Маятник сложный

Два твердых тела могут качаться вокруг одной и той же горизонтальной оси как отдельно друг от друга, так и скрепленные вместе. Определить приведенную длину сложного маятника, если массы твердых тел М и М2, расстояния от их центров тяжести до общей оси вращения й и й2, а приведенные длины при отдельном качании каждого 1 и /2- [c.284]

Решение. 1. Если точка привеса математического маятника движется, то абсолютное движение маятника является сложным. Свяжем подвижную систему [c.84]

Совпадение результатов свидетельствует, что даже в такой достаточно сложной динамической системе, как баллистический маятник, связи можно считать идеальными при ударе.О [c.438]

Наиболее простым примером сложной системы, состоящей из трех парциальных систем, могут служить три связанных друг с другом одинаковых маятника (рис. 159). Система обладает тремя нормальными частотами колебаний, если считать, конечно, что маятники могут совершать колебания только в вертикальной плоскости, проходящей через их точки подвеса. [c.197]

Линеаризуя уравнение равновесия и рассматривая малые значения угла ф, мы, естественно, всего многообразия форм равновесия охватить не можем. Мы смотрим на эту сложную картину как бы через узкую вертикальную щель, открывающую нам поле зрения вблизи оси ординат. И через эту щель видим только вертикальную ось, точки которой соответствуют положению вертикального маятника, и тот кусочек кривой, которая ее пересекает. В линейном приближении пересекающая кривая рисуется нам как горизонтальная прямая. Поэтому угол ф при линейном подходе остается неопределенным. Он может быть любой малой величиной. [c.124]

Пример 4. В сложном маятнике, изображенном на рис. 7, В равновесном положении коромысло ВО] горизонтально, а коромысло СО.] и стержень АВ вертикальны. К концу стержня АВ прикреплен цилиндр весом 0. [c.14]

Таким образом, кроме исключительных случаев очень большой относительной скорости (движение снарядов и гироскопов) или действия сложной центробежной силы в течение долгого времени в одну сторону (движение маятника Фуко), этой силой можно пренебречь и принимать во внимание только силу инерции переносного движения. [c.213]

Мы пользуемся здесь общепринятым в советской и зарубежной литературе термином физический маятник вместо употребляемого автором термина сложный маятник. (Прим, ред.), [c.74]

СЛОЖНЫЙ СФЕРИЧЕСКИЙ МАЯТНИК [c.149]

Сложный сферический маятник. — Мы предполагали до сих пор, что твердое тело есть тело вращения. [c.149]

Рассмотрим теперь более общий случай, когда эллипсоид инерции относительно неподвижной точки имеет три неравные оси и когда центр тяжести тела занимает произвольное пола-жение относительно этих осей. Будем называть такое тяжелое твердое тело, имеющее одну неподвижную точку, сложным сферическим маятником. [c.149]

Дифференциальные уравнения движения сложного сферического маятника. — Как и прежде, возьмем три главные оси инерции Ох, Оу и Ог относительно неподвижной точки О в качестве подвижной системы осей, связанной с телом. Пусть [c.149]

С этой целью будем рассматривать р, д, г как проекции мгновенной угловой скорости тела, а )., р, V — как вспомогательные переменные, которым не будем пока приписывать никакого особого механического смысла. Тогда если а, Ь, с будут попрежнему обозначать направляющие косинусы некоторого заданного направления в теле, то уравнения (4) и (5) определят движение этого тела, обладающее замечательными свойствами. Мы изучим эти свойства, чтобы затем, переходя к пределу, применить их к бесконечно малому движению сложного сферического маятника. [c.152]

Бесконечно малое движение сложного сферического маятника. — Выведенные нами в предыдущей задаче свойства движения применяются к движению сложного сферического маятника при условии, что О), X, X, V могут рассматриваться как бесконечно малые величины, квадратами и парными произведениями которых можно пренебречь. При такой степени приближения можно заменить ось бесконечно малого вращения со бесконечно близкой к ней осью. Поступая так, мы можем заменить вращение вокруг оси ОГ вращением вокруг вертикали, плоскость, сопряженную с ОГ,—плоскостью, сопряженной с вертикалью, и плоскости, проходящие через ОГ и содержащие [c.156]

Бесконечно малое движение сложного сферического маятника представляет собой комбинацию трех одновременных простых движений вращения с бесконечно малой постоянной угловой скоростью вокруг вертикали а двух бесконечно малых колебательных движений вокруг двух осей, наклоненных друг к другу и неподвижных в теле. Эти две оси лежат соответственно в двух взаимно перпендикулярных вертикальных плоскостях и обе расположены в плоскости, сопряженной с вертикалью в эллипсоиде инерции относительно неподвижной точка. [c.157]

Более удобен для наблюдения известный эксперимент с маятником Фуко. Если поместить маятник на Северном полюсе и дать ему качаться в некоторой плоскости неподвижного про-странства, то проекция его количества движения на перпендикуляр к этой плоскости будет равна нулю, и он будет продол жать качаться в этой неизменной плоскости, хотя Земля будет под ним поворачиваться. Поэтому наблюдателю, находящемуся на Земле, плоскость его колебания будет казаться поворачивающейся со скоростью одного оборота в сутки. На других широтах это явление будет протекать более сложно, однако качественная картина останется такой же. Более подробное исследование этого явления мы предоставляем читателям в качестве упражнения. [c.159]

Гюйгенс увидел, что этот центр не может быть определен строго математически, если неизвестен закон, согласно которому различные грузы сложного маятника взаимно изменяют те движения, которые сила тяжести стремится им сообщить в каждое мгновение однако вместо того чтобы вывести этот закон из основных положений механики, он ограничился применением косвенного положения, которое заключается в следующем если несколько грузов, прикрепленных любым образом к маятнику, опускаются исключительно под действием тяжести и если представить себе, что в некоторый момент они освобождены и отделены друг от друга, то каждый из них под влиянием полученной [c.305]

ИМ при падении скорости сможет подняться на такую высоту, что общий центр их тяжести достигнет той же самой высоты, с какой он перед этим опустился. Правда, Гюйгенс не установил этого положения непосредственно, а вывел его из двух гипотез, которые, по его мнению, следовало допустить в качестве постулатов механики. Одна из этих гипотез заключается в том, что центр тяжести системы тяжелых тел никогда не может подняться на высоту, большую той, с которой он упал, как бы мы ни изменяли взаимное расположение тел, ибо в противном случае стало бы возможным непрерывное движение вторая гипотеза заключается в том, что сложный маятник всегда сам собою способен подняться на такую же высоту, с какой он свободно опустился. Сверх того, Гюйгенс отмечает, что это же положение имеет место при движении тяжелых тел, связанных между собою каким угодно образом, а также при движении жидких тел. [c.306]

Достаточно, стало быть, определить движение единственного слоя, и данная задача в некотором отношении оказывается аналогичной задаче о движении сложного маятника. Подобно тому как, согласно теории Якова Бернулли, движения, приобретенные и потерянные в любое мгновение различными грузами, из которых состоит маятник, взаимно уравновешивают друг друга на рычаге, так и в трубе должно существовать равновесие между различными слоями жидкости, из которых каждый находится под действием приобретенной или утраченной в каждое мгновение скорости отсюда путем применения уже известных принципов равновесия жидкостей можно было бы тотчас же определить движение жидкости в трубе, подобно тому, как было определено движение сложного маятника. Однако человеческая мысль не всегда приходит к истинам наиболее простыми и наиболее прямыми путями разительный пример зтого дает рассматриваемый нами вопрос. [c.305]

П р и м Е р 2. Случай двойного маятника, изображенного на фиг. 64, стр. 176, вряд ли является более сложным. При обозначениях, введенных в 68, кинетическая [c.286]

В качестве простейшего примера предыдуш ей теоремы рассмотрим два маятника, сколь угодно сложных, но подобных по своей геометрической и материальной структуре, и разыщем отношение соответствующих продолжительностей 1 и Т их колебаний. [c.363]

В дальнейшем (гл. VII, 2) мы рассмотрим случай так называемого физического или сложного маятника, когда учитывается и вес стержня. [c.36]

Получение решений системы уравнений (1) часто оказывается очень сложным делом. Поэтому надо искать какие-то пути, упрощающие исследование движения. Например, в 2 показано, что наличие одной циклической координаты позволяет понизить порядок системы (1) на две единицы. Это указывает на то, что удачный выбор обобщенных координат может существенно облегчить исследование движения, а иногда позволяет провести его во всей необходимой полноте. С такой ситуацией мы встретились в п. 165 при анализе движения сферического маятника. [c.337]

Вообще круг задач, которые возникают при изучении различных режимов движения, даже такой сравнительно простой системы, как обычный маятник, чрезвычайно широк, однако далеко не всегда методы решения этих задач и полученные при этом результаты могут быть применены к более сложным системам. В следующей главе мы остановимся на этом вопросе подробнее, а сейчас обратимся к составлению уравнения вынужденных колебаний механизма, работающего в условиях вибрации стойки. [c.128]

Ответ у = 1,5- - 0,0008 sin 0,8ях. 21.8(21.8). Определить уравнения траектории сложного движения конца двойного маятника, совершающего одновременно два взаимно перпендикулярных гармонических колебания равной частоты, но разных амплитуд и фаз, если равненля колебаний имеют вид х = а sin( u/а), у = b(sin (OI Р). [c.152]

Изученные выше характерные особенности простейших законов движения часто встречаются как элементы фазового портрета более сложных движений. Проиллюстрируем это, построив фгюовый портрет математического маятника. [c.225]

Уравнение (11. 242) определяет переменную амплитуду a i) колебаний маятника. Но оно сложнее уравнения (И. 231Ь). Поэтому им надо пользоваться лишь для приближенного определения a(t). Еще раз напомним, что приближенное значение амплитуды зависит от предварительного определения (U формулой (11.241). Прежде чем перейти к упрощению уравнения (11.242) преобразуем его. [c.289]

Большая точность при абсолютных измерениях силы тяжести, как видно из всего сказанного, требует весьма сложных п кропотливых измерений. Поэтому производство большого числа абсолютных измереинй весьма затруднительно. Для получения большого числа данных применяется метод относительных измерений силы тяжести. Этот метод основан на измерении периода, с которым одип и тот )ке маятник колеблется в различных точках земного шара. Из сопоставления периодов определяется отношение g а разных точках земного н[ара. В ряде случаев (для изучения аномалий силы тяжести) этих относительных измерений вообще достаточно, Для определения же абсолютной величины силы тяжести достаточно знать абсолютное значение силы тяжести в какой-либо одной из тех точек, где произведено относительное измерение силы тяжести. [c.411]

Идея o HOiBHoro принципа динамики босходит к ученикам Иоганна Бернулли Герману и Эйлеру, первым академикам Петербургской Академии наук. В Phoronomia (1716) Герман разрешил задачу о сложном маятнике, исходя из принципа, что если движущие силы направить в противоположную сторону, то они должны находиться в равновесии с силами тяжести. [c.140]

О твет =3 1,5 4- 0.0003 in 0,8яа. 2i.8(2iS). Определить равнеиня траектории сложного движения конца двойного маятника, совершающего одновременно два взаимно перпендикулярных гармонических колебания равьой частоты, но разных амплитуд и фаз, если дразнения колебаний имеют внд х = а sin((fli -f о), у => (sin и< + Р). [c.152]

Рис. 155. Гидравлическая схема универсальной 30-тонной машины для испытаний при сложном наУружении / — мотор, 2 — неподвижные колонны, 3 — захваты на растяжение, 4 — штурвал, 5 — гибкий пал,. 6 — мессдозы, 7 — испытательный стол, 8 — захваты на сжатие, 9 — рабочий цилиндр, 10 — плунжер, Л — маслопровод к рабочему цилиндру, 12 и 13 — вентили, 14 а 15 — гибкие шланги, 16 а 17 — штурвал и рукоятки регулировки подачи масла в цилиндр, /й — иасос, 19 — бак для масла, 20 — мотор, 21 — вентиль, 22 — насос. 23 п 24 регулировка подачи масла в мессдозы, баллоны и образец, 25 — мотор, 25 — компрессор, 27 — цилиндр силоизмерителя, 28 — маятник, 29 — шкала манометра, 30 — баллон для низкого давления, 31 — вентиль, 32 — баллоны для высокого давления, 33 — вентиль, 34, 35 и 36 — манометры для измерения давления D образце, 37 а 38 — манометры для баллонов, 39 к 40 — манометры для мессдоз.

Полезно сравнить различные экспериментальные методы. В испытаниях на откол и при определении динамических диаграмм деформирования [156], волны напряжений являются одномерными, т. е. для измерения прочностных свойств материалов используются вполне определенные напряженные состояния. Однако при испытании на соударение условия нагружения определяются контактом поверхности с затупленным телом и реализуется сложное напряженное состояние, В методах Изода и Шарни нож маятника имитирует реальный удар по образцу в форме балки. Реальный характер соударения с внешним объектом имитируется и при баллистических испытаниях, воспроизводящих локальное неоднородное напряженное состояние в окрестности области контакта. Однако различная природа инициируемых напряженных состояний исключает возможность сравнения различных методов. В частности, не всегда можно сопоставить данные, полученные методами Изода и Шарпи. Кроме того, из-за малого размера образцов при большом времени контакта (например, 10" с) возникает многократное отражение импульса, что затеняет его волновую природу, проявляющуюся в больших образцах или в реальных конструкциях. Однако при баллистических испытаниях, когда используются тела диаметром порядка 2 см, движущиеся с большой скоростью, время контакта может составлять менее 5 х 10 с. При скорости волны 6 мм/мкс энергия удара в пластине концентрируется в пределах круга с радиусом, не превышающем 30 см. В пластине больших размеров можно получить меньшее число отражений, чем в малом образце. По мнению авторов, масштабный эффект является существенным при испытаниях на удар. Для экстраполяции экспериментальных данных на протяженные конструкции необходимо, чтобы помимо других параметров сохранялось постоянным отношение их1Ь, где т — время контакта, и — скорость волны, Ь — характерный размер. [c.315]

Гюйгенс, которому мы обязаны предшествующими результатами, осуществил на практике циклоидальный маятник. Известно, что эволюта циклоиды есть циклоида, равная первоначальной и смещенная на длину ак в горизонтальном напразлении и на высоту 2а вверх. Центр кривизны циклоиды, представляющей собой эвольвенту, в нижней ее точке находится в точке возврата эволюты, и соответствующий радиус кривизны равен 4а. Поэтому если подвесить тяжелую точку М на нити длиной 4а к точке возврата О эволюты (фиг. 32) и заставить ее колебаться так, чтобы нить попеременно навертывалась на обе дуги эволюты, оканчивающиеся в точках возврата эвольвенты, то тяжелая точка будет двигаться точно по эвольвенте. Однако конструкция циклоидального маятника оказывается слишком сложной, чтобы представляемые им теоретические преимущества заставили предпочесть его в практических применениях простому маятнику. [c.192]

Мы уже многократно рассматривали как примеры для объяснения общих понятий и законов механики те движения, причиной которых считают силу тяжести, рассмотрим эти движения подробнее и вначале разъясним, как измеряется сила тяжести. Для этого нам послужит наблюдение колебаний тяжелого тела, которое способно вращаться вокруг горизонтальной оси. Такое приспособление называют маятником, а именно сложным маятником — в противоположность простому маятнику, о котором мы уже говорили. Допустим, что сила тяжести — постоянная ускоряющая сила. Рассмотрим маятник как твердое тело и пренебрежем влиянием воздуха, движением Земли и трением оси вращения тогда мы сможем очень легко вычислить движение такого маятника. Положение последнего в некоторый момент определено одной переменной выберем в качестве ее угол образованный плоскостью, проходящей через ось вращения и центр тяжести маятника, и вертикальной плоскостью, проходящей через ось вращения. Согласно 5 четвертой лекции, имеем теорему площадей относительно плоскости, перпендикулярной к оси вращения, так как связи точек маятника допускают вращение вокруг нее эта теорема дает дифференциальное уравнение для такого угла. Обозначим величину силы тяжести — g, массу маятника—т, расстояние от его центра тяжести до оси вращения—s, момент инерции маятника относительно этой оси — к, таким образом получим дифференциа ное уравнение [c.69]

ЛИЧНЫХ расстояниях от точки ее подвеса, укрепить еще один или несколько грузов, то мы тогда получим сложный маятник, движение которого должно дать в известном смысле нечто среднее между движениями различных простых маятников, какие получились бы, если бы каждый из указанных грузов был подвешен на отдельной нити. В самом деле, с одной стороны, сила тяжести стремится заставить все грузы опускаться одинаково в одно и то же время, а с другой стороны, несгибаемость нити заставляет их именно в это самое время описывать неравные дуги, пропорциональные их расстояниям от точки подвеса таким образом между этими грузами должен иметь место некоторый вид компенсации и распределения их движений, так что грузы, находящиеся ближе всего к точке подвеса, ускоряют колебания более далеких, а последние, наоборот, замедляют колебания первых. Таким образом на нити должна существовать такого рода точка, что если в ней укрепить тело, то движение последнего не будет ни ускориться ни замедляться остальными грузами, и движение будет совершенно таким же, как если бы только одно это тело было подвешено на нити. Эта точка и будет истинным центром колебания сложного маятника подобный центр должен находиться и в каждом твердом теле, колеблющемся около горизонтальной оси, какую бы форму это тело ни имело. [c.305]

Для того чтобы не упустить ничего относящегося к истории задачи о центре колебания, я должен указать еще на одно ее решение, которое было дано позднее Иваном Бернулли в тех же Мемуарах и которое почти одновременно с ним было опубликовано Тейлором (Taylor) в его работе Methodus in rementorum (Метод приращений) что дало повод к оживленной полемике между этими двумя математиками. Как ни остроумна была идея, на которой было основано это новое решение,— она заключается в том, что сложный маятник приводится сразу к простому путем замены различных грузов другими грузами, сосредоточенными в одной и той же точке, причем их фиктивные массы и тяжести подобраны таким образом, что их угловые ускорения и моменты по отношению к оси вращения остаются соответственно равными прежним, а общая тяжесть объединенных грузов равна их истинной тяжести,—тем не менее следует признать, что эта идея не была ни столь естественной, ни столь ясной, как идея о равновесии между приобретенными и потерянными количествами движения. [c.310]

Метод Отани [42] предусматривает испытания каждого образца на копре в два этапа. На первом этапе необходимо получить нераспространившуюся трещину, что достаточно сложно, так как трудно установить запас энергии маятника, при котором возникла бы трещина нужного размера. На втором этапе образец с трещиной повторным нагружением доводится до разрушения. Работа разрушения образца с трещиной глубиной в 1 мм принимается за работу распространения трещины Ар. Достоинством метода является непосредственное, прямое определение Ор на образцах с исходными трещинами. К недостаткам можно отнести условность определения при глубине трещины в 1 мм. [c.36]

Здесь представляется естественным сопоставить эти уравнения с уравнениями, которые мы получили в предыдущем пункте при изучении малых колебаний сферического маятника около М, без учета вращения Земли. Третье уравнение системы (96 ) отличается от аналогичного уравнения системы (95) только наличием вертикальной составляющей — 2ym os"( сложной центробежной (корио-лисовой) силы. Теперь, так как можно написать [c.159]

В случае 1) сложный маятник) для диска возможно равновесие в вертикальной плоскости, проходящей через касательную Ох, но это состояние равновесия существенно неустойчиво и, как мы только что напомнили, неустойчивость сохраняется и в случае 2), как бы ни была велика скорость качения. Наоборот, в случае 3), в котором без качения мы имели бы неустойчивость по отношению к двум степеням свободы (т. е. как по отношению к 9, так и по отношению к [c.206]

В случае сложного движения можно силу и момент сил инерции также свести к одной силе инерции, приложив ее в полюсе инерции Т. Рассматривая силу инерции в виде суммы сил инерции переносного и относительного движения Рц = РцА + находим Ткак точку пересечения направления ускорения точки А, принятой за нолюс, проведенного через центр тяжести S, и направления огно-сительпого ускорения, проведенною через центр качания К физического маятника (рис. 1.36,6). [c.36]

Бескулисный механизм Беккера (фиг. 17) относится подобно механизму Вельсхарта к ортогональному двухэксцентриковому типу. Действительно, золотник получает сложное движение — от ползуна А через серьгу ВЬ и маятник E D (эксцентрик опережения и от [c.316]

Все началось с поисков эффективного способа борьбы со сливной стружкой. При точении вязких сталей эта стружка, наматываясь на заготовку, то и дело грозит поломать резец, поранить своим раскаленным зазубренным краем рабочего. Один из применяемых сейчас способов заключается в периодическом изменении глубины резания от максимума до нуля. Для этой цели суппорт с резцов заставляют дрожать, вибрировать. При этом кончик резца то врезается в металл, то выскакивает наружу, а вместо коварной путанки из-под инструмента сыплются коротенькие безобидные спиральки. Недостаток такого способа дробления стружки — в постоянных ударах, выкрашивающих режущую кромку резца, разбалтывающих станок и ухудшающих качество обработки. Ганце-вич хотел подобрать такой режим возвратно-поступательного движения суппорта, при котором резец входил бы и выходил из металла плавно, без ударов. Оказалось, что лучше всего удовлетворяют этому требованию перемещения резца по закону синусоиды, когда кончик резца движется гармонично, как маятник. К тому же и осуществить такое движение конструктивно очень не сложно. Все сводится к установке на станок довольно простого приспособления. Фактически оно состоит из двух вставленных друг в друга концентрических колец-эксцентриков, передающих движение от ходового винта к суппорту. Но, несмотря на подобную простоту, приспо- собление, как оказалось, обладает весьма широкими возможностями. Так, поворачивая один эксцейтрик относительно другого, можно плавно менять величину суммарного эксцентриситета, величину возвратно-поступательного движения резца, а следовательно, можно не только дробить стружку,- но и получать на валах или во втулках некруглые, цилиндрические поверхности в виде многократных синусоидальных кулачков. Меняя передаточное отношение между шпинделем и ходовым [c.40]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...