Работа при вращение твердого тела

Работа внешних сил при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси. В соответствии с уравнением [c.153]

Таким образом, работа внешних сил при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси определяется действием момента Мх этих сил относительно данной оси. Если силы таковы, что их момент Мг=0, то работы они не производят. [c.154]

Мощность при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси Oz равна произведению главного момента внешних сил относительно оси Oz на угловую скорость (для обоих сомножителей берется их алгебраическое значение, т. е. с учетом знака). Для работы системы сил, приложенных к твердому телу, при повороте его на угол ф — фо будем иметь, отправляясь от (21.21), фор-.мулу [c.382]

Работу сил инерции твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, при элементарном повороте бф вокруг оси вращения определяют формулой [c.420]

Рассмотрим случай, когда к твердому телу приложены две равные по абсолютному значению, параллельные и противоположно направленные силы F[ и р2 — так называемая пара сил . Эти силы не могут быть заменены одной равнодействующей, так как их векторная сумма равна нулю. При любом поступательном движении тела пара сил не производит работы (Л=0). При вращении же тела работа пары сил не равна нулю. Выберем произвольную точку О, лежащую в той же плоскости, это и силы, образующие в той же плоскости, это и силы, образующие пару (рис, 48). [c.67]

Эйлер (1707—1783). Эйлер внес очень существенный вклад в развитие теоретической механики. При изучении вращения твердого тела он впервые использовал кинематические переменные, введя в качестве вспомогательных переменных три компоненты угловой скорости. Замечательны его пионерские работы в области вариационной механики. Эйлер начал систематическое изучение вариационных задач иногда называемых изопериметрическими . Эти задачи на максимум-минимум привлекали к себе внимание лучших умов — таких, как Ньютон.. Лейбниц. Яков и Иоганн [c.389]

Отысканию периодических решений уравнений движения быстро вращающегося тела с помощью метода малого параметра посвящены работы Ю. А. Архангельского и его учеников см. обзорную статью [37]). В этих работах в уравнения Эйлера - Пуассона вводится малый параметр е = где с — постоянная, зависящая от начального положения тела, а шо — начальная угловая скорость вращения вокруг большей или меньшей осей инерции. Уравнения движения при этом приобретают вид системы двух квазилинейных уравнений второго порядка, аналитически зависящих от параметра е. Если = О то есть о о = оо), то решения этой системы не имеют механического смысла, а при малых е ф О они представляют быстрое вращение твердого тела. [c.106]

М os о работу равнодействующего момента величиною (.твердого тела на угол а представляет угол между векторами момента М и осью вращения (стр. 232). [c.254]

Второй пример. Твердое тело вращается относительно неподвижной точки. Виртуальным перемещением в этом случае является вращение твердого тела относительно мгновенной оси, проходящей через закрепленную точку. Однако виртуальная работа сил реакции связи будет равна нулю, так как точка приложения этих сил при таком виртуальном перемещении остается неподвижной. [c.152]

Если предположить еще, что ось Z направлена вертикально (у меня —вниз, и триэдры правовинтовые), а подвижный триэдр взять предыдущего типа (у меня — с положительными координатами центра масс), то, как известно [41], совершенно подобное движение, но уже с вертикальной осью прецессии и только при особых начальных условиях (в числе двух), возможно также для тяжелого гироскопа Лагранжа. У гироскопа же С. В. Ковалевской, как я указал в своих прежних работах по динамике твердого тела [27, 23], а также в 3 и 5, раздел П, часть I, настоящей статьи, тоже существуют при некоторых особых начальных условиях (в числе двух) движения с равномерной прецессией, но всегда, как оказывается, с нутацией и с неравномерностью собственного вращения. Предположение [c.134]

Формулу (59) применяют и для плоского движения твердого тела, только в этом случае мгновенная ось относительного вращения перпендикулярна к плоскости движения и проходит через произвольную точку тела. Если в качестве этой точки берется мгновенный центр скоростей, то элементарная работа от поступательного перемещения равна нулю и в этом случае элементарную работу можно вычислить по формуле (60), т. е. так же, как при вращении тела вокруг неподвижной точки. [c.292]

Рассмотрим работу силы тяжести и линейной силы упругости, изменяющейся по закону Гука, н вычисление работы силы, приложенной к какой-либо точке твердого тела в различных случаях его движения. В качестве простейших примеров движения укажем случаи, когда работа равна нулю. Так, работа любой силы равна нулю, если она приложена все время в неподвижной точке или в точках, скорость которых равна нулю, как, например, в случае, когда сила все время приложена в мгновенном центре скоростей при плоском движении тела или все время в точках, лежащих на мгновенной оси вращения, в случае вращения тела вокруг неподвижной точки. Эти случаи возможны в задачах, когда рассматривают работу силы трения в точке соприкосновения двух тел при отсутствии скольжения одного тела по другому. При этом работа силы трения равна нулю. [c.315]

Пусть пара сил, приложенная к твердому телу, действует в плоскости, перпендикулярной к оси вращения этого тела. Тогда при повороте на элементарный (малый) угол й(ф силы пары произведут работу (рис. 81, а) [c.103]

Первая категория, а) Наиболее простым является случай, когда твердое тело имеет неподвижную точку единственно возможным перемещением будет вращение вокруг этой точки работа реакции связи или реакции неподвижной точки будет равна нулю, так как ее точка приложения при таком движении тела не перемещается. То же самое будет иметь место и в случае, когда тело имеет две неподвижные точки, т. е. вращается вокруг неподвижной оси. [c.215]

Выберем начало координат за центр приведения движений твердого тела. Мгновенное движение тела приводится к поступательному движению со скоростью и и к вращению с угловой скоростью й вокруг начала. При поступательном перемещении тела сумма работ сил пары равна нулю, поэтому работа пары приводится к работе, произведенной при элементарном вращении т. е к работе силы Р при этом вращении. Эта элементарная работа выражается в виде [c.290]

Работа силы, приложенной к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси. Пусть сила Р приложена к некоторой точке тела, отстоящей от неподвижной оси вращения г на расстоянии /г. Точка приложения силы описывает при движении тела окружность радиуса к. Разложим силу Р по осям естественного трехгранника и обозначим ее составляющие через Рх, Рл и ь (рис. 10.10). Работа составляющих сил п и равна нулю, так как эти силы перпендикулярны к перемещению точки их приложения. Следовательно, работа силы Р " равна работе ее касательной составляющей Р . Для элементарной работы будем иметь [c.235]

Теперь, если Вы позволите, я расскажу Вам о работах, которые меня занимают. Прошлою осенью я начала работу об интегрировании дифференциальных уравнений в частных производных, которые встречаются в оптике в вопросе о преломлении света в кристаллической среде. Это исследование уже достаточно продвинулось вперед, когда я возымела слабость отвлечься работою над другим вопросом, который вертелся у меня в голове почти с самого начала моих математических занятий и о котором я одно время думала, что другие исследователи опередили меня. Он касается решения общего случая задачи о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки при помощи абелевых функций. Вейерштрасс как-то предлагал мне заняться этой задачей, но тогда все мои попытки оказались бес- [c.23]

Элементарная работа силы, приложенной к системе твердых тел при вращении относительно неподвижной оси [c.396]

Условия существования алгебраических интегралов уравнений Кирхгофа изучал Р. Лиувилль, который опубликовал в докладах Парижской Академии наук некоторые необходимые условия [245] (кстати, как и в гамильтониане (12.3) при Ъij 7 О, г 7 ), пообещав в последующих работах привести соответствующие интегралы степени более второй. Однако этих публикаций не последовало. В недавних исследованиях алгебраической интегрируемости заранее предполагалось, что все матрицы А, В, С являются диагональными [155]. В работах [98, 27] относительно аналогичной интегрируемости уравнений Кирхгофа предполагается, что матрица А определяется матрицей инерции I реального твердого тела А = 1 , а все моменты инерции являются различными. Только в этом случае существуют неустойчивые периодические решения (перманентные вращения) и сепаратрисы к ним, играющие ключевую роль в соответствующих доказательствах. [c.347]

При применении закона кинетической энергии к системам, состоящим из твердых тел, приходится иметь дело с вопросом о вычислении работы сил, приложенных к твердому телу. Мы остановимся здесь на вычислении элементарной работы сил, приложенных к твердому телу. Сначала мы рассмотрим простейшие случаи поступательного движения твердого тела и вращения вокруг неподвижной оси затем перейдем к общему случаю какого угодно движения тела. [c.205]

Решение этой задачи приводится в работе Горшков А. Г., Григолюк Э. И. Динамика оболочек вращения, связанных с твердым телом, при вертикальном входе в жидкость. — В сб. Проблемы строительной механики корабля . Л., Судостроение , 1973, с. 64—69. [c.144]

Теорема об изменении кинетической энергии при вращательном движении формулируется так изменение кинетической энергии при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси г за некоторый промежуток времени равно работе моментов сил, приложенных к телу, на соотжтствующем угловом перемещении ф, т. е. [c.231]

Существует характерная степень расширения в вихревой трубе (или относительная доля охлажденного потока) (рис. 4.11), при которой кинетическая энергия вынужденного вихря становится больше исходной. На режимах вращения вынужденного вихря отстает от закона вращения твердого тела — со = onst. Избыточная кинетическая энергия свободного вихря расходуется на трение о стенки (работа внешних поверхностных сил) и на работу внутренних поверхностных сил. При турбулентном течении пульсационное движение непрерывно извлекает энергию из ос-редненного движения. Эта чдсть энергии обеспечивает работу переноса турбулентных молей в поле радиального фадиента статического давления [121, 122]. Если допустить, что под действием турбулентности перемещаются среднестатистические турбулентные моли с массой dm, совершающие элементарные циклы парокомпрессионных холодильных машин, то можно найти работу, затраченную на их реализацию. Объем турбулентного моля и путь его перемещения невелики по сравнению с контрольным объемом П, поэтому изменение температуры при изобарных процессах теплообмена моля с окружающими его частицами незначительно. Это позволяет, не внося существенной погрешности, заменить цикл Брайтона циклом Карно. Тогда работа по охлаждению выделенного контрольного объема П равна сумме элементарных работ турбулентных молей [c.206]

С произвольным распределением скорости жидкости в тангенциальном направлении, но без учета тангенциального ускорения частиц. Крайбел [4381 рассматривал эту задачу, полагая, что схема газового потока соответствует модели вращения твердого тела. Свободновихревое движение жидкости при одинаковой осевой скорости обеих фаз, но без учета изменений тангенциальной и радиальной скоростей частиц в осевом направлении исследовалось в работе [343]. Так как во всех этих работах рассчитывались только траектории частиц, то использовалась система координат Лагранжа, что само по себе исключительный случай в гидромеханике. Во всех этих исследованиях не учитывалось распределение плотности и скорости отложения частиц. [c.339]

Первые две задачи решаются с помощью данного на лекщси образца или обобщенного алгоритма. Они относятся к типу воспроизводящих самостоятельных задач. Третья задача представляет собой рекон-структивно-вариативное задание. В ней студент должен комбинировать известные ему способы и приемы решения задач (темы Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси и Преобразование движений ) и новые методы изучаемой темы, применяя их для исследования движения звеньев механизма. Четвертая, пятая и шестая задачи, составленные на межпредметной основе, служат для вовлечения студента в выполнение частично-поисковых и исследовательских заданий. При решении четвертой задачи преподаватель в случае возникновения у студента затруднений делит решение задачи на отдельные этапы по исследованию видов движения тел, составляющих механизм, или помогает студенту составить план выполнения задания и корректирует его работу. Кроме того, четвертая и пятая задачи для студентов, незнакомых с методами теории механизмов и машин, представляют собой проблемные задания с элементами исследования. [c.36]

Мы пренебрегли гиромагнитным эффектом де Гааза — Эйнштейна (двойственным эффекту Барнетта), состоящим в закручивании ферромагнетика вокруг оси при его намагничивании. Полная теория вращения твердого тела в магнитном поле содержится в работе [38] впрочем, при Л = ХЕ, X = onst уравнения (3.17) являются точными. В этом важном частном случае их можно переписать в более удобной форме [c.41]

Удельная работа деформации А есть положитсльно-опре-деленная квадратичная форма ее аргументов это значит, что она может принимать только положительные значения при каких бы то ни было вещественных значениях аргументов. Если должен превратиться в нуль интеграл (15), то и интегрируемая величина должна стать тождественно равной нулю, а это, как только-что отмечено, возможно только в том случае, когда все составляющие тензора деформации превращаются в нуль. Перемещения м, V, т представляют в таком случае движение тела, не сопровождающееся деформацией при таком движении линейные элементы сохраняют свою длину это есть не что иное как вращение твердого тела, связанное с поступательным перемещением. Если кроме того для некоторых точек поверхности перемещения заданы заранее, то = г = те = О, так как движение тела, как твердого, не может иметь места, и следовательно равенство и = [c.54]

Мы были лишены возможности привести подобные примеры в 2 гл. XVIII. Дело в том, что хотя понятие кинетической энергии системы материальных точек впервые вводится при выводе уравнений Лагранжа второго рода, однако формулы для подсчета кинетической энергии твердых тел и работы сил при их вращении, необходимые для составления уравнений Лагранжа, появляются позже — в гл. XXI. Теперь мы имеем возможность рассмотреть соответствующие примеры. [c.404]

Теория кинематических пар была продвинута в работах Ф. Грасгофа. Для определения пар он воспользовался понятием степеней свободы (что, впрочем, раньше него сделал П. Л. Чебышев). Выяснив, что кинематические пары полностью определяются своей формой и характером соприкосновения, он делит их на пары троякой, двоякой и ординарной (элементарные пары принужденного движения) подвижности. <(Так как канедое элементарное движение, т. е. бесконечно малое движение твердого тела в определенном пространстве,— пишет Грасгоф,— может быть разложено на три переноса вдоль трех пересекающихся и не лежащих в одной плоскости осей и на три вращения вокруг последних, и поскольку эти шесть простых элементарных движений при свободно движущемся теле [c.69]

Смазка подшипников качения. Природа трения в щариковых и роликовых подшипниках и подпятниках такова, что смазка в них не может уменьшить этого трения, так как работа трения фактически расходуется здесь на деформацию соприкасающихся тел, а работа эта не изменится, если между телами поместить слой смазочной жидкости. Напротив, в этом случае к трению твердых тел прибавится еще и трение жидкости. Правда, при вращении шариков и роликов происходит соприкосновение их между собой и с направляющими обоймами и в этих местах неизбежно возникает трение скольжения, здесь смазка будет безусловно полезна,но вообще говоря,в подшипниках с трением качения смазка имеет совершенно другое значение чем в подшипниках со скользящим трением. В роликовых и шариковых подшипниках смазка предназначается главным образом для заполнения и как бы выравниваниямикронеровностейнаповерхностях соприкосновения, которые всегда будут, как бы тщательно эти поверхности ни были отделаны и отполированы. Смазка также предохраняет полированные поверхности шариков, роликов и колец от ржавчины и разъедания. Наконец, смазка, замыкая подшипник и вал как бы в одно целое и создавая около подшипника замкнутое пространство, препятствует проникновению в подшипник пыли, влаги, вредных газов и других загрязнений и тем самым сохраняет его от разрушения в условиях эксплуатации. [c.392]

Хазелтин [1 ] и др., работая на военно-морской испытательной станции, рассмотрели задачу о демпфировании нутационных колебаний вращающегося спутника их исследование относилось к спутнику, выполненному в виде одного твердого тела. Спутник был снабжен маятниковым демпфером, способным свободно качаться в плоскости, перпендикулярной оси спутника, вокруг которой требуется привести спутник в быстрое вращение. Начальные возмущения вызывают качание или нутацию оси вращения спутника при отсутствии демпфирования нутация будет продолжаться неопределенно долго. Путем правильного подбора параметров системы демпфирования возможно добиться очень быстрого уменьшения угла конусности, возникающего под действием начального возмущения. [c.59]

СЗраппппая эту формулу с формзмюй (3), приходим к заклю-чо нию, что О oi есть элементарная работа количеств движения жидких масс, движущихся с потенциалами Kopo T ii Z) /.1)---> при сообщении им бесконечно малых вращений iu,8i, u)j8i, 1,8/. Но если назовем через Р, Q, В проекции па оси Ох, Оу, Os главного момента количеств движения жидких масс нри покоящемся твердом теле, то найдем, что вышеупомянутая элементарная работа будет [c.189]

В предыдущих рассуждениях мы молча предполагали, что достаточный приток масла и не слишком малая скорость вращения цапфы (или не слишком большая нагрузка на нее) обеспечивают существование масляной пленки, покрывающей всю поверхность подшипника и предупреждающей соприкосновение металлических поверхностей цапфы и подшипника. Так как точность обработки этих поверхностей имеет некоторый предел, то при слишком малой ширине Н щели нельзя избежать соприкосновения цапфы и подшипника. В таком случае возникают явления, которые лучше объясняются обычной теорией трения твердых тел. При пользовании выведенными формулами необходимо исключить также случай возникновения в масляной пленке давлений, значительно меньших атмосферного. Возникновение таких давлений сразу приводит к разрыву масляной пленки. Тщательные измерения, выполненные Фресселем для подшипника, целиком погруженного в масло, показали, что в месте разрыва отнюдь не образуется вакуум, как этого можно было бы ожидать по аналогии с таким движением воды, при котором возникает кавитация (см. гл.У). Наоборот, давление здесь только незначительно отличается от атмосферного, что объясняется сильным выделением газов из масла. Разрыв пленки наблюдается, как правило, при большой нагрузке цапфы в результате разрыва создаются условия, сходные с условиями работы подшипника, лишь частично закрывающего цапфу. На теории такого подшипника мы не можем здесь останавливаться. [c.218]

Шаблонная формовка. При индивидуальном производстве отливок, имеющих форму тел вращения, выгодно применять шаблонную формовку. На рис. 86 показана крышка а, форма для которой изготовляется при помощи шаблона. Подпятник 7, в который вставляют вертикальный шпиндель 2, укрепляют в почве. Вокруг шпинделя делают твердую постель с вентиляционной трубой 3. На нее насыпают бугорок формовочной земли и уплотняют его. На шпиндель надевают рукав 4 с закрепленным на нем шаблоном 5, чтобы получить при вращении верхнюю поверхность формы АБВГО путем сгребания формовочного материала. Необходимую высоту шаблона при работе фиксируют стопорным кольцом 6 (рис. 86,6). [c.203]

В работах А. Г. Горшкова и М. И. Мартиросова [29], М. И. Мартиросова [51-53] проведен численный анализ динамического поведения упругих сферических оболочек, связанных с твердым телом, при несимметричном входе в полупространство, занятое идеальной несжимаемой жидкостью. Гидродинамические нагрузки, действующие на оболочку со стороны жидкости, определяются как суперпозиция нагрузок от вертикального проникания оболочки и горизонтального движения изменяющейся во времени ее погруженной части. Для исследования напряженно-деформированного состояния тонкой упругой оболочки используется один из вариантов геометрически нелинейных уравнений движения, учитывающих инерцию вращения и деформацию поперечного сдвига. К ним добавляются уравнения движения всей конструкции как твердого тела. Задача решается методом конечных разностей с применением явной схемы типа крест . Анализируется влияние на динамическое поведение конструкции начальной скорости и угла входа, начальной угловой скорости вращения, сжимаемости жидкости, подъема ее свободной поверхности (эффект Г. Вагнера), толщины оболочки, массы твердого тела и ряда других факторов. Исследуется также влияние гидроупругого взаимодействия между оболочкой и жидкостью на динамику входа. Показано, что при углах тангажа ч ) 60° задачу о наклонном входе конструкции в жидкость можно заменить задачей о вертикальном входе с начальной скоростью, равной вертикальной составляющей при несимметричном погружении. Кроме того, установлено, что до скоростей Уо 100 м/с сжимаемость жидкости (воды) практически не влияет на напряженно-деформированное состояние сферической оболочки. [c.402]

При написании второго выражения в уравнении (2.1) для приращения работы й(д через главные значения мы можем вообразить, что некоторый бесконечно малый элемент в виде прямоугольного параллелепипеда, ребра которого направлены параллельно главным осям напряжений, растягивается сперва при приращениях деформаций сГег, бз в направлениях его ребер и затем поворачивается как твердое тело в новое бесконечно близкое, слегка наклоненное положение. Так как во время этого бесконечно малого вращения элемента никакой работы не совершается, то работа ср выражаетсэ 8 главных напряжениях в точности уравнением (2.1). [c.68]

Полное решение проблемы выбора надлежащей модели материала даже в такой упрощенной форме далеко от завершения, однако имеются примеры удачных частных решений. Так, при сверхвысоких (порядка модуля упругости) давлениях, развивающихся при гиперскоростных соударениях, успешно используется модель идеальной жидкости (М. А. Лаврентьев, 1949). Для материалов типа полимеров, для которых существенны эффекты несовершенной упругости, иногда используется модель вязкоупругого тела (см., например, А. Ю. Ишлинский, 1940). Что касается материалов типа металлов, находящихся под действием умеренно высоких напряжений порядка предела текучести (которым, в основном, и посвящен данный обзор), то для их изучения могут использоваться два подхода. В основе первого из них лежит допущение, что за пределами упругости материал переходит в вязко-пластическое состояние и его определяющее уравнение зависит от времени. Начало этому направлению подолбили работы А. А. Ильюшина (1940, 1941), в которых в качестве определяющих уравнений использованы уравнения вязко-пластического течения, не учитывающие упругих деформаций. В этих работах дано решение нескольких теоретических задач (удар по цилиндрическому образцу твердым телом, деформирование полого цилиндра под действием внутреннего давления) и описан сконструированный автором первый пневматический копер, позволявший достигать скоростей деформаций порядка 10 Исек (с помощью его были определены коэффициенты вязкости некоторых металлов). Сразу вслед за тем учениками А. А. Ильюшина были решены задачи о вращении цилиндра в вязко-пластической среде (П. М. Огибалов, 1941) и об ударе цилиндра по вязко-пластической пластинке (Ф. А. Бахшиян, 1948 — опубликование этой работы задержалось на ряд лет). С математической точки зрения уравнения динамики одноосного вязко-пластического тела принадлежат к классу уравнений параболического типа. [c.303]

Кинетическая энергия механической системы. Формулы для вычисления кинетической энергии твердого тела при поступагельпом движении, при вращении вокруг неподвижной оси и в общем случае движения (в частности, при нлоскопараллельном движении). Теорема об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной н конечной формах. Равенство нулю суммы работ внутренних сил в твердом теле. Работа и мощность снл, приложенных к твердому телу, вращающемуся вокруг иеподвн/кной осп. [c.9]

Большой интерес представляют стационарные движения п точечных вихрей, когда расстояния между ними не меняются система вихрей как твердое тело движется поступательно, либо вращается с постоянной угловой скоростью вокруг их общего центра завихренности. К сожалению, эта алгебраическая задача представляет значительные трудности даже в случае равных интенсивностей вихрей. Дж. Дж. Томсон в 1883 г. исследовал частный случай, когда вихри расположены в вершинах правильного и-угольника. Он нашел, что такое стационарное вращение устойчиво при и < 6 и неустойчиво при и > 7. В работе Л. Кемпбела [65] доказано существование устойчивых стационарных вращений при всех значениях и и с помощью численных расчетов составлен каталог устойчивых равновесных конфигураций для п < 50. Оказывается, вихри расположены на одной или нескольких концентрических окружностях ( атомных оболочках , по терминологии Кельвина). В работах [56, 63] обнаружены неподвижные устойчивые конфигурации п вихрей, когда п является квадратом целого числа. К сожалению, и эта задача еще далека от полного решения. Имеются важные (с точки зрения приложений) примеры стационарных движений бесконечного числа точечных вихрей (например, цепочки Кармана см. [42], 156). [c.32]

При экспериментальных исследованиях достаточно быстро вращающихся РДТТ по закону твердого тела наблюдалось образование тороидальных зон возвратного течения в дозвуковой области и у стенки сопла [51]. В работе [246] построена аналитическая модель течения, в которой одновременно было использовано вращение по закону твердого тела в окрестности оси симметрии и потенциальное закрученное течение в периферийной области сопла. [c.195]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...