Свойства корреляционных функций

Рассмотрим основные свойства корреляционной функции [c.24]

Свойства корреляционных функций и взаимных спектров процессов. Степень линейной статистической связи двух процессов во временной области определяется взаимной корреляционной функцией, оценка которой применительно к вибрациям, являющимся центрированными процессами, дается формулой (3). В частотной области связанность процессов л (t), у (t) представляется взаимным спектром, являю щимся преобразованием Фурье взаимной корреляционной функции [c.274]

Хотя сами по себе спектральные представления (5.2.9) и (5.2.10) не облегчают вычислений, поскольку спектральная плотность — весьма сложная функция частоты, они очень полезны при обсуждении общих свойств корреляционных функций и функций Грина. Отметим, например, что формулы (5.2.9) и (5.2.10) определяют аналитическое продолжение функций (5.1.32) и (5.1.40) из верхней комплексной полуплоскости 2 в нижнюю. Таким образом каждую из этих функций можно рассматривать как единую аналитическую функцию, состоящую из двух ветвей, одна из которых определена в верхней, а другая в нижней полуплоскости комплексной переменной 2 . [c.361]

Дисперсионные соотношения. Покажем теперь, что из аналитических свойств корреляционных функций и функций Грина, которые отражены в спектральных представлениях (5.2.9) и (5.2.10), следуют точные интегральные соотношения между действительными и мнимыми частями восприимчивостей и кинетических коэффициентов. [c.366]

Эти формулы называются дисперсионными соотношениями ). Как мы видели, они являются непосредственным следствием аналитических свойств корреляционных функций и функций Грина и, по существу, отражают принцип причинности в неравновесных процессах. [c.368]

В параграфе 5.1 мы рассмотрели формулировки теории линейной реакции, в которых средние значения динамических переменных выражались через временные корреляционные функции или запаздывающие функции Грина. Эти формулировки очень важны с точки зрения общей теории, так как они приводят к универсальным соотношениям между измеряемыми в эксперименте макроскопическими величинами и характеристиками микроскопической динамики равновесных флуктуаций. Однако для практических приложений требуются эффективные методы вычисления корреляционных функций. Хотя в настоящее время существует несколько методов такого рода, ни один из них не является универсальным. В этом параграфе мы обсудим подход, который позволяет изучить некоторые важные свойства корреляционных функций, включая их поведение во времени, не обращаясь явно к сложной динамике системы многих частиц. В этом смысле излагаемый ниже подход напоминает наше исследование восприимчивостей и кинетических коэффициентов в предыдущем параграфе, но он более тесно связан с линейными уравнениями переноса. [c.372]

Подчеркнем, что в формуле (5.3.65) сначала совершается предельный переход Л О и лишь затем z 0. Обратный порядок предельных переходов, как видно из соотношения (5.3.62), дает Тр = оо. Это означает, что свойства корреляционных функций с приведенным оператором Лиувилля L = QLQ существенно отличаются от свойств корреляционных функций, в которых эволюция описывается полным оператором Лиувилля L. Хотя во многих конкретных задачах оператор проектирования удается исключить с помощью разложений по малым параметрам (параметру взаимодействия, волновому вектору возмущения и т. д.), следует помнить, что все подобные разложения должны совершаться в правильном порядке. Наивные попытки улучшить результат для времен релаксации путем учета членов более высокого порядка в корреляционных функциях могут привести к нефизическим расходимостям. [c.385]

Свойства корреляционной функции. Нормированная корреляционная функция. Рассмотрим некоторые свойства корреляционной функции стационарных случайных процессов. [c.12]

На основании общих свойств корреляционных функций корреляционная функция обобщенной силы Qi t) будет равна сумме корреляционных функций сил Zu t), Z2i t) и взаимных корреляционный функций [c.354]

Свойства корреляционных функций [c.38]

Это свойство корреляционных функций довольно странно с точки зрения классической теории. В ней корреляционные функции представляют собой по существу суммы моментов распределения вероятности для коэффициентов Фурье, и довольно трудно пред- [c.38]

Следующее свойство корреляционных функций можно вывести из общего соотношения [c.39]

Из общего неравенства (6.8) с помощью различных подстановок можно получить еще ряд свойств корреляционной функции. Например, выбирая А = (х), сразу же получаем [c.40]

Следующим математическим свойством корреляционных функций является последовательность способов, которыми они образуются из компонент поля с положительными и отрицательными частотами. Согласно нашему условию, функция (tl. .. [c.42]

Из формулы (17.65) вытекают следуюш,ие свойства корреляционной функции фазы а) пропорциональность квадрату частоты к ), б) пропорциональность длине трассы Ь, в) зависимость от поведения спектра Фя(х) во всей области и г) ее радиус корреляции совпадает с радиусом корреляции показателя преломления. [c.114]

Условие ослабления корреляций. Прежде чем сформулировать это уже физическое свойство корреляционных функций, установим уровень отсчета корреляции частиц так, чтобы по численной величине Р, можно было бы судить о физическом качестве этих корреляций. Если бы наша система была идеальной, т. е. представляла бы собой совокупность N не взаимодействующих друг с другом классических материальных точек (все Ф( г, - г ) = 0), то мы бы имели = 1 и гоц =, откуда следовало бы, что все корреляционные функции Р, т1,..., т,) = 1. Это значение Р, соответствует случаю отсутствия каких-либо корреляций частиц друг с другом ни одно из расположений частиц не является предпочтительнее какого-либо другого. [c.298]

Рассмотрим фазовую функцию х 1), т. е. функцию, зависящую от времени через динамические переменные, определяющие состояние, или фазу системы. Если фазовые корреляционные коэффициенты р(т), связывающие х (О и х(/- -т), обладают свойством р(т)->0 при т->оо, то функция х (/) есть эргодическая, т. е. ее среднее по времени равно ее фазовому среднему (по поверхности постоянной энергии) для почти всех начальных условий на поверхности постоянной энергии в фазовом пространстве. Фактически для доказательства эргодической теоремы необходимо показать, что корреляционная функция р(т) ведет себя именно нужным образом. Хинчин приводит интуитивные соображения, подтверждающие такое поведение x t) для случая, когда х 1) представляет собой фазовую функцию, зависящую от небольшою числа динамических переменных (координат одной молекулы), в системе с очень большим числом степеней свободы, т. е. с очень большим числом молекул. Однако необходимое свойство корреляционной функции является характерным для необратимого процесса, и его следует установить вполне строго, прежде чем доказывать таким путем эргодическую теорему. Мы исследуем здесь возможность обращения теоремы Хинчина, т. е. изучим, когда и при каких дополнительных условиях из эргодического характера фазовой функции следует ее необратимость, выражаемая асимптотическим поведением корреляционной функции р(т)->0 при т->оо. Это означает, что мы хотели бы изучить возможность получения статистической механики необратимых процессов, исходя из эргодического постулата, точно так же, как это делается в статистической механике равновесных процессов. В этой связи нас не интересует, является ли эргодическое свойство общим динамическим свойством или оно справедливо лишь в том случае, когда [c.305]

Используя представление (4), Хинчин [2] установил следующие свойства корреляционной функции непрерывного стационарного процесса [c.307]

Условие ослабления корреляций. Прежде чем сформулировать это уже физическое свойство корреляционных функций, установим уровень отсчета корреляции частиц так, чтобы по числен- [c.622]

Уравнения (7.201) должны быть проинтегрированы с начальными условиями (7.188). При KQ корреляционные функции определяются на основании свойств симметрии (7.189) — (7.193). [c.190]

Миллер показывает, каким образом трехточечные корреляционные функции можно выразить через функции gi(0, г, s), определенные как вероятности того, что все три вершины треугольника (О, г, s) лежат в одной ячейке со свойством ег при условии, что одна из вершин находится в этой ячейке. Он показывает, например, что [c.271]

Если интеграл от корреляционной функции, взятый в пределах (О, оо), конечен, а тем более, если корреляционная функция стремится к нулю с устремлением к нулю аргумента т, то случайная функция является эргодической, для которой усреднение по реализациям можно заменить усреднением по аргументу х. Использование эргодичности удобно для математических выкладок. Однако при контроле качества поверхности ответственной детали, т. е. при контроле соблюдения всех требований к ее поверхности, слишком рискованно судить о свойствах поверхности по единичной профилограмме, длина которой к тому же ограничена пределами записи профилографа. [c.76]

В случаях, когда оценки статистик, вычисленные в различные моменты времени, равны между собой, говорят, что эти статистики обладают свойством инвариантности относительно произвольного момента t. Свойство инвариантности перечисленных выше статистик используется для классификации случайных процессов. Стационарным случайным процессом в широком смысле называется такой случайный процесс, у которого оценки среднего значения и корреляционной функции инвариантны по отношению к моменту времени [1]. [c.52]

Сложность исследования рабочего процесса выемочной мащины заключается в случайном характере сил сопротивления на исполнительном органе, являющихся результатом взаимодействия последнего с угольным массивом. Экспериментальная обработка осциллограмм резания углей и пород разных структурных свойств показала, что для всех исследованных осциллограмм характерен общий вид корреляционных функций, которые с достаточной точностью аппроксимируются выражениями [11, 12] [c.58]

Zii (t) можно рассматривать как сумму случайных независимых между собой процессов. Корреляционная функция (т) процесса Zii (t) на основании общих свойств равна сумме корреляционных функций процессов yi t) и yi (t) [c.135]

Такая обработка результатов наблюдений основана на предположении о стационарности и эргодичности случайного процесса, но наличие названных свойств в каждой задаче должно быть достаточно обосновано. Не вдаваясь в подробности, отметим, что признаком стационарности может служить независимость математического ожидания и дисперсии от длительности интервала времени Т (при условии, что он достаточно большой), а признаком эргодичности — затухание корреляционной функции с увеличением т. [c.232]

Характеристики корреляционной функции. для процесса в целом по отдельным параметрам и свойствам (для основного размера, погрешности формы, твердости и т. д.). [c.447]

Пользуясь этим свойством, можно записать математическое ожидание и корреляционную функцию R (т) стационарного [c.261]

Для эргодичности случайной функции по корреляционной функции нужно, чтобы аналогичным свойством обладала функция Z(t, x)=X t)X t+x). [c.28]

Подчеркнем в то же время, что с разрушенной флуктуациями структурой р (г) (т. е. в которой стало уже р = onst) среда отнюдь не становится обычной жидкостью. Принципиальное отличие состоит в свойствах корреляционной функции флуктуаций плотности в различных точках пространства (бр (г ) бр (гг)). В обычной жидкости эта функция изотропна и убывает при г = Га— -> -> 00 по экспоненциальному закону (см. V, 116). В системе же с р = р (г) корреляционная функция остается (при увеличении размеров тела) анизотропной и убывает при г -> оо лишь по медленному степенному закону, причем тем медленнее, чем ниже температура (см. V, 138). [c.229]

Следует заметить, что не зависящее от начального возму цения парной корреляционной функции второе слагаемое правой части формулы (49.4) зависит лишь от разности координат двух частиц. Это свойство является общим свойством корреляционных функций двух частиц, определяющихся одночастичпыми распределениями в пространственно однородном состоянии. [c.196]

Из приведенного рассмотрения основных свойств корреляционных функций нестационарных случайных. цессов видно, что особенности локальных и ji Rhhx корреляционных функций не очень отличаются от соответствующих свойств корреляционных функций для стационарных процессов. Что же касается текущих корреляционных функций и их очевидных обобщений для неоднородных пространственных корреляционных функций, то они существенно отличаются от своих стационарных аналогов. Как замечает Э.И. Цветков [61], отмеченная особенность указывает на то, что текущие (временные и пространственные) вероятностные характеристики являются носителями информации о собственно нестационарных свойствах процесса, в то время как локальные отражают их свойства как процессов неэргодических. [c.28]

В качестве первого свойства корреляционных функций отметим, что при ограниченном сверху числе фотонов функция = О для всех порядков, более высоких, чем фиксированный порядок М. Это свойство проявляется более отчетливо, если п> есть п-кванто-вое состояние, а оператор плотности записывается в виде [c.38]

Доказанное выше свойство корреляционной функции t) стационарного марковского гауссова процесса называют теоремой Дуба (J. L. Doob, 1944), а вариант ее доказательства принадлежит Марку Кацу (М. Кас). [c.150]

Прежде чем обсуждать эту проблему, дадим краткий обзор свойств корреляционной функции. В общем случае функция 0 (г. 1) является комплексной и обладает, как может быть показано [57], эрмитовской симметрией, т. е. [c.118]

Основные трудности связаны с определением корреляционной функции g(r) и прямой корреляционной функции /(г). В своих рассуждениях Орнштейн и Цернике использовали такие свойства корреляционной функции, которых молекулярная корреляционная функция вообще иметь не может. Поэтому эта функция должна быть определена иначе. Эту задачу мы можем решить, вводя сглаженную корреляционную функцию (г) по существу мы должны использовать метод, развитый в 5. Правильное определение прямой корреляционной функции представляет значительно большие трудности. Первоначальное определение, в дальнейшем использованное Розенфельдом [74] и Пирсоном и Раш-бруком [75]. фактически совпадает с тем, которое было приведено при рассмотрении теории Клейна — Тиссы. Однако в молекулярной области, по-видимому, невозможно дать математически удовлетворительное определение даже с помощью сглаженных функций. [c.132]

Разулшется, все эти свойства можно определить, если известна корреляционная функция пульсаций температуры в жидкой фазе (т). После 1950 г. проведено много экспериментов для на- [c.82]

Изменение скорости на малых расстояниях обусловлено мелкомасштабными пульсациями. С другой стороны, свойства локальной турбулентности не зависят от усредненного движения. Поэтому можно упростить изучение корреляционных функций локальной турбулентности, рассматривая вместо этого идеализированный случай турбулентного движения, в котором изотропия и однородность имеют место не только на малых (как в локальной турбулентности), но и на всех вообш,е масштабах усредненная скорость при этом равна нулю. Такую полностью изотропную и однородную турбулентность ) можно представить себе как движение в жидкости, подвергнутой сильному взбалтыванию и затем оставленной в покое. Такое движение, разумеется, непременно затухает со временем, так что функциям времени становятся и компоненты корреляционного тензора ). Выведенные ниже соотношения между различными корреляционными функциями относятся к однородной и изотропной турбулентности на всех ее масштабах, а к локальной турбулентности — на расстояниях г <С /. [c.194]

Вопрос о том, должны лн флуктуации е отразиться даже на в-лде корреляционных функции в инерционной области, вряд ли может быть надежно решен до построения последовательной теории турбулентности [этот вбпрос был поставлен Колмогоровым А. Н.—J. Flui Me h., 1962, v. 13, p. 77) и Обуховым А. М. (там же, р. 82)]. Существующие попытки ввести связанные с этим фактором поправки в закон Колмогорова — Обухова основаны на гипотезах о статистических свойствах диссипации, степень правдоподобности которых трудно оценить. [c.200]

Указанное условие тесно связано с условиями достаточно быстрого убывания корреляционных функций, сформулированными при выводе (34,24) из (34,23). Но в рамках теории несжимаемой жидкости существуют основания сомневаться в их соблюдении. Физическое основание для этого состоит в бесконечной скорости распрострапепия возмущений в несжимаемой жидкости. Математически это свойство проявляется в интегральном характере зависимости распределения давления в жидкости от распределения скоростей если рассматривать правую часть уравнения (15,11) как заданную, то решение этого уравнения [c.201]

Полученное соотношение представляет собой флуктуационно-дис-сипационную теорему. Соответствующие общие соотношения называют формулами Кэллена—Вельтона. Эта теорема связывает флуктуационные свойства системы (корреляционную функцию) с ее диссипативными свойствами (мнимая часть восприимчивости). [c.83]

Здесь е представляет собой эффективную постоянную, которую можно определить из эксперимента так же, как определяется постоянная е при отсутствии статистических флуктуаций. Мы вывели также формальное выражение для е, которое дается формулой (51). К сожалению, обозначенное через г) слагаемое выражения (51) зависит от всех -точечных корреляционных функций среды и может быть непосредственно вычислено лищь в том случае, когда ограничиваются малыми возмущениями (см. формулу (56)). Правую часть равенства (51) можно подсчитать, сделав некоторые допущения относительно т] (величина s для двухфазного материала вычисляется точно) трудно, однако, соотнести эти математические допущения со свойствами реальных материалов. Интересная работа в этом направлении проделана Крёнером [28], а также Болотиным и Москаленко [9]. [c.266]

Нормирование параметров S и Sm для поверхностей, профиль которых описывается процессами, близкими к случайным (как правило, полученных шлифованием, полированием, доводкой, электроэрозиоипой обработкой и т. д.), позволяет нормировать спектральные характеристики профиля (выражаемые через корреляционную функцию профиля). Это свойство шаговых параметров важно не только для учета плияния неровностей на эксплуатационные свойства поверхности, но позволяет решать некоторые задачи, связанные с метрологическим обеспечением качества поверхности, достаточно простыми для практического применения инженерными методами. в частности, задачи, связанные с определением необходимой длины для измерения параметра при задаваемой точности. [c.137]

Для составляющих X i) и N (t) в формуле (6.30) должны быть заданы статистические характеристики корреляционные функции i(t) и Rait) или спектральные плотности Sx( o) и Sjv(m) (см. п. 4.9.5 кн. 1 данной серии). Изучение статистических свойств случайных воздействий—сложная, трудоемкая задача, требующая проведения длительных экспериментов. [c.453]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...