Оператор проектирования

Пусть ТМ — касательное и N — нормальное к М расслоение,. Т — ограничение на М касательного расслоения к фазовому пространству р T N — оператор проектирования вдоль ТМ. [c.153]

Каш<дому скаляру f(x), вектору а(х), тензору 6(х) мы будем с помощью оператора проектирования ставить в соответствие сеточный скаляр Д = /ii.ij.ia , сеточный вектор = aii.ij.ia , сеточный тензор [c.165]

Простейшим примером самосопряженных операторов является оператор проектирования. Пусть — подпространство пространства Я. Оператором проектирования Р на подпространство L или ортогональным проектом на L называется оператор, ставящий в соответствие каждому элементу ф его проекцию ip на пространство L [c.25]

Какими свойствами обладает оператор проектирования [c.33]

Омические потери 515, 531, 533 Оператор проектирования 162 Оптика фазового сопряжения 590 Оптическая бистабильность 321, 325 Оптические выключатели 327 [c.612]

Свойства (15.3.9)—(15.3.11) операторов F и С позволяют нам (не вполне строго) назвать их операторами проектирования (или проекторами) соответственно на вакуум и на корреляции. Можно [c.152]

Мы нашли таким образом линейную комбинацию г функций Фь. .., Фг используя соотношение ортогональности (4.38), можно показать (См. приложение 5.2), что полученная линейная комбинация преобразуется по неприводимому представлению Г,-. Если Г, имеет размерность U, то необходимо применить оператор к и функциям Ф , чтобы получить и функций, которые образуют базис Г,- обычно для составления линейных комбинаций из этих /, функций используется ортогонализация Шмидта [см. (5.83)], чтобы получить /, ортогональных функций типа Г,-. Некоторые примеры применения операторов проектирования даны в задачах 5.2 и 5.3. Если в разложении приводимого представления Г, образованного функциями Ф , неприводимое представление Г,- не содержится, тогда действие на Ф [c.78]

Используя операторы проектирования, найдем комбинации функций Wa, Ф й И Ф с типа Лг и Е. Ненормированная комбинация типа Лг дается выражением [c.80]

Начиная с функции Ф а и используя оператор проектирования Р , [c.80]

Оператор проектирования для представления группы G [см. [c.88]

Приложение 5.2 операторы проектирования [c.92]

Соотношение (2.3.29) справедливо для любых моментов времени t и t. Оно позволяет считать Vq t) оператором проектирования. Два других соотношения означают, что действие Vq t) переводит любое решение уравнения Лиувилля и его производную по времени в квазиравновесное распределение и его производную по времени. [c.109]

По аналогии с (2.4.1), можно определить действие оператора проектирования на любую динамическую переменную А с помощью соотношения [c.125]

В принципе, формальное интегрирование этого уравнения с помощью оператора эволюции уже позволяет найти А ( ) как функционал от параметров Fn t). Но в таком случае последний член в (5.3.3) явно содержал бы производные dF t)/dt и уравнения эволюции имели бы не совсем привычную структуру. Как мы видели в параграфе 2.3, производные лагранжевых множителей по времени можно исключить с помощью операторов проектирования. Здесь мы воспользуемся тем же самым приемом. [c.373]

Как и более общий оператор Мори (2.3.38), оператор (5.3.8) проектирует любую динамическую переменную А на линейное пространство базисных переменных Рп -Два введенных оператора проектирования удовлетворяют соотношению [c.374]

Следует подчеркнуть, что, кроме представления Мори (5.3.23), можно построить и другие полезные представления для функций памяти. В качестве примера мы выведем одно из них. Оно часто оказывается удобным для практических вычислений, так как не содержит операторов проектирования. Будем исходить из уравнений движения (5.1.34) и (5.1.35) для матричной корреляционной функции (Р Р) , записав эти уравнения в такой форме [c.381]

Подчеркнем, что в формуле (5.3.65) сначала совершается предельный переход Л О и лишь затем z 0. Обратный порядок предельных переходов, как видно из соотношения (5.3.62), дает Тр = оо. Это означает, что свойства корреляционных функций с приведенным оператором Лиувилля L = QLQ существенно отличаются от свойств корреляционных функций, в которых эволюция описывается полным оператором Лиувилля L. Хотя во многих конкретных задачах оператор проектирования удается исключить с помощью разложений по малым параметрам (параметру взаимодействия, волновому вектору возмущения и т. д.), следует помнить, что все подобные разложения должны совершаться в правильном порядке. Наивные попытки улучшить результат для времен релаксации путем учета членов более высокого порядка в корреляционных функциях могут привести к нефизическим расходимостям. [c.385]

Эта формула аналогична формуле Кирквуда для коэффициента трения броуновских частиц [103]. В ней исключен вклад длинного хвоста корреляционной функции, связанного с макроскопическим процессом. Фактически роль оператора проектирования в (5.3.57) состоит именно в этом. [c.386]

Конечно, операторы проектирования сильно усложняют вычисление функций памяти и связанных с ними физических величин — времен релаксации, коэффициентов переноса и т. д. Хотя альтернативные представления для функций памяти типа формулы (5.3.53) позволяют избавиться от проектирования, мы видели что необходимость исключения длинных хвостов в корреляционных функциях ограничивает область применимости таких представлений низшими порядками теории возмущений. Один из способов борьбы с проблемой плато заключается в расширении набора базисных переменных. При удачном выборе дополнительных переменных можно получить хорошие результаты для коэффициентов переноса, даже если корреляционные функции в (5.3.53) вычисляются в низшем порядке по параметру взаимодействия. Некоторые примеры, иллюстрирующие эту идею, приведены в работе [68]. К сожалению, пока не удалось сформулировать достаточно общий критерий для выбора дополнительных переменных. [c.386]

Для систем со слабым взаимодействием или с малым параметром плотности имеется еще одна возможность упростить уравнение (5.4.18), поскольку в этих случаях статические восприимчивости (5.4.9) и кинетические коэффициенты (5.4.16) удается вычислить методами теории возмущений. Предположим, например, что оператор Н в гамильтониане (5.4.16) описывает слабое взаимодействие частиц или квазичастиц. Кинетические коэффициенты (5.4.2) имеют по крайней мере второй порядок по взаимодействию, так как выражение равно нулю благодаря свойствам оператора проектирования. Поэтому при вычислении интеграла столкновений в низшем приближении в формуле (5.4.16) можно заменить полный оператор Лиувилля L на оператор свободных частиц L . В том же приближении обратную матрицу статических восприимчивостей в правой части уравнения (5.4.18) можно взять в виде (5.4.13). Тогда вычисление интеграла столкновений сводится к вычислению кинетических коэффициентов (5.4.16) с помощью теоремы Вика (см. задачу 5.15). [c.390]

Оператор проектирования на подпространство, ортогональное к линейному подпространству базисных переменных, определяется выражением Q = 1 — Р, где 1 — единичный оператор. [c.410]

Интересно сравнить эти выражения с формулами (8.2.46) для микроскопических потоков в гидродинамике. Мы видим, что все различие заключается только в операторах проектирования, но это — важное различие. Дело в том, что оператор Мори 1 — V исключает из микроскопических потоков только члены, линейные по й (г), поэтому потоки (8.2.46) содержат вклады гидродинамических флуктуаций. С другой стороны, проекционный оператор 1 —в выражениях (9.2.18) исключает гидродинамические флуктуации всех порядков. Отсюда, в частности, следует, что корреляционные функции потоков (9.2.18) затухают в пространстве и во времени значительно быстрее, чем корреляционные функции потоков (8.2.46). Более того, поскольку гидродинамические кинетические коэффициенты содержат флуктуационные поправки, вблизи критической точки, где крупномасштабные флуктуации сильно возрастают, при вычислении этих кинетических коэффициентов нельзя пренебрегать эффектами нелокальности и памяти. Ясно, что ничего подобного не обнаруживается в затравочных кинетических коэффициентах (9.1.57), в которых исключен вклад крупномасштабных флуктуаций. Таким образом, затравочные и гидродинамические кинетические коэффициенты практически совпадают вдали от критической точки, где крупномасштабные флуктуации очень малы, но они сильно различаются в критической области. [c.235]

Производную dJ q v t)/dt в правой части можно исключить, вводя соответствующий оператор проектирования, как это делалось при выводе уравнений переноса из уравнения Лиувилля, но здесь мы не будем останавливаться на деталях. [c.270]

А. Оператор проектирования в теории флуктуаций [c.270]

Здесь мы дадим вывод уравнения (9.1.23) и обсудим некоторые свойства оператора проектирования (9.1.26). [c.270]

Уравнения (15.3.15) и (15.3.16) явно свидетельствуют об абсолютной взаимной независимости компонент Ff и f. Следователь-ло, полученное с помощью операторов проектирования F и С разбиение 15.3.1) множества векторов распределения f на два подмножества определено таким образом, что эти подмножества инвариантни относительно невозмущенного движения. Иными словами, при невозмущенном движении любой элемент подмножества Ff остается в этом подмножестве. [c.154]

Однако из уравнений динамики корреляций нам известно, что свойство а не может иметь места для вектора распределения, описывающего систему взаимодействующих между собой частиц. Из разд. 14.2 и 14.3 мы знаем, что у оператора Лиувилля X имеются матричные элементы, связывающие вакз умные компоненты Ра ([Оа]) с корреляционными компонентами Рг([Гг1). В этом несложно убедиться, спроектировав с помощью оператора проектирования, определенного в разд. 15.3, уравнение Лиувилля (16.1.1), (16.1.2) на вакуумное состояние [c.162]

Задачу можно сформулировать так дано г функций Ф , преобразующихся по приводимому представлению Г как определить линейную комбинацию функций которая преобразуется неприводимо В замечании после выражения (5.65) сказано, что оператор проектирования порождает именно такую линейную комбинацию (или проектирует Ф на 4 0. что мы теперь и покажем. Запишем [c.93]

Хамермеш [43]. Рассмотрены симметричное и антисимметричное произведения представления и операторы проектирования. [c.95]

Зигнер [120]. Рассмотрены операторы проектирования и доказательство того, что взаимно-ортогональные волновые функцин образуют базис унитарного представления. Техника образования матричных представлений, примененная в [120] н многих других книгах, отличается от использованной в этой книге. Матрица D f/ ] в [120] связана с матриней D[R] настоящей книги соотношением D [/ ]/i= 0[Л],/. [c.95]

Если сравнить это равенство с (2.3.31), сразу видно, что при действии на производную dg t)/dt оператор дает тот же результат, что и оператор проектирования Кавасаки-Гантона (2.3.28). Можно показать (см. задачу 2.5), что оператор Робертсона обладает свойством [c.128]

Исключая производные dgq/dt в формуле (2.4.20) с помощью (2.4.31), можно вывести систему обобщенных уравнений переноса для наблюдаемых [139]. Есть, однако, более простой путь. Он состоит в использовании соотношения (2.3.44) и выражения (2.4.29) для корреляционной части неравновесного распределения. Дальше можно действовать точно так же, как в разделе 2.3.2, поскольку операторы проектирования Кавасаки-Гантона (2.3.28) и Робертсона (2.4.21) обладают свойством [c.129]

Обобщенное кинетическое уравнение для вероятностей w t) можно вывести из уравнения (2.4.18), интерпретируя оператор проектирования Цванцига V в смысле соотношения (2.4.3). Вычисляя диагональный элемент операторного уравнения (2.4.18), [c.139]

Дальнейшие преобразования основаны на явном иснользовании основных свойств операторов проектирования [c.140]

Математическое моделирование процессов обработки металлов давлением (1983) -- [ c.25 ]

Оптические волны в кристаллах (1987) -- [ c.162 ]

РСТ, спин и статистика и все такое (1966) -- [ c.17 ]

Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля (0) -- [ c.148 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...