Уравнения для в форме Лагранжа

Это — уравнения Лагранжа. Уравнения движения в форме Лагранжа имеют место для определяющих координат qa. Для их [c.125]

Для вывода вариационного принципа Кастильяно, рассмотрим воображаемое напряженное состояние бац такое, что j = О, = О, xi е 5т. Значения, которые принимают величины 8ац на части поверхности 5ц, могут быть произвольны. Поскольку состояние 5ац удовлетворяет условиям равновесия, составим уравнения равновесия в форме Лагранжа, приняв за виртуальные перемещения истинные перемещения щ ж соответствующие [c.259]

Теорема о нижней оценке несущей способности. Пусть а , Vi — неизвестное нам истинное решение задачи о предельном состоянии тела, подверженного действию системы поверхностных сил Г(, jj —некоторое допустимое напряженное состояние, соответствующее поверхностным силам Т . Напомним, что для допустимого напряженного состояния выполняются уравнения равновесия и условие F a j) 0. Составим уравнения равновесия в форме Лагранжа как для истинного, так и для допустимого состояния, принимая за поле виртуальных скоростей истинное поле скоростей (заранее неизвестное), [c.491]

Для решения поставленной задачи рассмотрим абсолютное движение жидкости. Удобней всего воспользоваться уравнением движения в форме Лагранжа в любых криволинейных координатах [c.33]

Но мы могли потребовать большего. Мы можем стремиться не только к пониманию математической структуры некоторой отдельной динамической проблемы, но к пониманию математической структуры класса проблем столь широкого, что в конце концов мы можем считать всю динамику находящейся в поле нашего зрения. Мы будем рассматривать те системы, для которых имеют место уравнения движения в форме Лагранжа или в форме Гамильтона этот класс и в самом деле включает очень широкий круг проблем. [c.197]

Г. Для инерционного элемента прибора ИД, направленного для измерения линейного компонента вибрации вдоль оеи Y (фиг. 2), уравнение движения в форме Лагранжа будет [c.154]

Исходя из своего общего уравнения динамики, Лагранж вывел дифференциальные уравнения движения в двух видах, соответствующих двум видам уравнений статики. Это знаменитые уравнения движения Лагранжа первого и второго рода. Уравнения движения второго рода замечательны тем, что для систем, при движении которых не изменяется их полная механическая энергия (консервативные системы), эти уравнения можно составить, зная общее выражение только двух величин кинетической энергии системы и ее потенциальной энергии. Число этих уравнений минимально, оно равно числу степеней свободы системы. Вместе с тем уравнения Лагранжа весьма общи их можно использовать для разных физических систем, если состояние таких систем характеризуется значениями их кинетической и потенциальной энергии. Кроме того, уравнения движения в форме Лагранжа второго рода имеют определенную структуру с математической точки зрения. Поэтому задача их решения (интегрирования) в общем виде является достаточно определенной, чтобы исследовать ее чисто математически. Знаменитый физик Максвелл имел все основания писать в своем Трактате об электричестве и магнетизме , касаясь значения Аналитической механики Лагранжа [c.204]

В настоящей работе представлено основанное на численном методе исследование распространения плоских продольных волн в одном классе нелинейных вязкоупругих материалов. Определяющие уравнения и уравнения сохранения в форме Лагранжа аппроксимируются системой уравнений в конечных разностях при помощи явной схемы первого порядка. В разд. 2 обсуждаются определяющие уравнения, используемые в данной работе. Поведение материала описывается при помощи переменных состояния и ориентации и соответствующих дифференциальных уравнений [4, 5]. Такой способ описания весьма удобен для применения численных методов, поскольку легко допускает переход к конечным разностям. [c.150]

Уравнения движения в форме Лагранжа. Обозначим через а, Ь и с компоненты вектора Го = г( о) (или их однозначные функции) я перейдем в уравнении (2) п. 3.43 к лагранжевым координатам. Для этого заменим в уравнении (2) п. 3.43 ускорение dq/dt его лагранжевым выражением [c.618]

Полученная система трех уравнений и будет основной системой уравнений движения в форме Лагранж для данного случая. [c.54]

Уравнения движения оболочки в переменном электрическом поле. Для вывода уравнений движения в форме Лагранжа вычислим работу пондеромоторных сил на перемещении ап) элементов оболочки в рассматриваемом приближении по п). [c.58]

Уравнения гидродинамики в форме Лагранжа отличаются от уравнений в форме Эйлера. Для того чтобы проиллюстрировать технику перехода от одних координат к другим, рассмотрим вывод уравнений неразрывности и движения. [c.128]

Обращаясь к уравнениям (45), мы устанавливаем также, что каждое из этих уравнений является уравнением второго порядка, число же их равно п. Следовательно, общий порядок системы уравнений Лагранжа (22) (легко видеть, что все это верно и для уравнений, представленных в форме (29)) равен 2п. Поэтому для того, чтобы определить движение, нужно задать 2п начальных данных. Этими начальными данными являются значения п координат qi, q и п скоростей (ji,. .., q в начальный момент t = t . [c.141]

Имея выражения (5) и (6) для потенциальной и кинетической энергий, составим уравнения движения системы в форме Лагранжа [c.481]

Для составления дифференциальных уравнений движения системы в форме Лагранжа выбираем координату ф и соответствующий этой координате момент М , действующий вокруг оси Z ротора гироскопа. [c.124]

Подставляя 8лг, 6 у, 82 в равенство (2) и приравнивая результат нулю при произвольных 8 3, 8<72, 8<7д, получим уравнения движения в (форме, указанной в п. 282, из которых мы вывели уравнения Лагранжа для свободной точки. [c.459]

Таким образом, показано, что и при существовании связей (голономных) уравнения движения можно записать в форме Лагранжа. Дальнейшее обобщение возможно только применительно к таким неголономным системам, для которых связи выражаются как неинтегрируемые дифференциальные соотношения. Рассмотрение этого случая мы отложим до изучения вариационных принципов в гл. VI. Тогда можно будет изложить и способ (метод неопределенных множителей) для определения величин реакций связей. [c.34]

Общее положение в теории поля несколько отличается от того, какое имеет место в теории непрерывных материальных сред. Обычно поведение систем последнего типа достаточно хорошо понятно в своих основных чертах, и аналитический метод применяется для упрощения способа записи уравнений движения в форме, удобной для решения конкретных задач. В теории поля предварительные сведения об основных свойствах процесса обычно отсутствуют, и аналитический метод применяется как исходный пункт теоретического описания. Рассмотрение различных простейших видов плотности функции Лагранжа позволяет надеяться на успешное объяснение некоторых наблюдаемых явлений. Аналитический метод является эмпирическим в той же степени, что и метод, при котором делаются непосредственные предположения относительно формы уравнений поля, но при его использовании область возможностей значительно сужена. [c.153]

Это — уравнения движения в форме Гамильтона их называют также каноническими уравнениями. Переход от лагранжевых уравнений к уравнениям Гамильтона — чисто математический процесс, не имеющий никакого отношения к исходной динамической системе. Для любой системы, описываемой уравнениями Лагранжа в форме (46.18), будут иметь место уравнения Гамильтона в [c.129]

После этих предварительных замечаний мы можем использовать уравнение (50.1а) для того, чтобы получить уравнения в форме Лагранжа для движения системы относительно тела S в виде [c.141]

Составляя уравнения равновесия рассматриваемого редуктора в форме Лагранжа с неопределенными множителями и используя при этом уравнения связей в виде (2.57), получим выражения для [c.83]

Эти уравнения вместе с присоединенными к ним условием неизменяемости массы частицы жидкости и граничными условиями служат для решения вопросов о движении жидко-( ти. Их можно представить в форме Эйлера или в форме Лагранжа ). В первом случае за неизвестные задачи принимаются компоненты скорости и, г, ю и давление рассматриваемые как функции координат данной точки пространства и времени (. Полное изменение скорости, отнесенной к данной точке жидкости, будет при этом происходить и от того, что I изменяется, и от того, что место точки изменяется, вследствие чего [c.390]

По своему смыслу dw — бесконечно малый неопределённый множитель Лагранжа. Физический смысл независимого параметра w может быть различен и определяется функцией Q. При этом произведение Qw имеет размерность действия. Сильные и слабые стороны представления уравнения энергии в формах (27) или (28) объясняются аналогией с сильными и слабыми сторонами представления поверхности в трёхмерном пространстве с помощью уравнения z — f x, у) или уравнения F x, y,z) =0 соответственно. Для энергии в форме (27) из (32) сразу следует, что число независимых уравнений — 2п (уменьшить число уравнений до 2п можно и при использовании энергии в форме (28)). При этом [c.54]

Чтобы иметь достаточное число уравнений для отыскания четырех неизвестных функций, нужно прибавить к этим уравнениям еще условие неизменяемости массы, которое в форме Лагранжа представляется иначе, чем в форме Эйлера. Выведем это условие. [c.696]

Лагранжевы методы. В форме Лагранжа независимые пространственные переменные относятся к системе координат, связанной с движущейся средой. Лагранжева формулировка уравнений гидродинамики привлекательна для численных расчетов. Здесь отсутствует нефизическая численная диффузия, возникающая при протекании жидкости через границы расчетных ячеек. Кроме того, траектории элементов жидкости сами по себе создают визуализацию течения. Лагранжевы методы естественно использовать при рассмотрении задач гидродинамики со свободными поверхностями, поверхностями раздела сред и другими четкими границами. [c.39]

Уравнение неразрывности в форме (53) содержит только одну неизвестную функцию ф (х, у, 2, ), и в этом случае задача гидродинамики значительно упрощается. Зная ф, мы можем определить поле скоростей. Интеграл Лагранжа при известной функции ф служит для определения гидродинамического давления р. Уравнение (53) в задачах математики и математической физики называется уравнением Лапласа. Это уравнение линейно относительно искомой функции ф. [c.281]

Уравнения движения. Уравнения движения механических систем, в том числе и рассматриваемых здесь, могут быть записаны в различных формах, удобных для того или иного конкретного исследования. Для некоторых задач удобны уравнения движения в форме уравнений Лагранжа. Для позиционных координат [c.330]

Приведем здесь уравнения для оскулирующих элементов эллиптической орбиты в форме Лагранжа [3], где в качестве независимой переменной выбрана истинная аномалия [c.364]

Исторический комментарий. Для уравнений динамики в форме (2.10), (2.11) Н. Г. Четаев [181] также развивал теорию интегрирования, аналогичную методу Гамильтона-Якоби. Однако, если в каноническом случае успех в разделении переменных связан с особо замечательными системами координат на конфигурационном пространстве (типа эллиптических или сфероконических), то для алгебраической формы записи (2.10), (2.11) таким путем удается исследовать только тривиальные симметрии (имеющиеся, например, в случае Лагранжа (см. гл. 2)). [c.36]

В связи со сказанным становится ясным, почему параллельно с развитием теории программного управления с самого начала построения теории оптимальных процессов ставилась задача о нахождении управляющих сил и сразу в виде функции от текущих координат хг (1) управляемого объекта. При этом получил наибольшее распространение тот подход к рассматриваемым задачам о синтезе, который развивад-ся по пути методов динамического программирования. Этот метод соответствует известным в вариационном исчислении рассуждениям о распространении возбуждений. С точки зрения вариационных принципов механики метод динамического программирования аналогичен введению функции действия и приводит соответственно к уравнениям типа уравнений Гамильтона — Якоби в частных производных. Таким образом, уравнения в частных производных, вытекающие из методов динамического программирования, связаны с обыкновенными дифференциальными уравнениями, фигурирующими, например, в принципе максимума, подобно тому как в аналитической механике уравнения Гамильтона — Якоби для функции 8 свйзаны с соответствующими уравнениями движения в форме Лагранжа или Гамильтона. Основу метода динамического программирования составляет функция V [т, х], которая имеет смысл минимума (максимума) оптимизируемой величины /[т, л (т)] (0 (т< < 1, т> о —текущий момент времени, 1 — момент окончания процесса), рассматриваемой как функция от начальных, временно фиксируемых условий г, х (т) = х, т. е. [c.203]

Следуя подходу создателей метода, мы использовали уравнения движения в форме Лагранжа. Однако все это можно было бы проделать и в канонической форме с помощью подстановки х р, хотя для периодических траекторий такая формулировка не дает каких-либо очевидных преимуществ. Что на самом деле желательно, так это иметь дело с лагранжианами, содержащими невысокие степени координат, в противном случае метод становится слишкол громоздким из-за необходилюсти перемножать сразу много рядов Фурье, что приводит к появлению многократных сумм в рекуррентных соотношениях для коэффициентов ). [c.174]

Указания к определению реакций связей. Если уравнения движения составлялись с помощью общих теорем динамики, то полученную систему динамических уравнений нужно разрещить относительно искомых реакций. Если уравнения составлялись в форме уравнения Даламбера — Лагранжа, то для определения реакций связей рекомендуется освободить соответствующее звено от связей и с помощью общих теорем динамики составить такие уравнения, куда вошла бы искомая реакция. [c.94]

Докажем, что координаты г , г ,, линейно зависимы. Используя выражение (2.4) для динамической жесткости, запишем уравнения, описываюп1,ие изменения указанных координат, в форме Лагранжа с неопределенными множителями [c.112]

Все эти работы показывали, что русская механика вступила в пору своей зрелости, начало которой было положено исследованиями Остроградского. В работах русских ученых был решен комплекс вопросов о характере вариации в принципе наименьшего действия в форме Лагранжа и о методе вывода из него уравнений движения механики. Глубоко изучена была также строгая математическая форма самого иринцииа наименьшего действия и его связь с уравнениями движения. Выяснение этих вопросов было необходимо для того, чтобы принцип наименьшего действия стал не только безупречным основанием аналитической механики, но и мощным д1етодом исследования в различных областях физики. [c.220]

Здесь запись+. .. относится к высшим членам полиномиального разложения (6). Для исследования продольных деформаций пролупространства дополним определяющие соотношения (7), (8) законом сохранения количества движения. При отсутствии массовых сил уравнение сохранения количества движения в форме Лагранжа имеет вид [c.154]

Пришли к уравнениям движения в форме (4.7), разрешенным относительно обобщенных ускорений. В ковариантной записи получим уравнения Лагранжа второго рода. Таким образом, последние выражают закон Ньютона для движения точки, изображающей рассматриваемую систему материальных точек в пространстве с метрикой, определяемой квадратичной формой 2ТсИ-. Тем самым законам движения придано условно наглядное геометрическое пояснение. Так, словесно повторив сказанное в пп. 7.5 и 7.6, можно записать уравнения движения в форме естественных уравнений, непосредственно следующей из (5.29) [c.306]

По форме уравнения Аппеля (10), как показывается ниже, ничем не отличаются от уравнений Эйлера—Лагранжа (1.13). Применение тех или иных уравнений— вопрос вычислительного удобства. Пользование уравнениями Эйлера — Лагранжа предполагает предварительное нахождение трехиндексных символов кинетическая энергия должна вычисляться без учета наличия неголономных связей, что усложняет структуру этого выражения само написание уравнений требует внимания в расстановке индексов. При применении уравнений Аппеля основная трудность состоит в вычислении энергии ускорений требуется внимание, чтобы не упустить слагаемых, содержащих квазиускорения. При рассмотрении неголономных систем дело облегчается возможностью учитывать наличие этих связей. Не следует переоценивать значения правил (4.10.4) и (4.10.12) составления энергии ускорений 5 по кинетической энергии Т, так как применение второго из них требует знания трехиндексных символов и выражения Г, вычисленного при отброшенных связях, а применение первого для составления уравнений Аппеля в форме (5.18) воспроизводит выкладки, которые надо проделать при написании уравнений Лагранжа второго рода (если неголономные связи отсутствуют). Важное значение имеют в задачах динамики твердого тела правила составления 5, данные в п. 4.11. Уравнения Аппеля легко запоминаемы, а процесс [c.397]

В статье Гарфинкеля о матрицах возмущений небесной механики (Astron. J., 51, 44, 1944) в качестве отправного пункта используются уравнения Делонэ, а затем изящным и доходчивым способом получаются матрицы уравнений для кеплеровых алементов как в форме Лагранжа, так и в форме Гаусса. [c.267]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...