Уравнения движения (упругого тела)

Интеграл энергии для уравнений движения упругого тела [c.72]

Конечноэлементные уравнения движения упругого тела без затухания при действии гармонической нагрузки имеют вид [c.471]

Пусть требуется найти решение некоторых дифференциальных уравнений, например, уравнений теории движения вязкой жидкости или уравнений движения упругого тела при определенных граничных условиях. Уравнения движения в перемещениях можно записать в виде [c.396]

Вклад в науку о подобии сделали такие ученые, как Коши, который установил законы звуковых явлений в геометрически подобных телах (на основе уравнений движений упругих тел) Гельмгольц, который определил условия подобия гидродинамических явлений Филлипс, установивший законы колебаний мостов, и др. [c.9]

Уравнения динамики линейных вязкоупругих систем. Уравнения движения вязкоупругого тела по форме аналогичны уравнениям движения упругого тела при условии, что вместо упругих констант в эти уравнения должны быть внесены операторы. Динамические уравнения Ламе примут вид [c.145]

Учет температурных деформаций аАГ, разумеется, изменит уравнения движения упругого тела (28), но изменения эти формально будут небольшими — они сведутся к появлению дополнительной объемной силы с составляющими [c.175]

С учетом условия осевой симметрии напряженно-деформированного состояния тела уравнение движения упругого тела (1.24) приведем к такой скалярной форме [130] j [c.23]

Конечноэлементные уравнения движения упругого тела в перемещениях имеют вид [c.51]

Присоединяя к внешним силам X, Y, Z силу инерции частицы, Навье получает, таким образом, общие уравнения движения упругого тела. [c.131]

Применяя принцип Д Аламбера, мы получим уравнения движения упругого тела из уравнений равновесия (1.1), добавив к действующим массовым силам pFi силы инерции [c.119]

Уравнения движения упругого тела с полостью, наполненной жидкостью [c.191]

Необходимые уравнения движения упругого тела в напряжениях в рассматриваемом случае будут иметь вид [c.340]

Заменяя X и (х через модуль Юнга и коэффициент Пуассона, уравнение движения упругого тела запишем в виде [c.341]

Уравнения движения упругого тела можно записать в векторной форме, причем такая запись имеет то преимущество, что она не зависит от координатной системы. [c.179]

Известно, что любая форма смещения точек оси стержня представима рядом вида (2) по собственным формам колебаний в приближенном решении число собственных форм (слагаемых ряда) может быть взято конечным и часто весьма небольшим. Более того, в выражении (3) допустимо использование вместо собственных форм колебаний других функций от х, разумно описывающих характер упругой линии оси стержня. Подобного рода предположения — конечность я, допускаемый произвол выбора функциональной зависимости вектора перемещения от координат точек упругого тела — практически оправдываются расчетами колебаний стержней и плит на неподвижных опорах. Нет оснований считать их неприемлемыми при составлении общих уравнений движения упругого тела. Первое из упомянутых предположений, сводящее задачу к рассмотрению системы с конечным числом степеней свободы, исключает из рассмотрения вообще весьма трудно учитываемые колебания высоких частот. Второе не должно значительно повлиять на результат, поскольку, как увидим ниже, выбором функций, которыми задается вектор и, определяются численные значения некоторых интегральных характеристик они мало изменяются от этого выбора, если, конечно, он сделан достаточно разумно. [c.476]

Уравнения движения упругого тела составляются на основании общих уравнений теории относительного движения (1.17) и (1.26) для несущего тела и (2.19) для координат Уравнения должны [c.477]

Уравнения движения упругих тел были выведены еще в начале прошлого столетия. Первоначально они использовались для решения одномерных задач о динамическом растяжении —сжатии и кручении стержней, изгибе балок и колебаниях круговых цилиндров и сфер. Лишь в начале нашего века эти уравнения были применены для решения сейсмических проблем. [c.291]

Р-волны и (S -волны. Из уравнения (53.3) следует, что уравнения движения упругого тела можно записать в векторной форме [c.185]

Тогда основное уравнение движения упругого тела (2.149) приобретает вид [c.387]

Проиллюстрируем этот прием на примере уравнений движения упругого тела [c.491]

Уравнения движения упругого тела. Для получения уравнений движения упругого тела мы должны по принципу Даламбера прибавить к массовым силам силы инерции проекции этих сил, отнесенные к единице объема, суть [c.36]

Уравнения движения упругого тела, находящегося под действием объемных сил F, имеют следующий вид [c.14]

Первый, кто дал теоретическое объяснение закону Савара, был Коши. В Ме-муаре, представленном Академии наук в 1879 г., он показал, что этот закон следует из линейности уравнений движения. Он рассмотрел общие уравнения движения упругого тела для малых отклонений частиц, не предполагая, что упругие свойства в различных направлениях одинаковы. Эти уравнения служат для определения перемещений ( , ц, ) частицы в функции времени t и координат (х, у, z) частицы в ее невозмущенном положении, и их можно разбить иа два класса. Одни прилагаются ко всем внутренним точкам упругого тела, другие — к точкам его поверхности. Эти уравнения можно найти в любом курсе по упругости, Непосредственной проверкой можно убедиться, что эти уравнения сохраняются при замене переменных 5, т). i, х, у, г, t на k i, kr, kt,, kx, ky, kz, kt, где k — произвольная постоянная, если только силы изменяются в отношении k 1. Следовательно, если силы отсутствуют, то для того, чтобы период колебаний и перемещения т , изменились в отношении 1 к, достаточно изменить в этом отношении размеры упругого тела и начальные значения 5, т , Таким образом, мы получили обобщение закона Савара, данное Коши. Если высоту тона звучащего тела, пластины или упругого стержня измерять числом колебаний в единицу времени, то она изменяется обратно пропорционально линейным размерам тела, пластины или стержня в предположении, что все размеры меняются в одном и том же отношении. [c.316]

Для того чтобы получить уравнения движения упругого тела, необходимо в уравнениях равновесия (25.4) [c.189]

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ УПРУГОГО ТЕЛА. ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ [c.236]

Соотношения (3.3) представляют собой уравнения движения упругого тела и динамические фаничные условия [c.237]

Найдем явный вид уравнений движения упругого тела в случае малых деформаций (классическая теория). Для этого представим компоненты векторного поля V в виде [c.237]

Уравнения движения упругого твердого тела можно вывести, приравняв произведение массы малого элемента твердого тела на его ускорение упругим силам, действующим на этот элемент. Уравнения движения, выраженные через перемещения и напряжения, можно записать в следующем виде [c.366]

Рассмотрим моделирование на ЭЦВМ динамических процессов дискретной механической системы из двух упруго соединенных тел, одному из которых сообщается внешнее возмущение, а движение другого исследуется (см. рис. 104—105). Для качественного исследования недостаточно только выполнить численное интегрирование дифференциальных уравнений движения исследуемого тела при конкретном возмущении, необходимо также обработать результаты интегрирования для получения исчерпывающей информации о моделируемом процессе. Принципиальная схема моделирования приведена ниже [c.351]

Знания, доставшиеся в наследство от предыдущего периода, оказались недостаточными для расчета сооружений, новых по конструкции и по применяемым материалам. Строители вынуждены были все чаще обращаться к теории упругости, уравнения которой были весьма сложными. Выход из создавшегося положения был найден в использовании метода физических аналогий. В 1887 г. Г. Р. Кирхгоф [9, с. 307] обнаружил, что общие уравнения равновесия упругого стержня тождественны с уравнениями движения твердого тела относительно неподвижной точки. Подобную же аналогию между балкой и плавающим в воде брусом установил в 1898 г. наш соотечественник В. Г. Шухов [10]. [c.204]

Рассмотрим колебания твердого тела, находящегося в потенциальном поле сил (гравитационном поле Земли, поле упругих сил и т. д.). Положение твердого тела при его колебаниях относительно положения равновесия будем определять шестью обобщенными координатами , т), б, ф, ф, первые три из которых являются координатами центра масс тела, а остальные — углами Эйлера, выбранными по одному из известных способов. В рассматриваемой задаче будем считать, что перемещения т), и углы б, г[), ф не малые, но такие, что в уравнениях движения твердых тел с приемлемой точностью могут быть сохранены только члены не выше третьего порядка относительно координат и их производных. [c.264]

Эти уравнения являются уравнениями движения Лагранжа для упругого тела. Вопросы приложения этих уравнений к движению упругих тел излагаются в работах 116—181. [c.143]

Вместе с тем отметим также следующее. Построению общих решений уравнений движения, как и в случае статических задач, уделяется очень большое внимание. Представление (1.15) и (1.16), конечно, является не единственно возможным [104, 186]. Работы по построению новых представлений несомненно важны с точки зрения исследования структуры уравнений динамики упругого тела. Од--нако если проанализировать полуторавековой исторический опыт, то окажется, что роль таких общих представлений при фактическом решении граничных задач теории упругости весьма мала. [c.21]

Здесь — амплитуда синусоидальной волны, а ( oi — + с) — фаза. Величины а, с фиксированны и не зависят ни от х, ни от t. Перемещение данное формулой (21.1), в общем не может удовлетворять уравнению движения нелинейного упругого материала ни в точной, ни в линеаризованной форме. Однако оно может быть решением линеаризованных уравнений движения, если тело однородно и подвержено однородной начальной деформации. Значение решения (21.1) является результатом того, что локально всегда материал и начальная деформация однородны. В связи с этим в малой окрестности избранной точки перемещение (21.1) является решением линеаризованных уравнений движения. [c.145]

Выразив через перемещения дифференциальные уравнения равновесия или движения упругого тела, необходимо соответствующим образом преобразовать и условия на поверхности [c.53]

В 8.4 были выписаны общие уравнения статической теории упругости и соответствующие граничные условия, там же была сформулирована постановка задачи теории упругости. В общем случае движение упругого тела происходит во времени и элементы его обладают ускорениями, поэтому более общей будет постановка динамической задачи теории упругости. В декартовых координатах эти ускорения представляют собою вторые производные от неремещений по времени. Применяя иринцип Далам-бера, мы получим уравнения движения упругого тела, добавив к действуюхцим силам Fi силы инерции [c.430]

Распространение упругих волн. Теперь коротко рассмотрим случай, когда приложенные нагрузки изменяются со временем так, что в теле возникают динамические напряжения. При этом уравнение движения упругого тела можно записать в векторной форме так5 [c.22]

Условия совместности Выражения (1.27), (1.28) (эйлерово описание), а также (1.36) и (1.37) в лагранжевых координатах дают компоненты тензоров конечных деформаций через производные вектора смещений. В то же время в большинстве задач теории упругости приходится находить вектор смещений по известным компонентам тензора деформаций. Это связано с тем, что дифференци альные уравнения движения упругого тела формулируют для компонент вектора смещений, а граничные условия часто задают для компонент тензора деформаций (см. 14, 15). При этом возникает вопрос, возможно ли из системы шести дифференциальных уравнений в частных производных (если считать заданными) определить три непрерывных компоненты вектора смещения. Ясно, что если решение этой системы существует, то компонентами тензора деформаций не могут служить произвольно заданные функции. Чтобы обеспечить интегрируемость системы шести дифференциальных уравнений, необходимо ввести определенные ограничения на выбор функций . Эти ограничения для линейного тензора деформаций впервые были получены в 1860 г. Б. Сен-Венаном [c.78]

Из этого уравнения в теории упругости получают (путем подстановки выражения через компоненты тензора напряжений) так называемые уравнения Бельтрами, которым должны удовлетворять компоненты тензора напряжений. Это связано с тем, что уравнения движения упругого тела формулируются, в конечном счете, относительно вектора смепдения и, компоненты которого могут быть выражены через U , только при выполнении условий совместности. [c.81]

Твердое тело, подвешенное на упругой проволоке, совершает крутильные колебания под действием внешнего момента nis г = т.0 os pt, где то и р — положительные постоянные, гг — ось, направленная вдоль проволоки. Момент сил упругости проволоки Шупр г = —сф, где с — коэффициент упругости, а ф — угол закручивания. Момент инерции твердого тела относительно оси г равен /г- Силами сопротивления движению пренебречь. Определить уравнение движения твердого тела в случаях 1) р, [c.283]

Для того чтобы получить уравнения движения упругой среды, надо приравнять силу внутренних напряжений doijdxk произведению ускорения iii на массу единицы объема тела, т. е. на его плотность р [c.124]

Основываясь на аналогии между уравнениями для упругого тела в состоянии равновесия и для вязкой ньютоновской жидкости в установившемся стоксовом течении, Хилл и Пауэр [16] вывели два экстремальных принципа. Стьюарт [28] обсудил эти взаимно дополняющие вариационные принципы и применил их к проблеме ламинарного течения в однородных каналах. Эти теоремы ограничивают диссипацию энергии в данной краевой задаче с обеих сторон, т. е. в интервале между верхним и нижним пределами, соответствующими произвольному выбору допустимых функций. Одна такая функция, которая доставляет верхний предел, определяется по теореме Гельмгольца. Для нижнего предела напряжения должны быть такими, как если бы они были результатом действия на тело конечной силы, или пары сил, или обоих факторов вместе. Многочисленные применения приведены в работе [16], включая случай поступательного движения сферы в неограниченной среде, где для иллюстрации показано, что справедливы неравенства [c.113]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...