Случай изотропного тела

Если вдобавок ко всем предыдущим ограничениям потребовать инвариантности W по отношению к поворотам на малый угол а около оси Oxi, то придем к случаю изотропного тела, в котором [c.53]

Рассмотрим случай изотропного тела с коэффициентом теплопроводности, являющимся только функцией температуры [c.62]

Полагая в (4.2.18) /З1 = = 1. найдем i для случая изотропного тела [c.196]

И наконец, заметим, что, используя (7.7.15), уравнения (7.7.18) и (7.7.19) можно записать через напряжения Pjt и Рд, действующие параллельно и перпендикулярно отрезку. В такой форме эти уравнения сопоставимы с (4.5.8) и (4.5.9), и их можно использовать при вычислении коэффициентов влияния метода фиктивных нагрузок для упругих ортотропных тел. Процедура полностью совпадает с процедурой, описанной в 4.6 для случая изотропного тела. [c.196]

Функция напряжений Ф, введённая нами при помощи выражений (8.199), может быть определена только на основании тождественных соотношений Сен-Венана. Для случая изотропного тела она удовлетворяет следующему уравнению [c.235]

Случай изотропного тела. Как известно, тело называется изотропным, если свойства его по всем направлениям одинаковы. Точнее [c.60]

Формула (6.8) и вытекающие из нее выражения для компонент напряжения и смещения показывают, что этот случай (т. е. случай кратных -корней уравнения (6.7)) представляет собой почти полную аналогию со случаем изотропного тела, и поэтому его обычно исключают из рассмотрения. [c.68]

А. Хааром и Т. Карманом, получил определяющие уравнения для идеально пластического тела в виде конечных соотношений связи тензоров напряжения и деформаций. А. Надаи обобщил эти уравнения Генки на случай изотропного тела с упрочнением. Как и в работе Генки, границы применимости конечных уравнений связи тензоров напряжения и деформации для описания пластичности при этом четко не определялись. Ясность в этом вопросе была достигнута позднее, после появления в сороковых годах ряда работ А. А. Ильюшина (см. п. 2.5.). [c.81]

В физических неизотропных телах (кристаллы) наблюдается обычно большая или меньшая симметрия строения, благодаря которой число упругих постоянных значительно сокращается мы здесь рассмотрим только случай изотропного тела, упругие свойства которого одинаковы во всех направлениях. Для такого тела уравнения (3.28) не должны меняться при каких бы то ни было преобразованиях координат. Исходя из этого, легко сократим число упругих постоянных до 9, если примем во внимание правило о знаке сдвига ( 10) из этого правила следует, что сдвиг (например, е у) сохраняет свою [c.83]

В заключение следует указать, что поскольку для следующих закону Гука анизотропных тел самого произвольного типа удельная энергия деформации является однородной квадратичной формой от компонентов деформации, для них остается справедливым ряд положений, доказанных ранее для линейно упругих изотропных тел. В частности, остается справедливой формула (12.6) и вытекающая из нее теорема Клапейрона (13.4), а также обобщение этой теоремы (13.3). Остается справедливой и теорема взаимности работ (что было показано в 15) и сохраняются в силе рассуждения при доказательстве теоремы единственности. Рассмотрение задач теории упругости анизотропных тел (в классической постановке) производится аналогично случаю изотропных тел, только при выражении напряжений через деформации приходится пользоваться не формулами (6.2) или (6.6), а более сложными линейными зависимостями (19.2), причем в последних (оставаясь в рамках допущений классической теории упругости) надо положить В дальнейшем заниматься [c.227]

Как уже упоминалось выше, форма интерференционной кривой не зависит от формы границ колеблющегося тела, так что последнее можно считать бесконечно протяженным. Таким образом, собственными колебаниями можно считать все плоские волны, проходящие через кристалл в любом направлении. Рассмотрим плоские волны, соответствующие одной частоте и распространяющиеся во всех направлениях. Длины этих волн будут неодинаковыми, и полярная диаграмма длин волн будет отображать симметрию и упругие свойства кристалла. Только для случая изотропного тела фазовая поверхность этих волн имеет форму сферы для кристаллических тел получаются поверхности высших порядков. [c.357]

Формулы (6.29) выражают обобщенный закон Гука для изотропного тела, т, е. зависимость между линейными дес]юрмациями и главными напряжениями в общем случае трехосного напряженного состояния. Заметим, что сжимающие напряжения подставляют в эти формулы со знаком минус . Из формул (6.29) легко получить формулу закона Гука для плоского напряженного состояния. Например, для случая 02 = О [c.177]

Возвратимся к случаю изотропного и однородного тела. Будем рассматривать малые деформации. [c.513]

Громадное большинство оптически изотропных тел обладает статистической изотропией изотропия таких тел есть результат усреднения, обусловленного хаотическим расположением составляющих их молекул. Отдельные молекулы или группы молекул могут быть анизотропны, но эта. микроскопическая анизотропия в среднем сглаживается случайным взаимным расположением отдельных групп, и макроскопически среда остается изотропной. Но если какое-либо внешнее воздействие дает достаточно ясно выраженное преимущественное направление, то возможна перегруппировка анизотропных элементов, приводящая к макроскопическому проявлению анизотропии. Не исключена возможность и того, что достаточно сильные внешние воздействия могут деформировать даже вначале изотропные элементы, создавая и микроскопическую анизотропию, первоначально отсутствующую. По-види-мому, подобный случай имеет место при одностороннем сжатии каменной соли или сильвина (см. 142.) Достаточные внешние воздействия могут проявляться и при механических деформациях, вызываемых обычным давлением или возникающих при неравномерном нагревании (тепловое расширение и закалка), или осуществляться электрическими и магнитными полями, налагаемыми извне. Известны даже случаи, когда очень слабые воздействия, проявляющиеся при течении жидкостей или пластических тел с сильно анизотропными элементами, оказываются достаточными для создания искусственной анизотропии. [c.525]

Случай постоянного коэффициента Пуассона. Рассмотрим граничную задачу теории ползучести для однородного изотропного тела, когда коэффициенты поперечного сжатия для упругой деформации VI t и деформации ползучести Та t, т) одинаковы и [c.277]

Устойчивость трещины в сплошной среде можно исследовать при помощи принципа виртуальных перемещений. Для применения этого энергетического принципа не обязательно конкретизировать свойства сплошной среды. Тело может быть изотропным или анизотропным, упругим или неупругим, линейным или нелинейным, фактически оно может быть даже твердым или жидким (как, например, в работе [16]). Поэтому ограничимся детальным обсуждением случая твердого тела. Для твердого тела, содержащего трещину (рис. 3), энергетический принцип для виртуального увеличения площади трещины А утверждает, что [c.214]

На основе такого предположения мы можем заключить, что в случае сильно нелинейно неупругого поведения для вычисления левой части неравенства (26) можно использовать линейно упругое приближение. Заметим, что, поскольку других предположений не делалось, аппроксимация соотношениями линейной упругости применима к общему случаю анизотропного неоднородного материала при условии, разумеется, использования анизотропного линейно упругого анализа. При этом необходимо помнить, что большинство оценок освобожденной упругой энергии основано на прямолинейном распространении трещины и применимо только для такого вида неустойчивости трещины. Так как подобный вид роста трещины наблюдается главным образом в изотропных телах, в анизотропных композитах он встречается отнюдь не часто. Действительно, прямолинейное распространение трещины наблюдалось только при особых условиях [71]. [c.226]

Сферическая частица радиуса а, являющаяся изотропным телом, представляет вырожденный случай, когда главные сопротивления равны и все направления соответствуют собственным векторам. Из закона Стокса имеем Ki = бяа, откуда [c.194]

Представляют особый интерес геликоидально изотропные тела, которые обсуждаются далее в разд. 5.5 (случай 10). Для этих тел характерно, что тензор К изотропен и что Со и Qq изотропны в центре реакции, т. е. [c.206]

Случай 4. Сферически изотропные тела [c.216]

Сферически изотропные тела (см. разд. 5.5, случай 4) с однородной плотностью не только обладают свойством устойчивого падения при любой ориентации нейтральная устойчивость по терминологии теории плавучести [4]), но также изотропны по отношению к поступательному движению. Тела такого типа поэтому будут всегда падать вертикально со скоростью [c.230]

Граничные условия определяют вид решения для каждого конкретного случая. Уравнение имеет простое решение в случае непрерывного и постоянного линейного источника тепла бесконечной длины в бесконечном изотропном теле [7]. [c.300]

Как известно, трансверсально изотропным телом называется такое тело, через каждую точку которого можно провести плоскость перпендикулярно одной и той же линии так, что механические свойства в этой плоскости не зависят от направлений. Все направления в плоскости и направление, перпендикулярное к ней, являются главными направлениями анизотропии. Листовой материал иногда является трансверсально изотропным, так как механические свойства в различных направлениях в плоскости листа одинаковы и отличаются от механических свойств в направлении, перпендикулярном плоскости листа. Если принять за плоскость, в которой механические свойства в различных направлениях одинаковы, плоскость ху, то тогда = 1 и согласно (1.68) Rx = = Ry = R. Для того чтобы установить связь коэффициента анизотропии R y с коэффициентом R, получим величину эквивалентного напряжения для случая растяжения напряжением (Tv образца, ось которого V составляет с осью х угол ос. В этом случае < х = Tv OS ос Оу = sin а = 0 (T sin а os а [c.35]

X, которая составляет угол а с направлением оси симметрии X и лежит в плоскости ху. В соответствии с формулами (2.6) на этом рисунке изображены деформации Вх , у и Удг у. На рис. 2.3, б показан случай чистого сдвига при такой же ориентации осей. Деформации при одноосном растяжении и при чистом сдвиге, схематически показанные на рис. 2.3, значительно сложнее, чем деформации изотропных тел, и это следует учитывать при рассмотрении свойств анизотропных материалов. В некоторых направлениях величина р, может иметь отрицательные значения. Отрицательные значения р в некоторых направлениях экспериментально наблюдались для кристаллов пирита, для прессованной березы и для нескольких пород натуральной древесины. При отрицательных значениях р поперечные размеры растягиваемого образца увеличиваются. Это явление поясняется на рис. 2.3, в, где изображены деформации элемента ортотропного материала при [c.31]

Приведенные выше формулы теории напряженного и деформированного состояния применимы как для упругих, так и неупругих тел. Для решения контактных задач необходимо знать количественные зависимости между напряжениями и деформациями. Рассмотрим их для случая линейно упругих, изотропных тел. [c.96]

При с>Ь эллипсоид сдвинут по гидростатической оси в сторону отрицательных а. В этом случае при а=0 имеет место, разрыхление. При а = — с на экваторе эллипсоида скорость объемной деформации равна нулю. Отсюда видно, ЧТО случай о О реализуется в порошках и порошковых телах, разрыхляющихся при чисто сдвиговых напряжениях. В пористых изотропных телах, имеющих равные пределы текучести на равносторонние растяжение и сжатие, с = 0. [c.21]

Рассмотрим случай изотропного тела при v= onst. Уравнение для /fr имеет вид [c.104]

В дальнейшем ограничимся при решении задач лишь случаем изотропного тела. Этот случай имеет большое практическое значение. Такие материалы, как литое железо и сталь, по их свойствам в пределах упругости можно без значительных погрешностей принимать за изотропные. Зависимость между напряжениями и деформациями в этом слзгчае выражается посредством двух упругих постоянных, и мы ее без затруднения устцровим, если сделаем следующее вполне естественное допущение. Положим, что в случае изотропного материала направления главных напряжений совпадают в каждой точке с направлениями главных деформаций и, следовательно, угол между двумя взаимно перпендикулярными площадками искажается лишь в том случае, если есть соответствующие касательные напряжения. Выделим из тела плоскостями, нормальными к главным напряжениям, бесконечно малый прямоугольный параллелепипед. В силу сделанного допущения углы этого параллелепипеда при деформации не искажаются и полное изменение формы выделенного элемента определяется тремя главными деформациями вхх, вуу и е (координатные оси х,у, г направим параллельно главным напряжениям в рассматриваемой точке). Соответствующие им напряжения будут Хх, У у и Согласно обобщенному закону Гука каждая из составляющих напряжения представляется линейной функцией составляющих деформации. Например, Хх можно представить в таком виде [c.45]

Мы видим, что рассматриваемый случай значительно сложнее, чем случай изотропного тела, так как здесь приходится иметь дело с функциями двух различных комплексных переменных, изменяющихся в двух различных областях. Однако и в рассматриваемом случае удается получить решения граничных задач при помощи методов, аналогичных изложенным в основном тексте книги, но более сложных. Ряд важных результатов в этой области принадлежит С. Г. Лехницкому, С. Г. Михлину, Г. Н. Савину, Д. И. Шерману и др. [c.604]

В рассматриваемом случае, в отличие от случая изотропного тела, приходится иметь дело с аналитическими функциями двух различных комплексных переменных 21 и 22, изменяющихся в двух различных областях (легко видеть, что переменные 21 и 22 связаны между собой аффинным, ао неаналитическим преобразованием). Это обстоятельство, вообще говоря, осложняет решение граничных задач (класс эффективно решаемых граничных задач в случае анизотропного тела значительно уже, чем для изотропного тела). Однако и в случае анизотропного тела удается получить решения граничных задач при помощи методов теории функций комплексного переменного. Ряд важных результатов в этом направлении принадлежит С. Г. Лехницкому, С. Г. Михлину, Г. Н. Савину, Д. И. Шерману и др. [c.68]

Ограничимся сначала простейшим случаем, когда можно принять, что единственной двихкущей силой направленной диффузии является градиент концентрации диффундирующих атомов, и рассмотрим изотропное тело, все участки которого находятся в одинаковых (не считая не-одпородпостей состава) физических условиях. В этом случае опыты, проведенные па первоначальной стадии исследования процессов диффузии, привели к установлению так па.зываемого первого закопа Фика [c.235]

Рассмотрим случай плоского напряженного состояния. Если на пластинку из оптически чувствительного материала направить луч света (рис. 84), то при отсутствии нагрузки пластинка пропустит свет, не поляризуя его, как все оптически изотропные тела. В нагруженном же состоянии такая пластинка становится двоякопрелом- [c.130]

Равновесие и движение упругого твердого тела. Вывод дифференциальных уравнений для тела, обладаюи его различными упругими свойства.чи по разным направлениям. Число упругих постоянных, вообще, 21 оно уменьшается при наличии плоскостей симметрии и для изотропного тела сводится к двум. Задача о равновесии имеет только одно решение. Когда на частицы тела не действуют силы, то оно может быть в равновесии, если компоненты сжатия постоянны. Всестороннее сжатие, коэффициент упругости. Равновесие изотропных цилиндров, на поверхности оснований которых известным образом распределены давления. Продолжение вычисления для случая кругового сечения. Равновесие полого шара, на поверхности которого действует постоянное нормальное давление) [c.322]

Необходимо отметить, что приведенные выше формы записи уравнений теории упругости неоднородного изотропного тела не являются обш,епринятыми и в литературе можно найти многочисленные примеры, когда исходные уравнения имеют другой вид. В каждом конкретном случае форма записи определяется, по-видимому, как особенностями рассматриваемой задачи (форма области, характер неоднородности), так и выбранным методом решения. Так, например, в работах П. Теодореску и М. Пределеану [190, 229, 230] эти уравнения получены в форме, отвечающей принятому характеру неоднородности = оехр[/(ж)]. Там же рассмотрен случай Е= = оехр(ах+рг/). [c.37]

Таким образом, тепловой поток в изотропных телах с коэффициентом теплопроводности, являющимся функцией температуры, может вычисляться по формулам, выведенным для случая = onst, при подстановке в эти формулы среднего коэффициента теплопроводности, определенного по формуле (7.14). Если поверхности, ограждающие данное тело, являются изотермическими, то граничные условия к уравнениям (7.1) и (7.8) всегда подобны. Действительно, в этом случае на контурах системы соответственно заданы условия [c.64]

Решение указанных задач сводится в простейших случаях к совокупности задач Дирихле или смешанных задач Келдыша — Седова теории аналитических функций комплексного переменного. Процедура нахождения решения оказывается принципиально не более сложной, чем для аналогичных задач статики и стационарной динамики. Вначале выводятся общие представления решения через аналитические функции комплексного переменного для произвольного индекса автомодельности и дано описание общего метода решения. Затем метод демонстрируется на некоторых конкретных задачах из указанного класса. Рассмотрение ограничено плоскими задачами для однородного и изотропного тел, однако метод нетрудно обобщить на случай анизотропного кусочно-однородного тела, когда верхняя и нижняя полуплоскости имеют различные упругие постоянные. [c.113]

Соотношения (1.31) и (1.32) дают правило, по которому закономерности докритического роста усталостных и коррозионных трещин в условиях квазихрупкого разрушения переформулируются на произвольный случай вязкого разрушения. Например, в случае трещин отрьша в однородном изотропном теле нужно в соответствующем уравнении типа (1.23)—(1.25) величину коэффшщента интенсивности напряжений К заменить на V T/(1 - согласно формуле (1.26). Получающееся уравнение относительно F и Г согласно постулатам инвариантности и подобия будет справедливо для любых вязких разрушений. [c.23]

В своей книге по теории упругости Ламе сообщает о другом вкладе своего бывшего коллеги в эту науку, который он именует теоремой Клапейрона. Согласно этой теореме сумма произведений приложенных к телу внешних сил на компоненты смещений по направлениям этих сил в точках их приложения равна удвоенному значению соответствующей энергии деформации тела. По-впдимому, эта теорема была сформулирована Клапейроном за много времени до выхода в свет книги Ламе, и ею, вероятно, отмечается первый случай вывода общего выражения для энергии деформации изотропного тела. В 1858 г. Клапейрон был избран в члены Dpaнцyз кoй Академии наук. Он продолжал свою работу в Академии и в Школе мостов и дорог до своей смерти в 1864 г. [c.145]

В своём выводе основных уравнений теории упругости Навье (см. стр. 129) исходил из предположения, что идеально упругое тело состоит из молекул, между которыми при его деформировании возникают силы взаимодействия. При этом принималось, что силы эти пропорциональны изменениям расстояний между молекулами и действуют по направлениям соединяющих их прямых линий. Таким путем Навье удалось установить соотношения между деформациями и упругими силами для изотропных тел с введением лишь одной упругой константы. Коши (см. стр. 135) первоначально ввел две константы в зависимости между напряжением и деформацией в случае изотропии. В самом же общем случае анизотропного тела Пуассон и Коши допускали, что каждая из шести компонент напряжения может быть представлена однородной линейной функцией шести компонент деформации (обобщенный закон Гука). В эти функции входило 36 постоянных. Положив в основу физического истолкования явления упомянутую выше молекулярнуро теорию, они снизили число постоянных для общего случая до 15. Они показали, что изотропия допускает дальнейшее снижение этого числа, так что окончательно для записи соотношений между компонентами напряжения и деформации необходима лишь одна постоянная, которую и ввел Навье. [c.262]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...