ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Обобщенные функции и их свойства из "Численные методы в механике " При описании непрерывно распределенных величин в виде нагрузки, массы, жесткости, механического импульса и т.п., действующих на стержень, используются обычные функции. При этом под обычной непрерывной функцией понимается такое соответствие Д ), которое каждому элементу х из множества Е относит некоторый элемент у из множества F. Это записывается в вщ у= f(x). Множество Е называется исходным множеством, а множество F - конечным множеством отображения. Элемент х здесь является независимой величиной (аргументом), а элемент у= f(x) - зависимой величиной (функцией). [c.10] В ряде случаев вместо функции пользуются понятием оператора -отображение множества в себя. Обычные функции можно складывать и умножать на вещественные числа, так что они образуют линейные вещественные пространства (линейные отображения). [c.10] В связи с трудностями решения задач, содержащих сосредоточенные включения (сосредоточенные нагрузки, распределенные нагрузки с разрывами 1-го рода, точечная масса, сосредоточенный импульс и др.), можно расширить класс обычных функций на основе использования разрывных функций. [c.10] Из разрывных функций в механике распространение получили единичная функция Хевисайда Н х-х и дельта-функция Дирака ( х-хо). Определение дельта-функции Дирака следует из свойств импульсных функций, под которыми понимают непрерывные или кусочно-непрерывные функции 5(х,Л) аргумента х, зависящие от параметра Я, если они удовлетворяют условиям [ПО]. [c.10] Однако, если к символам S (х), S(x - Хо) и их производным применять операции интегрирования, то могут наступать моменты, когда нуль исчезает . Тогда может быть использовано понятие сплайн-функции. Так называются обычно кусочно полиномиальные функции, обладающие определенной гладкостью. [c.15] Сплайны, единичная функция Хевисайда и дельта-функция Дирака образуют логически завершенную цепочку взаимной связи. [c.15] Благодаря указанным свойствам обобщенные функции Н(х-а) и Дх-а) оказались очень удобными для описания сосредоточенных и распределенных нагрузок, действующих на стержень. При этом интенсивность нагрузки может быть представлена аналитическим выражением на всем интервале, занимаемом стержнем. [c.15] Здесь использовано фильтрующее свойство дельта-функции (1.5). Знак сплайна + необходим, так как при х а интеграл равен нулю по свойству (1.5). [c.16] Интегрирование выполнено по выражению (1.14). При х а интеграл равен нулю, поэтому необходим символ сплайна + . [c.16] Отметим, что операция дифференццрования снижает размерность линейных сплайнов и обобщенных функций, т.е. единичная функция Хевисайда является безразмерной функцией, дельта-функция Дирака имеет отрицательную размерность по отношению к размерности аргумента. [c.16] Более полно о свойствах и применении обобщенных функций и сплайнов можно узнать в работах [3, 12, 62, 110, 164]. [c.16] Вернуться к основной статье