Случаи интегрируемости

ЗАДАЧА О ВРАЩЕНИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ неподвижной точки. СЛУЧАИ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ [c.481]

Интегрирование системы нелинейных дифференциальных уравнений (14) и (15) при общих начальных условиях (16) — задача чрезвычайно трудная. Она в общем случае начальных условий не решена даже тогда, когда внешними силами являются только сила тяжести самого тела и реакция закрепленной точки. Для тяжелого твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, в трех случаях была указана система первых интегралов дифференциальных уравнений, из которых неизвестные углы Эйлера в зависимости от времени определяются в квадратурах, т. е. путем вычисления интегралов. Эти частные случаи называют случаями интегрируемости уравнений Эйлера. [c.481]

Случай Ковалевской. Долгое время не удавалось указать других случаев интегрируемости, пока русский математик С. Ковалевская, участвуя в конкурсе, объявленном Французской академией наук, не открыла еще один, получивший название случая Ковалевской. В случае Ковалевской J = Jц = г- Закрепленная точка располагается на оси симметрии Oz, а центр масс находится в экваториальной плоскости эллипсоида инерции (плоскости Оху) для неподвижной точки тела. [c.482]

Астатическим (или уравновешенным) гироскопом называют гироскоп с неподвижной точкой в центре масс, если на него действуют только сила тяжести и реакция неподвижной точки. В астатическом гироскопе имеем соединение двух случаев интегрируемости — [c.483]

Уравнение прямолинейного движения. Простые случаи интегрируемости. Возьмем частный случай, когда движение прямолинейно, и примем прямую, описываемую точкой, за ось Ох. Уравнение движения будет [c.281]

Имеются и другие случаи интегрируемости при частных начальных условиях. Изложение их см. в книге Суслов, Теоретическая механика. (Прим, пер.) [c.188]

К сожалению, уравнение годографа удается проинтегрировать в конечном виде только при весьма частных предположениях относительно вида функции f v). Классическими являются случаи интегрируемости, указанные Даламбером в 1744 г. ), [c.100]

При средствах современного анализа мы не сможем проинтегрировать эту систему в элементарной форме, по крайней мере до тех пор, пока не добавим подходящих ограничительных предположений о распределении масс в твердом теле. В 9 мы дадим некоторые исторические указания относительно многочисленных исследований, посвященных, начиная с Эйлера, этой интересной проблеме и имеющих своей целью прежде всего открытие все новых и новых случаев интегрируемости. Один особенно простой и важный также для приложений случай мы будем рассматривать несколько более подробно в 6. [c.102]

Предыдущий анализ, учитывая все обстоятельства, дает все случаи интегрируемости, как абсолютные, так и относительные. Первые отвечают предположению Я = О, вторые требуют, чтобы Я была отлична от нуля. Предположение [c.341]

Интегрируемые случаи. Интегрируемыми случаями называются такие, когда интеграл уравнения может быть выражен с помощью элементарных функций и их неопределённых интегралов (интегрирование уравнения сведено к квадратурам). [c.222]

Остановимся вначале на случаях интегрируемости в квадра-турах широкого класса дифференциальных уравнений первого порядка, разрешимых относительно производной. Независимую переменную будем обозначать через х, а зависимую через у. [c.42]

Наконец, все более становилось очевидным, что нужен также и новый подход к решению возникших задач. Действительно, пока внимание исследователей сосредоточивалось на изыскании новых случаев интегрируемости уравнений движения твердого тела, механическая модель изучаемой системы оставалась одной и той же. Она была определена еще Эйлером одно твердое тело, неподвижная точка, равномерное гравитационное поле. Этой модели соответствовали определенные уравнения движения. Задача сводилась к отысканию точных математических решений при различных соотношениях параметров уравнений и различных начальных условиях. [c.143]

Случаи интегрируемости в задаче Гюльдена были выделены впервые в 1893 и 1902 гг. И.В. Мещерским (их иногда называют законами Мещерского ). Это случай М 1) = шо/(1 + а ) и более общий случай [c.41]

С л ё 3 к и н Н. А,, Об одном случае интегрируемости полных дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости, Учёные записки МГУ вып, II, 1934. [c.150]

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СЛУЧАИ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ УРАВНЕНИИ ЛАГРАНЖА [c.348]

В 1888 г. первая русская женщина-математик Софья Васильевна Ковалевская (1850—1891), прославившая своими замечательными трудами русскую науку, написала научную работу, в которой рассмотрела новые случаи интегрируемости уравнений движения твердого тела около неподвижной точки. За эту работу Французская Академия паук присудила С. В. Ковалевской премию. [c.8]

Нахождение частных решений и интегрируемых случаев гомографические решения в задаче трех тел и общие (а также многочисленные частные) случаи интегрируемости в динамике твердого тела. Задача о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки намного богаче интегрируемыми случаями, и она в этом смысле ближе к интегрируемой, чем задача трех тел. А это приводит к тому, что сложнее доказать ее неинтегрируемость. [c.12]

Один интеграл всегда существует — это интеграл энергии. Таким образом, для полной интегрируемости уравнений на h достаточно знать еще один независимый интеграл. Перечислим известные случаи интегрируемости. Как уже отмечалось, задача о тяжелом волчке содержит шесть параметров три собственных значения оператора инерции I, l2,h и три координаты центра масс b 2i 3 относительно его собственных осей. [c.89]

Динамика твердого тела изучается на основе общих теорем об изменении кинетической энергии, кинетического момента и количества движения, а также с помощью основных понятий геометрии масс. Показывается, что аппарат динамики системы материальных точек применим для описания движения твердого тела и систем твердых тел. Проясняется вычислительная экономность использования уравнений Эйлера. Традиционно анализируются случаи Эйлера-Пуансо, Лагранжа-Пуассона, Ковгияевской [24]. В качест)зе примера методики по.чучения частных случаев интегрируемости приводятся случаи Гесса и Бобылева-Стеклова [6]. С целью демонстрации приложения развитых методов к практике даются основы элементарной теории гироскопов [14, 41], достаточные для качественного анализа действия гироскопических приборов. [c.12]

В гл. VI Динамика твердого тела , кроме трех классических случаев интегрируемости, включены некоторые частные случаи (Гесса, Бобылева — Стеклова и Чаплыгина). [c.6]

Добавим еще, что сам Штеккель и другие указали дальнейшие случаи интегрируемости способом разделения переменных и что даже был установлен критерий классификации всех типов возможных динамических задач, интегрируемых этим методом i). Действительное определение этих типов впервые и исчерпывающим образом было выполнено при я = 2 Морера а позднее было дополнено для я = 3 Даль-Аква (Dall A qua) З). [c.345]

При отыскании случаев интегрируемости уравнений динамики совершенно новая идея была внесена в аналитическую механику К. Вейерштрассом. Рассматривая задачу о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки, он поставил вопрос о том, когда уравнения этой задачи могут быть проинтегрированы в мероморфных функциях времени Подобное применение теории функций комплексного переменного к аналитической механике сразу дало существенные результаты работы С. В. Ковалевской, открывшей новый случай интегрируемости уравнений Эйлера, и работы П. Пенлеве по интегрируемости уравнений второго порядка, приведшие к открытию семейств новых трансцендентных аналитических функций. [c.24]

В связи с тем, что в случаях Лиувилля и Штеккеля возможность решения задачи в квадратурах связана с существованием квадратичного относительно обобщенных скоростей первого интеграла, были предприняты исследования условий, при которых динамические уравнения движения системы допускают подобные интегралы. В этом направлении в конце XIX в. ряд результатов получили Г. Пирро, П. Пенлеве, Т. Леви-Чивита Ж. Адамар 103 и П. Бургатти нашли новые случаи интегрируемости уравнений движения материальной системы (при наличии квадратичных относительно обобщенных скоростей первых интегралов), из которых ранее известные вытекают как частные случаи. Однако до настоящего времени не доказано, что эти случаи интегрируемости явля10тся самыми общими. Работы на эту тему появлялись [c.103]

Со времен Эйлера, Лагранжа, Лапласа и Якоби, которые обнаружили не- jqq которые случаи интегрируемости дифференциальных уравнений задачи трех тел в конечном виде, уже на протяжении последних двух столетий не перестает быть актуальным вопрос об обобщении этих решений и нахождении в рассматриваемой задаче, при различных законах взаимодействия, таких частных случаев, когда возможно решение в квадратурах или, по крайней мере, понижение порддка системы дифференциальных уравнений движения. [c.109]

Впервые общая картина поведения различных гироскопических систем с быстро вращаюищмся симметричным ротором была, как уже упоминалось, обрисована в классических докладах Л. Фуко, а затем — в фундаментальной монографии В. Томсона и П. Тэта. Следующим шагом в развитии механики гироскопических устройств, позволившим перейти к количественному изучению их движения, был четырехтомный труд Ф. Клейна и А. Зоммер-фельда . Наряду с подробным изложением случаев интегрируемости уравнений движения твердого тела здесь впервые четко формулируется понятие <бкстрого динамически симметричного гироскопа, указывается, что он может совершать псевдорегулярную и вынужденную прецессию, и даются обоснованные количественные оценки угловых ошибок, с которыми следует Считаться, полагая, что вектор кинетического момента гироскопа совпадает с осью его фигуры, т. е. пользуясь допущением прецессионной теории. Авторы впервые изучают влияние трения в опоре и сопротивления среды на движение быстро вращающегося гироскопа. В четвертом томе этой работы имеются также результаты исследования различных конкретных гироскопических устройств, в частности, гиростабилизаторов непосредственного действия, о чем будет сказано особо. [c.168]

H. A. Слезкин. Об одном случае интегрируемости полных дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости.— Уч. зап. Моск. ун-та, 1934, т. 2, стр. 89—90. [c.295]

Эддингтона-Лжинса. По современным оценкам величина показателя п находится в пределах от 1,4 до 4,4. Случаям интегрируемости И.В. Мещерского отвечают значения п = 2 и п = 3. Надо отметить, что в наше время были найдены и другие случаи интегрируемости уравнений движения в задаче двух тел. Б.Е. Гельфгат нашел два способа построения решений при п = 0ип=1,5, а затем рассмотрел строгие решения для обобщенной задачи двух тел. С помощью теории непрерывных групп были исследованы случаи сведения нестационарной задачи Гюльдена к стационарной форме путем преобразования Куммера-Лиувилля [c.42]

Получены общие и частные случаи интегрирования уравнений движения заряженного твердого тела в потенциальном силовом и однородном магнитном полях. При движении заряженного твердого тела в силовом поле, являющемся суперпозицией трех полей" поля Бруна, электрического и магнитного полей, когда вектор напряженности магнитного поля Н не совпадает с осями симметрии электрического поляки поля Бруна, найдены новые случаи интегрируемости уравнений движения. [c.127]

Отыскание случаев интегрируемости уравнений динамики было в основном делом XIX в. Якоби, Лиувилль, Ковалевская и др.). Но с появлением работ Пуанкаре стало ясно, что уравнения динамики в общем случае неинтегрируемы интегралы не только неизвестны, но и не существуют вовсе, так как траектории в целом не ложатся на инвариантные многообразия [9]. [c.35]

Замечание 2. В рассматриваемой задаче известен ряд частных случаев интегрируемости [36]. В основном это периодические решения, выраженные в конечном виде через известные функции. Некоторые из них (например, решения Бобылева-Стеклова) при малых значениях параметра ц представляют собой частные случаи периодических решений, существование которых доказывается теоремами 1 и 2. [c.85]

В случае, разобранном С. В. Ковалевской, так же как и в ранее известных, система уравнений движения имеет дополнительный первый интеграл, что и обеспечило возможность их интегрирования в квадратурах. При этом оказалось, что в некоторых естественных переменных переменные Эйлера-Пуассона) во всех случаях интегрируемости дополнительные интегралы являются многочленами, так же как и классические первые интегралы. Таким образом, общее решение представляется мероморфными функциями времени как раз в тех случаях, когда существует новый алгебраический интеграл. Этот результат, естественно, поставил общую задачу о связи между существованием алгебраических интегралов аналитических систем дифференциальных уравнений и мероморфностью общего решения. На важность этой задачи впервые обратил внимание Пенлеве [41]. [c.126]

В динамике твердого тела усилиями Д. Н. Бобылева, В. А. Стеклова, С. А. Чаплыгина, Д. Н. Горячева и других исследователей были найдены несколько частных случаев интегрируемости . Речь идет о частных точных решениях, которые удается найти с помощью квадратур. Траектории этих решений, как [c.17]

В случае несовпадения чисел aj, а2 и аз интеграл F4 был найден В. А. Стекловым. При ai = а2 аз из (5.6) и (5.7) вытекает, что 61 = 62 и l = С2 это — случай интегрируемости Кирхгофа. Если, наконец, ai = а2 = аз, то формулы (5.8) дают тривиальный вырожденный случай. Однако, как заметил А. М. Ляпунов, здесь в качестве гамильтониана надо взять функцию Л 4, Л = onst добавочным интегралом будет, очевидно Fj. Поэтому случаи интегрируемости Стеклова и Ляпунова также двойственны друг другу. [c.92]

Соответствующие уравнения Гамильтона описывают движение материальной точки но евклидовой плоскости = х, у] в силовом поле с потенциалом третьей степени. Среди таких систем находится уже известная нам система Хенона—Хейлеса [а = Ь = = -е = 1). Перечислим известные случаи интегрируемости. [c.93]

Уравнения вида (9.9) встречаются при интегрировании многих задач классической механики. Примерами служат случаи интегрируемости Ковалевской, Клебша и Ляпунова — Стеклова из динамики твердого тела (см. 5). Причем, в отличие от задачи Горячева— Чаплыгина, в этих случаях фазовые переменные являются однозначными функциями на якобиане римановой поверхности рода 2. [c.115]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...