагреваемых путем конвективного теплообмена тел, тел е зависящими от температуры свойствами, с непрерывной неоднородностью является метод [52], основанный на применении обобщенных функций [7, 18,22, 50,87] и позволяющий получать единые решения для всей области их определения. В этих случаях физико-механические характеристики и их комбинации кусочно-однородных тел, толщина (диаметр) многоступенчатых оболочек, пластин, стержней, коэффициент теплоотдачи с поверхности тела могут быть описаны для всего тела (поверхности) как единого целого с помощью единичных, характеристических функций, а физико-механические характеристики тел с непрерывной неоднородностью с зависящими от температуры физико-механическими характеристиками могут быть аппроксимированы с помощью единичных функций. В результате подстановки представленных таким образом характеристик в дифференциальные уравнения второго порядка теплопроводности и термоупругости неоднородных тел, дифференциальные уравнения оболочек, пластин, стержней переменной толщины (диаметра), дифференциальные уравнения теплопроводности или условие теплообмена третьего рода с переменными коэффициентами теплоотдачи приходим к дифференциальным уравнениям или граничным условиям, содержащим коэффициентами ступенчатые функции, дельта-функцию Дирака и ее производную [52]. При получении дифференциальных ура,внений термоупругости для тел одномерной кусочно-однородной структуры наряду с вышеописанным методом эффективным является метод [67, 128], основанный на постановке обобщенной задачи сопряжения для соответствующих дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Здесь за исход- [c.7]

Первый, кто дал теоретическое объяснение закону Савара, был Коши. В Ме-муаре, представленном Академии наук в 1879 г., он показал, что этот закон следует из линейности уравнений движения. Он рассмотрел общие уравнения движения упругого тела для малых отклонений частиц, не предполагая, что упругие свойства в различных направлениях одинаковы. Эти уравнения служат для определения перемещений ( , ц, ) частицы в функции времени t и координат (х, у, z) частицы в ее невозмущенном положении, и их можно разбить иа два класса. Одни прилагаются ко всем внутренним точкам упругого тела, другие — к точкам его поверхности. Эти уравнения можно найти в любом курсе по упругости, Непосредственной проверкой можно убедиться, что эти уравнения сохраняются при замене переменных 5, т). i, х, у, г, t на k i, kr, kt,, kx, ky, kz, kt, где k — произвольная постоянная, если только силы изменяются в отношении k 1. Следовательно, если силы отсутствуют, то для того, чтобы период колебаний и перемещения т , изменились в отношении 1 к, достаточно изменить в этом отношении размеры упругого тела и начальные значения 5, т , Таким образом, мы получили обобщение закона Савара, данное Коши. Если высоту тона звучащего тела, пластины или упругого стержня измерять числом колебаний в единицу времени, то она изменяется обратно пропорционально линейным размерам тела, пластины или стержня в предположении, что все размеры меняются в одном и том же отношении. [c.316]

Известно очень много разных видов, в которых встречаются С -алгебры и их представления как алгебр операторов, действующих в гильбертовом пространстве, и в частности алгебр фон Неймана. Замечательная классификация алгебр фон Неймана, в которой последние подразделяются на непересекающиеся типы, была разработана на раннем этапе развития теории Мюрреем и фон Нейманом [282] для частного случая факторов . Классификация Мюррея и фон Неймана полна в том смысле, что любой фактор с необходимостью приводит лишь к одному типу алгебр. Эта классификация основана на свойствах области значений функции размерности , которая представляет собой обобщение обычного понятия следа в случае операторов проектирования рассматриваемой алгебры фон Неймана ) На основе обобщенного понятия следа, которое мы введем в дальнейшем, была предпринята попытка расширить классификацию факторов до классификации общих алгебр фон Неймана. Типы полученных при этом общих алгебр фон Неймана в случае факторов совпадают с типами Мюррея и фон Неймана. Новые типы алгебр также не пересекаются. Однако в отличие от случая факторов новая классификация не является исчерпывающей, т. е. общая алгебра фон Неймана не обязательно принадлежит одному из типов. Тем не менее такая классификация представляет определенный интерес, поскольку позволяет всегда осуществлять каноническое разложение произволь- [c.165]

Понятие м-симплекса является обобщением понятия треугольника на -мерный случай. Число Я, называется барицентрической координатой точки X относительно вершины а/, очевидно, >ь/г=1, если Хк = йк и Ха = 0, если Xk = a,., ефк именно это свойство барицентрических координат и обусловило их использование в теории и практике аппроксимации функций по кускам. Для дальнейшего понадобится выражение барицентрических координат [c.149]

Предопределенность величины разрядного тока позволяет в приближении, достаточном для практических целей обоснования оптимальных параметров генерирующей аппаратуры, существенно ограничить число решающих факторов в функции Rk (t) и свести их к величине тока и ряду обобщенных параметров, связанных с физикомеханическими свойствами среды, влияющих на динамику расширения канала разряда. [c.54]

В третьей строке табл. 6.4 приведен результат, полученный для руг = 30 МПа. В точке оптимума активны как ограничения устойчивости, так и ограничения прочности. Сравнение проектов 1 и 3 показывает их существенное отличие в значениях структурных параметров при незначительном (- 3%) отличии в значениях /г, т. е. массы оболочек. Этот результат является следствием того, что функция дв х) имеет на О весьма пологий максимум. Расщирение множества 5 эквивалентных оптимальных структур оболочки для проекта 3 по сравнению с проектом 1 (ср. интервалы 0 ]) является следствием смещения под влиянием ограничений на прочность оптимальных значений ОСП в область нулевых значений, т. е. в направлении от границ множества 5 (см. рис. 4.4). Из определения множества 5, однако, с очевидностью следует, что его внутренним точкам по сравнению с граничными точками соответствует большее число эквивалентных по А структур армирования слоистого композита, что и объясняет указанное качественное отличие свойств полученных обобщенных модельных решений. [c.268]

И все же такой подход не может сказать ничего сколько-нибудь определенного об атомных свойствах полупроводников. Однако он учитывает одну важную черту полупроводников, которая остается за пределами досягаемости теории простых металлов. Это подчеркивали также Хейне и Джонс. Учет в матричных элементах членов второго порядка привел бы к вкладу в энергию четвертого порядка. В теории металлов такие члены опускаются, но они, по-видимому, существенны в полупроводниках. Их присутствие не позволяет уже определить характеристическую функцию как функцию, не зависящую от конфигурации ионов, а следовательно, выразить энергию через двухчастичные взаимодействия. Тем не менее вполне возможно, что имеет смысл осуществить такого рода расчет, удерживая в энергии эти члены четвертого порядка. Другие члены четвертого порядка, может быть, можно опустить. Такой анализ еще не был проведен, но он представляется весьма многообещающим, к тому же он является довольно непосредственным обобщением метода псевдопотенциалов для простых металлов на случай валентных кристаллов. Обычно ковалентность связывают как раз с наличием поправок более высокого порядка, которые отсутствуют в теории простых металлов. Таким образом, описанная процедура и означала бы учет в этой теории эффектов ковалентности. [c.501]

Из приведенного рассмотрения основных свойств корреляционных функций нестационарных случайных. цессов видно, что особенности локальных и ji Rhhx корреляционных функций не очень отличаются от соответствующих свойств корреляционных функций для стационарных процессов. Что же касается текущих корреляционных функций и их очевидных обобщений для неоднородных пространственных корреляционных функций, то они существенно отличаются от своих стационарных аналогов. Как замечает Э.И. Цветков [61], отмеченная особенность указывает на то, что текущие (временные и пространственные) вероятностные характеристики являются носителями информации о собственно нестационарных свойствах процесса, в то время как локальные отражают их свойства как процессов неэргодических. [c.28]

Хотя эти функции не обладают многими полезными свойствами аналитических функций и их теория более сложна, однако их использование позволяет дать достаточно полное исследование осесимметричной задачи теории упругости. При этом упругие тела могут быть как односвязными, так и многосвязными, от рассмотрения которых мы были вынуждены отказаться в предыдущих главах. Отметим, что между аналитическими и обобщенными аналитическими функциями существуют связи, которые позволяют распространить методы гл. II и на некоторые неодносвязные тела. [c.234]

Шкала оценки системы моделирования и оптимизации может соответствовать шкале Харрингтона, и тогда балльная оценка ПИНС будет иной. Суммарные функциональные свойства их и обобщенная функция желательности (полезности) должна быть задана в этом случае как среднее геометрическое отдельных и дифференциальных функциональных свойств. Такая обобщенная функция весьма чувствительна для малых значений частных функций и превращается в ноль (запрет к применению), если хотя бы одно из отдельных свойств получает нулевую оценку. [c.37]

Под категорией качество понимается обобщенная функция полезности ПИНС, т. е. их суммарные функциональные свойства (СФС). Эта категория является промежуточной, связыва-ющ,ей производство и применение, и характеризует качество продукта. [c.40]

Предположим, что необходимо разработать рецептуры (состав) и технологию производства ПИНС группы Д-1 с минимальным временем и трудовыми затратами, с ограничениями по сырьевым ресурсам (компонентам) при условии создания продукта высшего качества, т. е. с максимально высокими суммарными функциональными свойствами. Задача сводится к получению необходимой и достаточной информации во-первых, на стадии выбора компонентов, определения их концентрации и Технологии получения продукта для возможности использования математического аппарата, ускоряющего и оптимизирующего такую разработку во-вторых, для оценки обобщенной функции полезности продукта в сравнении с известными эталонами сравнения для выдачи рекомендаций по. применению полученного продукта и прогнозу гарантийных сроков защиты им металлоизделий в различных условиях хранения, транспортирования и эксплуатации. Очевидно, выполнение поставленной задачи необходимо проводить в несколько этапов. Прежде всего на основе анализа априорной и аналоговой информации, с помощью накопленных знаний, опыта и ин-тз иции, с учетом вопросов обеспеченности сырьем, ресурсов, экономических вопросов ориентировочно выбирают основные компоненты ПИНС группы Д-1, [c.45]

Сводные данные по балльной оценке выбранных пленкообразующих ингибированных нефтяных составов, а также данные для продуктов НГ-222А и НГ-222Б представлены в табл. 10. Здесь же представлена доля ПИНС (в %), приближающихся к эталонам сравнения 3i и Эг, а также рассчитанные условные гарантийные сроки защиты металлоизделий данными составами в разных условиях хранения, транспортирования, периодической и постоянной эксплуатации металлоизделий. Балльную оценку пленкообразующих составов и соответствующие гарантийные прогнозные сроки защиты необходимо принимать условно и приблизительно каждая группа ПИНС и каждый продукт имеет свои особенности и области применения. Тем не менее общая балльная оценка, выражающая суммарные функциональные свойства продуктов, их обобщенную функцию полезности, является надежным критерием, характеризующим уровень продукта не только по его защитным свойствам, но и по его универсальности. [c.115]

Уравнение (4.37) позволяет получить смещения и в любой внутренней точке при любой допустимой комбинации tt у . и i на 5 и данном распределении ij , в объеме — это уравнение фактически представляет собой известное тождество Сомильяны для вектора смещений [Ц, 121. Функции Gij и Fij определяются уравнениями (4.7) и (4.10), но их "использование в теореме взаимности приводит к трем довольно тонким изменениям в трактовке смысла (х, ) и (t, /). Тщательное сравнение, скажем, (4.11) и (4.37) показывает, что для (4.37) характерны в обобщенном виде те же свойства, которые обсуждались в связи с (3.29), а именно следующие [c.116]

В дальнейшем ограничимся при решении задач лишь случаем изотропного тела. Этот случай имеет большое практическое значение. Такие материалы, как литое железо и сталь, по их свойствам в пределах упругости можно без значительных погрешностей принимать за изотропные. Зависимость между напряжениями и деформациями в этом слзгчае выражается посредством двух упругих постоянных, и мы ее без затруднения устцровим, если сделаем следующее вполне естественное допущение. Положим, что в случае изотропного материала направления главных напряжений совпадают в каждой точке с направлениями главных деформаций и, следовательно, угол между двумя взаимно перпендикулярными площадками искажается лишь в том случае, если есть соответствующие касательные напряжения. Выделим из тела плоскостями, нормальными к главным напряжениям, бесконечно малый прямоугольный параллелепипед. В силу сделанного допущения углы этого параллелепипеда при деформации не искажаются и полное изменение формы выделенного элемента определяется тремя главными деформациями вхх, вуу и е (координатные оси х,у, г направим параллельно главным напряжениям в рассматриваемой точке). Соответствующие им напряжения будут Хх, У у и Согласно обобщенному закону Гука каждая из составляющих напряжения представляется линейной функцией составляющих деформации. Например, Хх можно представить в таком виде [c.45]

Отмечается, что напряженное состояние основной арки при i G [гд, rJ не зависит от свойств ее материала и полностью определяется геометрическими размерами конструкции, высотой слоя и плотностью материала грунта. Оно возникает как в упругих, так и в вязкоупругих арках и не изменяется при исследовании случая их обобщенного плоского напряженного состояния вместо плоской деформации. В отличие от напряжений, перемещения нерастущей арочной конструкции зависят от упругих и реологических свойств ее материала, а также от типа плоской задачи. И напряжения, и перемещения основной арки непрерывны по пространственным координатам и могут иметь только разрывы первого рода по времени в точках, где функция претерпевает скачки. [c.618]

Наиболее общими характеристиками динамических процессов являются энергетические характеристики. Действительно, любую материальную систему, с позиций классической механики, можно полностью описать положением всех ее точек в пространстве и изменением этого положения во времени. При этом под пространством в общем случае следует понимать так называемое пространство конфигураций системы, обобщенные координаты которой и их первые производные по времени могут быть либо функционально связаны с декартовы- ми координатами, либо полностью от них не зависеть. Располагая некоторыми дополнительными данными о свойствах рассматриваемой системы, можно получить выражения для энергии в виде либо функции Лагранжа, либо функции Гамильтона, Зная эти величины и используя известные в механике вариационные принципы, мы прцдем к так называемым обобщенным уравнениям движения. [c.32]

Несмотря на то, что некоторые ПАВ подобного типа улучшают противоизносные и противозадирные свойства, общее влияние их на коррозионно-механический износ отрицательно. Таким образом, для создания рабоче-консервационных смазочных материалов могут быть использованы только те маслорастворимые ингибиторы коррозии, которые не ухудшают их остальные эксплуатационные свойства. Это одно из основных требований к ингибиторам коррозии для нефтепродуктов. В табл. 25 содержатся обобщенные сведения о влиянии маслорастворимых ПАВ на функциональные свойства смазочных материалов. Эти данные показывают, что ПАВ выполняют, как правило, одну, максимум две функции. Поэтому для успешной борьбы с таким сложным явлением, как коррозионно-ме-ханический износ, приходится использовать сложные композиции (синергетические смеси) присадок различного типа. В качестве маслорастворимых ингибиторов коррозии при этом используют комбинированные присадки типа НГ-108, НГ-107М, НГ-107Т и другие, обеспечивающие высокие противокоррозионные (см. табл. 16), противоокислительные, моющие и противоизносные свойства (см. табл. 24). Только подобные сложные композиции способны уменьшать механическую составляющую общего износа и подавлять химическую и электрохимическую составляющие. [c.124]

Очень плодотворным оказалось обобщение этой техники на кристаллографические группы [И—21, 38, 39, 44, 45, 58, 163, 164]. В приближении сильного кубического ноля (1" оболочка разбивается на две подобо-лочки и е п П2 = п), причем одноэлектронные волновые функции 2 0 6 преобразуются по неприводимым представлениям данной кубической группы Та и Е соответственно. Танабе и Сугано [И] рассчитали матрицы энергий (1"-конфигураций в сильном кубическом поле. Свойства ЗГ- и бГ-символов для кубических групп и их численные значения приведены в ряде работ [И, 20, 21, 39, 44, 45, 163, 164]. бГ-символы [c.51]

Это уравнение имеет форму термодинамического уравнения для обобщенной функции Массьё — Планка. Если флуктуации около значения XJ достаточно малы, то не возникает вопроса об идентификации Х1 н XJ с соответствующими термодинамическими переменными. Это нетрудно показать для систем с большим числом степеней свободы. Таким образом, нам надо показать, что и обладают свойствами соответствующих термодинамических интенсивных параметров. Подробности этого доказательства можно найти в общих курсах статистической механики, поэтому здесь мы их опустим. В результате мы приходим к выводу, что является статистическим аналогом функции Массьё — Планка Ф (Р , Х . Тем же путем мы можем, применяя микроканониче-ский ансамбль, обнаружить соответствие между А1п2 и энтропией, а применяя канонический ансамбль, — соответствие между и свободной энергией Гельмгольца. [c.64]

Принцип минимума возникновения энтропии дает частичный ответ на один из вопросов, поставленных Полем Эренфестом, который обладал большим мастерством в постановке вопросов. В одном из примечаний к его классической статье по статистической механике в Энциклопедии [1], которую он писал вместе со своей женой, ставится вопрос о том, каковы специфические термодинамические и статистические свойства стационарных необратимых процессов, отличающие их от нестационарных процессов. Более конкретно, вопрос заключается в том, можно ли рассматривать функцию распределения, описывающую стационарное состояние необратимого процесса, как в некотором смысле относительно более вероятную , и можно ли характеризовать ее, определяя экстремум некоторой функции, которую можно было бы считать обобщением энтропии. Ответ на эти вопросы дает принцип минимума возникновения энтропии. Этот ответ состоит в следующем стационарное состояние системы, в которой происходит необратимый процесс, характеризуется тем, что скорость возникновения энтропии имеет минимальное значение при данных внешних условиях, препятствующих достижению системой равновесногб состояния. Если таких препятствий нет, то стационарным состоянием является состояние термодинамического равновесия и скорость возникновения энтропии достигает своего абсолютного минимума — -нуля. [c.213]

Для полимер-полимерных гетерогенных композиций следует ожидать, что релаксационные механизмы составляющих их фаз будут иметь различные температурные зависимости. Анализ тем-пературно-временной зависимости вязкоупругих свойств таких композиций, проведен Чёглем с сотр. [38, 39, 51, 52], которые пришли к выводу, что простая суперпозиция непригодна для полимер-полимерных гетерогенных композиций коэффициент сдвига йт является функцией времени и форма обобщенной кривой зависит от выбора температуры приведения, т. е. для гетерогенных композиций, состоящих из компонентов с резко различными Тс, эффективное расстояние между областями переходов па обобщенной кривой зависит от выбора температуры приведения. В работе [39] исследовали температурно-временную суперпозицию для блок-сополимеров, а в [52]—для гетерогенных смесей полимеров. [c.174]

Одним из наиболее ответственных моментов расчета при таком подходе является выбор подходящего критерия прочности, т.е. конкретизация функции /(аьОг, Оз) в соотношениях (4.18), (4.19). Как мы уже знаем, если исследуемое тело есть основания отнести к категории хрупких тел, то нужно использовать первую или вторую теорию прочности или какое-либо из их обобщений ( 15), в то время как третья и четвертая теории прочности и ряд известных их обобщений в действительности являются критериями перехода из упругого в пластическое состояние. При этом, однако, нужно помнить о том, что пластичность и хрупкость суть свойства, сами во многом зависящие от напряженного состояния. Так, при всестороннем равномерном растяжении и достаточно близких к нему напряженных состояниях, как уже упоминалось, даже весьма пластичные по обычным представлениям материалы проявляют хрупкость, в то время как при достаточно значительном всестороннем сжатии даже мрамор способен испытывать большие остаточные деформации без видимых следов разрушения. Можно было бы привести и другие факты, иллюстрирующие зависимость характера разрушения от вида напряженного состояния. Вследствие этой зависимости (и по некоторым другим причинам) выбор определенной теории прочности в ряде случаев представляет собой трудную задачу, правильное решение которой во многом зависит от опыта выбирающего. [c.146]

Вернемся теперь к отмеченному выше свойству преобразования, осуществляемого регулярной функцией = /(2). Окрестность каждой точки, находящейся внутри области, в которой задана /(г), претерпевает при переходе на плоскость п) всестороннее растяжение или сжатие, величина которого определяется модулем /Ч ), и поворот на угол, равный аргументу / (г). Отсюда следует, что если провести на плоскости 2 через какую-либо точку, в которой / (2) ф О, две кривых, то угол между касательными к этим кривым в точке их пересечения сохранится при переходе на плоскость го, так как каждая касательная при этом повернется на один и тот же угол в одном и том же направлении. Направление отсчета углов при этом также сохранится. Преобразование, сохраняющее углы по величине и направлению отсчета, называется конформным преоб азованием. Итак, можно сказать, что всякая регулярная функция комплекв-ного переменного осуществляет во всех точках, где / (г) 0, конформное преобразование плоскости 2 на плоскость и>. Разумеется, коэффициент линейного растяжения или сжатия и угол поворота, вообще говоря, различны для разных точек плоскости 2. Поэтому конформное преобразование можно охарактеризовать как обобщенное преобразование подобия (иными словами, как преобразование, сохраняющее подобие бесконечно малых элементов). [c.215]

В приведённую выше схему (в несколько более сложном варианте для физико-математических моделей, когда речь идёт как о физических свойствах, так и об их математическом описании) укладывается и развитие отдельных понятий. Уточнение смысла основных применяемых понятий дано в заметках первой главы работы. Дано обобщение понятия материальной точки (заметка 1), рассмотрены понятия скорости и ускорения (заметка 2), обсуждается соотношение виртуальных перемещений и вариаций, используемых в дифференциальных и интегральных принципах (заметка 3). Закон Ньютона о действии и противодействии получен как следствие принципа равновесия Даламбера и второго закона Ньютона. Прослеживается логическая цепь, соединяющая принцип равновесия Даламбера с уравнениями даламберова равновесия , использующими понятие о силе инерции. Предложено описание взаимодействия в форме интегрального равенства (заметка 4). Обсуждаются аналоги теоремы об изменении кинетической энергии для реономных систем и место функции Гамильтона в уравнении энергии [c.12]

В качестве простейшего примера неоднородной среды рассмотрим многослойную область (мультислой) с кусочно-постоянным (ступенчатым) законом изменения показателя преломления. В разд. 3.2 мы уже обсуждали обобщение метода геометрической оптики на неоднородный диэлектрик с непрерывным профилем показателя преломления сущностью этого анализа была основанная на свойствах функщ1й Эйри возможность сшивки асимптотических решений. При наличии у показателя преломления разрывов непрерывности можно также применить этот метод, учитывая, однако, некоторые небольшие изменения в выражениях для коэффициентов отражения и пропускания. Если же в задаче возникает большое число разрывов функции л (г), то описание многократного отражения проходящей через среду волны становится очень сложным. Для этого требуется систематическое изучение зависимости коэффициентов отражения и пропускания от числа разрывов, их характера и относительных положений разрывов непрерывности л (г). [c.170]

В работе Хантера [71] решена двумерная задача о качении жесткого цилиндра с постоянной скоростью по вязкоупругому полупространству, причем рассмотрен случай, когда можно пренебречь инерционными силами. Исследование выполнено в рамках линейной теории, деформации считаются малыми, и граничные условия на поверхности относятся к недеформированному состоянию среды. Подход, примененный в работе, заключался в представлений нормальной составляющей поверхностного смещения в виде интеграла от существующего решения задачи о движении распределенной линейной нагрузки, что привело к сингулярному интегральному уравнению отцосительно искомой функции поверхностного давления (вязкоупругий аналог формулы Буссинеска). Решение задачи осуществлялось путем эквивалентного преобразования интегрального уравнения в уравнение с обычным логарифмическим ядром относительно дифференциального оператора давления. Замкнутый вид решения был получен для материала, физические свойства которого описываются одной функцией ползучести и одним временем ретордации. Однако при обобщении результатов этого исследования и распространении их на более общий случай вязкоупругого тела, у которого ползучесть характеризуется конечным числом времен релаксации, метод при- [c.401]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...