Дифференциальные уравнения движения материальной точки в простейших системах координат

Мы получили дифференциальное уравнение движения материальной точки в поле центральной силы в полярных координатах. В отличие от исходной системы уравнений (32) это уравнение (37) является уравнением первого порядка. Более того, оно легко сводится к простой квадратуре, так как переменные в нем разделяются [c.85]

Дифференциальные уравнения движения материальной точки в простейших системах координат [c.319]

Задача об интегрировании дифференциальных уравнений движения материальной точки, представляющая даже в случае одной точки некоторые трудности, становится подчас непосильной, когда приходится иметь дело с движением системы материальных точек. Силы, приложенные к отдельным точкам системы, могут зависеть от положения и движения остальных точек системы, так что правые части дифференциальных уравнений, написанных для каждой точки в отдельности, будут содержать время, координаты и проекции скорости всех точек системы. В результате вопрос сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений, что далеко не просто. [c.104]

Несравненно труднее получить решение основной задачи динамики, сводящейся к более трудной математической операции интегрирования системы дифференциальных уравнений (4.1). Для выяснения ряда принципиальных вопросов, связанных с решением основной задачи динамики, рассмотрим простейшую задачу о свободном движении материальной точки в однородном поле притяжения Земли без учета сопротивления атмосферы. Если систему декартовых координат выбрать так, как указано на рисунке 4.1, то дифференциальные уравнения движения материальной точки можно записать в виде [c.43]

Простейшим случаем задачи неподвижных центров является, очевидно, тот, когда имеется только один неподвижный центр. Приняв этот неподвижный центр за начало неизменной, декартовой системы координат и сохраняя предположения, принятые в начале 1, мы получим хорошо знакомые дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки, находящейся под действием центральной силы [c.194]

Для математического оформления задачи необходимо выбрать систему координат. Хотя в принципиальном Рис. 6,1. отношении выбор координатной системы безразличен, неудачный выбор координат практически может сильно затруднить выкладки н истолкование полученного решения. Необходимо стремиться к тому, чтобы проекции силы на выбранные оси выражались наиболее просто, для чего можно оси ориентировать так, чтобы большее число сил было им либо параллельно, либо перпендикулярно, В данной задаче одну из осей декартовой прямоугольной системы следует направить вертикально вверх, так как сила тяжести направлена по вертикали. Тогда плоскость Оху расположится на поверхности Земли. Для упрощения записи начальных условий начало координат поместим в точке, лежащей на одной вертикали с точкой, из которой начинает двигаться материальная точка. Ось Ох направим так, чтобы вектор начальной скорости совпадал с плоскостью Охг Проекции силы на выбранные оси будут Рх = Ру = О, Р = —mg. Ньютоновы дифференциальные уравнения движения (6.2) для нашей задачи имеют вид [c.89]

Получили систему из п векторных уравнений. Проецирование этих уравнений на оси декартовых координат приводит к Зп дифференциальным скалярным уравнениям движения системы. Эти уравнения позволяют в принципе, как и в динамике точки, решать две основные задачи определять силы по заданному движению системы и определять движение системы по заданным силам. Но на практике при решении- второй задачи динамики системы возникают большие математические трудности и ее точные решения для системы из трех и более материальных точек неизвестны. Поэтому большое значение приобретают общие теоремы динамики системы, позволяющие просто [c.130]

Дифференциальные уравнения движения свободного твердого тела. Пусть требуется найти движение свободного твердого тела относительно неподвижной системы координат OaXYZ. Согласно теореме Шаля (п. 21), любое движение твердого тела можно рассматривать как совокупность поступательного движения, определяемого движением произвольной точки тела (полюса), и движения тела вокруг этой точки как неподвижной. При описании движения полюс желательно выбрать так, чтобы его движение определялось наиболее просто. Из основных теорем динамики следует, что за полюс удобно взять центр масс. Действительно, согласно теореме о движении центра масс, последний движется как материальная точка, к которой приложены все внешние силы системы, а теоремы об изменении кинетического момента и кинетической энергии для движения вокруг центра масс (см. определение этого понятия в п. 81) формулируются точно так же, как и для движения вокруг неподвижной точки. [c.214]

Уравнения движелоа. Дифференциальные уравнения движения в задаче л тел имеют наиболее простую форму в том случае, когда эти уравнения написаны в прямоугольных координатах, а начало координат лежит в центре масс всей системы л материальных точек. В этом случае уравнения движения имеют следующий вид [c.284]

В механике космического полета задачей двух тел называют определение параметров движения материальной точки в гравитационном поле центрального тела. Для описания этого движения в абсолютной системе координат достаточно знать шесть параметров координаты и состав.чяющие скорости по осям системы координат. Их можно получить с помощью интегрирования дифференциальных уравнений. Однако невозмущенное кеплеровское движение более просто описывается уравнениями с помощью специально выбранных величин, Называемых элементами орбиты. При этом выражения, описывающие движение, приобретают вид конечных формул, а сами элементы остаются посгояннымн. Для замкнутых орбит ИСЗ эти элементы называют также эллиптическими элементами, К числу их относят следующие три элемента ориентации орбиты (рис. 2.11) [c.65]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...