Бесконечно малое вращение

Бесконечно малое движение сложного сферического маятника. — Выведенные нами в предыдущей задаче свойства движения применяются к движению сложного сферического маятника при условии, что О), X, X, V могут рассматриваться как бесконечно малые величины, квадратами и парными произведениями которых можно пренебречь. При такой степени приближения можно заменить ось бесконечно малого вращения со бесконечно близкой к ней осью. Поступая так, мы можем заменить вращение вокруг оси ОГ вращением вокруг вертикали, плоскость, сопряженную с ОГ,—плоскостью, сопряженной с вертикалью, и плоскости, проходящие через ОГ и содержащие [c.156]

Хотя конечное вращение нельзя представить некоторым вектором, однако это препятствие отпадает, если рассматривать лишь бесконечно малые вращения. Бесконечно малый поворот [c.143]

Понятие бесконечно малого преобразования можно сделать более наглядным, если рассмотреть специальный случай такого преобразования — бесконечно малое вращение вокруг оси г. Для конечного вращения вокруг этой оси матрица преобразования имеет вид [см. (4.43)] [c.145]

Но приращения составляющих вектора вследствие бесконечно малого вращения координатных осей определяются равенством [c.152]

Таким образом в отношении математических соотношений существует полная аналогия между бесконечно малыми вращениями, с одной стороны, и силами в статике, с другой. Вращение, как и сила, связывается [c.19]

Вывести правило сложения бесконечно малых вращений около параллельных осей из построения Родрига для поворотов на конечный угол ( 3). [c.33]

Доказать, исходя из основных положений, что три бесконечно малых вращения, изображаемых отрезками ВС, СА, АВ равносильны поступательному [c.33]

Тело имеет независимые между собою бесконечно малые вращения около двух взаимно перпендикулярных, но не пересекающихся осей. Показать, что уравнением получающегося таким образом цилиндроида будет [c.35]

Но важно заметить, что, вообще говоря, это качение сопровождается от момента к моменту элементарным скольжением вдоль образующей соприкосновения в самом деле, как уже было указано с самого начала этого рассуждения, элементарное смещение системы й в каждый момент состоит из бесконечно малого вращения вокруг мгновенной оси и бесконечно малого переноса вдоль этой оси. [c.208]

Прежде всего очевидно, что поступательное перемещение твердого тела не оказывает никакого влияния на условия равновесия. Поэтому достаточно рассмотреть изменение ориентации тела и можно даже ограничиться рассмотрением только бесконечно малого вращения его вокруг произвольной оси, потому что всякое изменение ориентации, даже конечное, можно представить себе как результат последовательных элементарных вращений. Если определены условия, обеспечивающие сохранение равновесия при элементарном вращении, то эти условия будут необходимыми и достаточными для астатического равновесия. [c.147]

Рассмотрим бесконечно малое вращение неизменяемой системи вокруг оси, проходящей через точку О и имеющей единичный вектор п. Перемещение любой точки Pi выразится при этом в виде [c.148]

Если, далее, предположить, что неподвижная точка О есть виртуальный полюс вращения, т. е. что связи в любой момент допускают для системы какое угодно бесконечно малое вращение всей системы в целом вокруг точки О (как это имеет место, например, для твердого тела, закрепленного в точке О), то мы придем к заключению, что уравнение (15) должно остаться в силе, как бы ни выбирался вектор Ы это означает, что [c.272]

Бесконечно малые перемещения. Бесконечно малое перемещение твердого тела можно свести к бесконечно малому переносу и бесконечно малому вращению. Благодаря их инфинитезимальному характеру перенос и вращение коммутативны, так как можно пренебречь [c.57]

Для того чтобы рассмотреть бесконечно малое вращение, возьмем угол вращения который входит в формулы (10.2), бесконечно малым, так что F = - xhq = 1. [c.58]

Из векторного характера этого уравнения заключаем, что бесконечно малые вращения можно суммировать, складывая соответствующие векторы i по правилу параллелограмма. [c.58]

Так как Vo отделено от в уравнении (19.2), то можно рассматривать угловую скорость тела S так, как если бы точка Ро была неподвижной. Для того чтобы выразить о) через углы Эйлера ( И), возьмем в качестве Т три вектора (i, j, к) (рис. 5) неподвижными относительна S. Перемещение за время dt может быть произведено бесконечно малыми вращениями d , d(p, йа з соответственно вокруг Ji, К, к, так что будет иметь место уравнение [c.63]

Если силы действуют на твердое тело, и это тело испытывает бесконечно малое перемещение, состоящее из бесконечно малого поступательного перемещения бго и бесконечно малого вращения 6% вокруг полюса, то [c.81]

Последнее выражение показывает, что модуль угловой скорости является пределом отношения угла поворота тела к соответствующему промежутку времени при условии, что этот промежуток времени стремится к нулю (ср. сказанное о бесконечно малых вращениях в 59). [c.86]

Сложение двух вращательных движений. Рассмотрим предва рительно такой опыт по поверхности неподвижного конуса катится без скольжения другой (меньший) конус так, как показано на рисунке 9.5. При качении малый конус будет вращаться относительно оси, совпадающей с его геометрической осью 00, с которой связана система отсчета /С " одновременно весь конус поворачивается относительно оси симметрии неподвижного конуса (с этой осью связана система отсчета К). Таким образом, при качении малый конус совершает два вращения около оси 00 (относительное движение) и около оси 00 вместе с системой отсчета К (переносное движение). Так как качение происходит без скольжения, то линия касания конусов является мгновенной осью вращения малого конуса. Таким образом, результирующее движение малого конуса представляет собой последовательность бесконечно малых вращений вокруг мгновенных осей, расположенных на боковой поверхности неподвиж- [c.221]

Здесь бф, бсо, бф — произвольные бесконечно малые вращения вокруг осей Z, у, X. Далее, эти выражения являются общими для вариаций координат всех тел системы , так как рассматривается бесконечно малое вращение системы в целом. Затем, подставляя выражения (6) в уравнение (1) и учитывая [c.228]

Соответствующий группе бесконечно малых вращений пространства-времени закон сохранения есть [c.673]

Покажем, что при движении плоской фигуры в ее плоскости подвижная центроида катится без скольжения по неподвижной центроиде. В самом деле, из теоремы Бернулли — Шаля следует, что перемещение плоской фигуры из одного положения (I) в другое (И) можно получить поворотом около центра конечного вращения. Действительное движение тела может при этом отличаться от чистого вращения, но начальное и конечное положения тела совпадают в обоих движениях. Заменим перемещение плоской фигуры из положения (I) в положение (И) достаточно большим числом п элементарных перемещений, причем в начале и конце каждого элементарного перемещения положение плоской фигуры совпадает с истинным ее положением в реальном движении. Увеличивая число п таких перемещений до бесконечности, сделаем каждое элементарное перемещение бесконечно малым и бесконечно малые дуги действительных траекторий точек плоской фигуры заменим бесконечно малыми дугами окружностей, общий центр которых находится в центре мгновенного вращения. Такая замена может быть выполнена с любой степенью точности, а следовательно, истинное движение плоской фигуры можно заменить системой последовательных бесконечно малых вращений около центров мгновенного вращения. [c.118]

Совокупность величин р, д, г) можно рассматривать как вектор (см. Добавление I, п. 3) это есть то, что в кинематике называется вектором (бесконечно малого) вращения. [c.41]

К чистой деформации присоединяется, вообще говоря, еще жесткое перемещение рассматриваемого элемента, состоящее из бесконечно малого вращения с компонентами [c.50]

Кроме того, элемент испытывает бесконечно малое вращение [c.225]

С телом и движущихся вместе с ним относительно системы осей Охуг, неподвижных в пространстве. Произвольное перемещение (60, бф, бя] ) тела эквивалентно трем бесконечно малым вращениям 6 1, бяг, бяз вокруг осей 0 , От], 0 . Обозначая = р, = д, [c.126]

О (Ну то они могут быть применимы и к бесконечно малым вращениям но было бы ошибочно думать, что эти выводы можно применять к конечным вращениям. Следующие примеры иллюстрируют это положение. [c.341]

Бесконечно малое вращение [c.42]

Заметим, что диагональные элементы матрицы г равны нулю, а отличные от нуля элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, отличаются друг от друга лищь знаком. Такие матрицы называются антисимметричными или кососимметричными. Это свойство присуще не только той частной матрице, которую мы сейчас рассматривали, а каждой матрице е бесконечно малого вращения. Действительно, согласно (4.89) матрица А равна 1—е. Но при ортогональном преобразовании обратная матрица А совпадает с транспонированной матрицей А, равной 1 + е. Следовательно, [c.145]

Бесконечно малое вращение определено, когда известны ось, угол вращения и, конечно, определено направление последнего. Вращение, следовательно, может быть лзображено отрезком АВ ), взятым вдоль оси вращения с длиною, пропорциональной в некотором масштабе углу 2). При этом направление от Л к выбрано с таким расчетом, чтобы вращение в отношении к этому направлению оси было правовинтовым ( 3). [c.18]

Можно дать также и прямое доказательство. Так, п-редположим, что мы имеем два бесконечно малых вращения ряд (считаемых положительными при правой системе) около параллельных осей АА и ВВ. Из любой точки О в плоскости этих осей проведем перпендикуляр ОАВ. Результирующее перемещение точки, находящейся в положении О, будет нормально к плоскости фигуры и равно по величине р О А q ОВ, причем отрезкам ОА и ОВ следует приписать знак, соответствующий их направлению. Если на прямой АВ мы возьмем точку С такую, чтобы [c.19]

Стедовательно, функция Гамильтона является инвариантом переноса в том направлении, для которого соответствующая компонента импульса не изменяется. Это просто другой способ выражения того обстоятельства, что некоторой циклической координате соответствует постоянная компонента импульса. Подобный результат получается и при рассмотрении бесконечно малых вращений, порожденных функцией О, и соответствующих им компонент момента количества движения. [c.116]

Пусть дана плоскость П, проходящая через точку О. Любое бесконечно малое вращение вокруг точки О можно разложить на два бесконечно малых вращения на вращение (6i5 ) вокруг оси, перпендикулярной к плоскости, и на вращение (бгХ) вокруг оси, лежащей в П. Если пара сил состоит из двух равных но величине и противоположных по направлению сил (с абсолютной величиной Р и расстоянием между ними р) в плоскости П, то работа, произведенная парой сил при бесконечно малом вращении, равна + pPbiY . Знак берется в зависимости от того, совпадают или нет направления пары и вращения. [c.82]

Распределение скоростей и ускорений в твердом теле. В отличие от конечных вращений бесконечно малые вращения и, следовательно, угловыг скорости абсолютно твердого тела обладают векторными свойствами. По формуле Эйлера скоросгь любой точки тела [c.49]

По существу уже в работе 1760 г., посвященной применению принципа наименьшего действия в динамике с использованием исчисления вариаций он с единой точки зрения выводит законы сохранения импульса и момента импульса на основе евклидовой симметрии пространства. Исходным при этом является принцип наименьшего действия, предполагающий выполнение закона сохранения энергии. На этой основе Лагранж получает прообраз своей общей формулы динамики , а затем, рассматривая в качестве допустимых виртуальных перемещений бесконечно малые сдвиги системы вдоль декар товых осей X, у, гж бесконечно малые вращения вокруг этих осей, получает в отсутствие внешних сил законы сохранения импульса и момента импульса. В работе 1777 г. он снова возвращается к открытому им методу вывода законов сохранения из евклидовой симметрии пространства, формулируя, однако, требования симметрии в отношении введенной им (и несколько ранее Д. Бернулли ) потенциальной или силовой функции системы. Б обеих его работах оставалась невыясненной симметрия закона сохранения энергии, а симметрии законов сохранения импульса и движения центра тяжести отождествлялись, совпадая с трансляционной симметрией пространства. [c.226]

Интересно отметить, что в случае бесконечно малых вращений 4, Ег, Ев, скобка [ г% Е есть просто внешнее, или векторное, произведение Е, X Ей Опять-таки, если и - (или эквивалентные ехр Щг) и ехр (иЕ))) перестановочны, такчто , = = г, то [ , ЕЦ = О, и наоборот. [c.223]

СЗраппппая эту формулу с формзмюй (3), приходим к заклю-чо нию, что О oi есть элементарная работа количеств движения жидких масс, движущихся с потенциалами Kopo T ii Z) /.1)---> при сообщении им бесконечно малых вращений iu,8i, u)j8i, 1,8/. Но если назовем через Р, Q, В проекции па оси Ох, Оу, Os главного момента количеств движения жидких масс нри покоящемся твердом теле, то найдем, что вышеупомянутая элементарная работа будет [c.189]

Бесконечно малое вращение около мгновенной оси всегда можно разложить на три вращения около трех взаимно пер-пе 1дикулярных осей. Угловая скорость при этом заменяется тремя составляющими угловыми скоростями, совершенно так же, как некоторая сила заменяется тремя составляющими силами. [c.205]

Таким образом, в каждый момент времени при плоскопарал-лельиом движении нормали к траекториям точек плоской фигуры проходят через одну общую точку — центр мгновенного вращения в частности, если движение будет поступательным, то все эти нормали будут параллельны между собой. Приняв во внимание эти чисто геометрические соображения, отметим положения п центров вращения на неподвижной плоскости (фиг. 50). Пусть это будут вершины ломаной С-2, С ь Со, С1, 2,. .., которая в пределе, при последовательном рассмотрении бесконечно большого числа бесконечно малых вращений, переходит в некоторую непрерывную кривую — неподвижную центроиду исследуемого плоского движения. [c.118]

При написании второго выражения в уравнении (2.1) для приращения работы й(д через главные значения мы можем вообразить, что некоторый бесконечно малый элемент в виде прямоугольного параллелепипеда, ребра которого направлены параллельно главным осям напряжений, растягивается сперва при приращениях деформаций сГег, бз в направлениях его ребер и затем поворачивается как твердое тело в новое бесконечно близкое, слегка наклоненное положение. Так как во время этого бесконечно малого вращения элемента никакой работы не совершается, то работа ср выражаетсэ 8 главных напряжениях в точности уравнением (2.1). [c.68]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...