Центр завихренности

Итак, в плоском течении завихренной жидкости величины Г, /д, 1у, М и Гд постоянны. Когда Г О, можно ввести другие инварианты, связанные с / и М, а именно координаты центра завихренности [c.82]

Когда система вихрей в безграничной жидкости имеет ненулевую суммарную циркуляцию, условия сохранения импульса (6.19) позволяют ввести дополнительные инварианты. В самом деле, координаты центра завихренности [c.338]

Центр завихренности 82 Циркуляция 25, 27 [c.503]

Исторические комментарии. Задача о движении двух вихрей на плоскости была полностью решена Г. Гельмгольцем [26, 38], который установил, что в общем случае два вихря совершают равномерное вращательное движение вокруг неподвижного центра завихренности, определяемого интегралами (1.4) [c.44]

Динамика двух вихрей на сфере вполне аналогична плоскому случаю. Здесь общей ситуацией является вращение вокруг оси, проходящей через центр сферы и центр завихренности (3.1) (расположенный на хорде, соединяющей два вихря с радиус-вектором), который, как следует из (2.10), также неподвижен. [c.44]

При D = О, являющимся необходимым условием коллапса (слияния вихрей в процессе движения), параболоид вырождается в прямую, совпадающую с осью 62- При этом (вследствие условия ei = А = 0) вихри двигаются вдоль одной прямой, которая вращается в абсолютном пространстве вокруг центра завихренности. [c.50]

Замечание 5. Частные решения, соответствующие кривой (3.31), — три вихря в вершинах правильного треугольника, вращающегося как твердое тело вокруг центра завихренности, называются томсоновскими и являются устойчивыми при [c.56]

Вычисление угловой скорости вращения томсоновских конфигураций относительно центра завихренности приведено, например, в [38] [c.57]

Точкам касания отвечают коллинеарные конфигурации трех вихрей (см. на рис. 4 точки типа Р). Три вихря при этом располагаются на одной прямой и вращаются как единое целое вокруг центра завихренности. [c.57]

Угловая скорость вращения коллинеарной конфигурации относительно центра завихренности задается соотношением [38], [c.60]

Таким образом, абсолютное движение вихрей представляет собой суперпозицию двух простых движений периодическое движение по замкнутым кривым во вращающейся системе координат (см. рис. 10) и вращение вокруг центра завихренности. Угловая скорость (3.44) является функцией интегралов Н,1 и не зависит от Q,P fl = fl H, I). (Если центр завихренности лежит на бесконечности, т.е. ЕГ = О, то вместо вращения вокруг центра завихренности необходимо рассматривать поступательное движение вдоль некоторой прямой). [c.65]

Геометрическая интерпретация для абсолютного движения. Приведем одно любопытное наблюдение, касающееся движения трех вихрей на сфере, указанное в [128]. Проведем плоскость через три точки на сфере, в которых расположены вихри. Можно показать, что во время движения вихрей эта плоскость всегда проходит через конец вектора Г ) (центр завихренности), определяемого интегралами (2.10). Таким образом, можно сделать некоторые качественные выводы о характере движения в зависимости от того, где находится центр завихренности по отношению к сфере. [c.80]

На сфере геометрический смысл соотношений (4.2) несколько иной, он заключается в том, что центр завихренности системы N вихрей совпадает с геометрическим центром сферы. Тем не менее, координаты любого вихря могут быть выражены через координаты остальных Л —1 вихрей, например, [c.89]

В отличие от задачи трех вихрей, система четырех вихрей (равных интенсивностей) на плоскости не является интегрируемой, поэтому ее решения не допускают достаточно полного описания. Методом 3 (см. раздел Абсолютное движение и адвекция ) можно показать, что периодическим решениям приведенной системы соответствуют такие движения вихрей в абсолютном пространстве, что в некоторой вращающейся системе координат все вихри движутся по замкнутым кривым. Если эти кривые для каждого вихря одинаковы и переводятся друг в друга поворотом относительно центра завихренности, то существует также вращающаяся система координат, в которой вихри движутся по одной и той же кривой, т. е. образуют относительную хореографию. Кроме этого в задаче четырех вихрей возможны также несвязные относительные хореографии, когда вихри парами движутся по двум различным замкнутым кривым, когда три вихря движутся по одной замкнутой кривой, а четвертый по другой, когда вихри движутся по трем различным замкнутым кривым и самый крайний случай, когда каждый вихрь движется по своей, отличной от других замкнутой кривой. [c.128]

Коллинеарные конфигурации одинаковых вихрей. Рассмотрим более подробно коллинеарные конфигурации одинаковых точечных вихрей, при которой они неподвижно располагаются на некоторой прямой, вращающейся равномерно вокруг центра завихренности. [c.139]

Формулы (3.2)-(3.7) указывают на общую специфику двухслойной модели вихри, принадлежащие одному слою, и вихри из разных слоев взаимодействуют по разным законам [7]. Особенно отчетливо это видно на примерах однослойной и двухслойной вихревых пар, когда в случае а) имеем к = —к = к, а в случае б) к = —к = к, и, очевидно, центр завихренности находится в бесконечно удаленной точке, а угловые скорости (3.4) и [c.557]

С переменными индексами суммирования. В старой форме записи присутствует типичное слагаемое , после чего словами поясняется, каким образом нужно проводить суммирование. Этот центроид системы точечных вихрей часто также называют центром завихренности. [c.685]

Следует различать два случая. В первом из них сумма интенсивностей гвх + гв2 отлична от нуля. Введем центр завихренности — точку с координатами [c.29]

Эта точка (аналог центра масс) лежит на прямой, проходящей через взаимодействующие вихри и занимает неизменное положение (ввиду постоянства импульсов и Ру). Следовательно, в этом случае отрезок гх2 равномерно вращается вокруг центра завихренности и траектории вихрей — концентрические окружности с радиусами [c.29]

Изложенное показывает, что необходимыми условиями автомодельного движения вихрей являются равенства /"=0, V4) при условии, что центр завихренности совпадает с началом координат. [c.81]

При к,-Ьк,тЮ инварианты Р и Q определяют центр завихренности системы с координатами [c.83]

Рассмотрим двумерное течение невязкой несжимаемой жидкости, вызванное системой вихрей. Для моделирования эволюции такого течения методом, изложенным в п. 6.1.1, каждый вихрь разбивался на N ячеек равной площади. За начальные координаты вихревых частиц принимались центры завихренности соответствуюи1Их ячеек. Для определения последующего движения вихревых частиц используется система (6.17) с функцией формы f r) (6.22), которая даст [c.338]

Когда начальрюе расстояние велико, взаимодействие происходит аналогично случаю одинаковых вихрей. При уменьшении / вихрь с меньшей циркуляцией начинает деформироваться, а угловая скорость вращения вихрей относительно центра завихренности оказывается больше, чем для системы двух точечных вихрей с теми же циркуляциями. Если начальное расстояние между вихрями меньше критического, то характер взаимодействия определяется соотношением их циркуляций. При Г] Гг вихрь с меньшей циркуляцией начинает накручиваться на вихрь с большей циркуляцией и разрушаться (рис. 6.2). Форма вихря с большей циркуляцией при этом остается неизменной. Со временем формируется вихревая структура с ядром, образованным вихрем большей циркуляции, окруженным облаком частиц, принадлежавших ранее вихрю с меньшей циркуляцией. Если же циркуляции вихрей - величины одного порядка, то здесь также вихрь с меньшей циркуля1щей начинает накручиваться на более интенсивный вихрь, но при этом последний деформируется и разрушается. [c.342]

Если циркуляции вихрей не только по знаку, но и по абсолютным значениям отличны друг от друга, то при большом началпзиом расстоянии вихри движутся по круговы.м орбитам вокруг центра завихренности системы, который лежит на линии, проходящей через центры вихрей позади более интенсивного вихря (рис. 6.8). При значениях I меньше критических более интенсивный вихрь может захватывать часть вихря с меньшей циркуляцией. [c.345]

Особенности системы. Это точки, в которых энергия (3.5) обращается в бесконечность, им соответствуют решения системы при которых два из трех слиты так, что возникает система двух вихрей, вращающихся вокруг центра завихренности. Па фазовом портрете (см. рис. 3) они выглядят как эллиптические особые точки. После регуляризующей замены времени А = М1М2Мз т особенности действительно превращаются в эллиптические неподвижные точки. Па геометрической интерпретации (рис. 4) особенностям соответствуют точки касания границы области возможного движения А = О с координатными плоскостями М = О, г = 1,2,3 (при [c.54]

Папомним, что доказательства подобных утверждений топологическими методами (впервые примененными Смейлом в [51]) основывается на представлении относительных равновесий как критических точек гамильтониана на уровне интеграла момента I = Г г р и при условии перехода в систему центра завихренности Р = Q = О, Z = 0. [c.137]

Для того, чтобы эти точки были невырожденными необходимо перейти в систему центра масс, зафиксировать момент I и профакторизовать систему по действию однопараметрической группы симметрий, определяемой J (т. е. поворотом вокруг центра завихренности). При этом, как заметил Смейл, мы от первоначального фазового пространства С перейдем к приведенному СР А, представляющим собой комплексное проективное пространство, с исключительной диагональю [c.138]

Второе слагаемое в выражения (2.8) отвечает вращению, скорость которого пропорциональна сумме циркуляций X) = X) Гг - Следовательно, удобно использовать вращающуюся систему координат. Выбираем систему отсчета, вращающуюся относительно центра завихренности Г г )/ X) со скоростью pY, /2 если обращается в нуль, рассматриваем невращающуюся систему отсчета, движущуюся поступательно с предельной скоростью — —г(р/2) Сопряженная скорость вихря в точке Zj + ш принимает [c.341]

Используем теорему 2 для нахождения энергии простой решетки с периодическими дефектами. Фиксируем комплексное число г и целое число N. Рассмотрим простую решетку с периодом L и циркуляцией Г и переместим вихрь из точки Nu> в Nu> + г) для каждого и> G L. Для упрощения задачи положим, что число N нечетное с тем, чтобы центры завихренности исходной решетки и решетки с дефектами совпадали. Пайдем выражение AEn z) для изменения кинетической энергии жидкости в единичных ячейках решетки L, которые образуют единичную ячейку новой периодической конфигурации (другими словами, изменение энергии, порожденное одним дефектом). Поскольку изменение энергии обусловленно перегруппировкой, можно пренебречь членами, определяющими собственную энергию (Ine), изменить масштаб в 1/N раз и применить Теорему 2 к получившейся конфигурации, состоящей из вихрей, которая целиком находится на L/N, кроме одной решетки, смещенной на = z/N. Изменение энергии для конфигурации описывается уравнением [c.347]

Рис. 4. Самоподобные движения, при которых вихревой треугольник изменяет размер, но не изменяет форму. В примере слева, взятом из диссертации Грёбли, показано самоподобное расширение. Этот рисунок является результатом для вихрей циркуляции гп1 = 3, Ш2 = —2 Шз = 6 (важны только отношения). Справа мы приводим общее построение всех конфигураций, приводящих к самоподобному движению (когда вихревые циркуляции имеют подходящие отношения). Считается, что вихри 1 и 3 имеют одинаковый знак и изначально расположены так, как это обозначено на рисунке. Центр круга приходится на центр завихренности вихрей 1 и 3 (точка С), причем треугольник 1Р2З равносторонний. Существуют четыре конфигурации, которые движутся, не меняя формы или размера. Они появляются, если вихрь 2 начинается в любом из четырех положений Р1, Р2,Рз к Р4. Для любой другой начальной точки вихря 2, расположенной на круге, происходит самоподобное расширение или стягивание вихревого треугольника.

Большой интерес представляют стационарные движения п точечных вихрей, когда расстояния между ними не меняются система вихрей как твердое тело движется поступательно, либо вращается с постоянной угловой скоростью вокруг их общего центра завихренности. К сожалению, эта алгебраическая задача представляет значительные трудности даже в случае равных интенсивностей вихрей. Дж. Дж. Томсон в 1883 г. исследовал частный случай, когда вихри расположены в вершинах правильного и-угольника. Он нашел, что такое стационарное вращение устойчиво при и < 6 и неустойчиво при и > 7. В работе Л. Кемпбела [65] доказано существование устойчивых стационарных вращений при всех значениях и и с помощью численных расчетов составлен каталог устойчивых равновесных конфигураций для п < 50. Оказывается, вихри расположены на одной или нескольких концентрических окружностях ( атомных оболочках , по терминологии Кельвина). В работах [56, 63] обнаружены неподвижные устойчивые конфигурации п вихрей, когда п является квадратом целого числа. К сожалению, и эта задача еще далека от полного решения. Имеются важные (с точки зрения приложений) примеры стационарных движений бесконечного числа точечных вихрей (например, цепочки Кармана см. [42], 156). [c.32]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...