Вращение перманентное

Здесь р, д, г — проекции по осям вращения ш частицы. Эта формула вместе с двумя подобными оправдывает теорему вращение перманентного ускорения слагается геометрически из трех линий из производной врашения частицы при передвижении ее н,ентра, из скорости, которую бы, имела точка (——йл — ) б относительном движении частицы ), и из линии, Д (В, отложенной по оси вращения. [c.121]

Понятно, что вместо того, чтобы определять полное ускорение, мы можем прямо отыскивать ускорения течения, так как при вышеупомянутых условиях вращение этого течения равно и противоположно вращению перманентных ускорений, а изменение объема равно нулю. Что же касается условий на поверхности, то на стенках сосуда [c.126]

В 4, излагая исследование Пуансо, мы установили, что перманентные вращения тела вокруг большой и малой осей эллипсоида инерции устойчивы в том смысле, что при малой погрешности в начальных условиях —при малом отклонении оси вращения от оси эллипсоида —мы получим движение, мало отличающееся от перманентного вращения. Перманентное вращение вокруг средней оси неустойчиво. Здесь невозмущенным движением является перманентное вращение, а возмущенным — то движение, которое возникнет в результате малой ошибки в начальный момент времени. [c.428]

Вопрос об устойчивости перманентных вращений будет рассмотрен в гл. VI, [c.200]

Переменными в этом уравнении являются р, q, г — проекции вектора угловой скорости <в на оси т), системы координат, жестко связанной с телом эти оси выбраны по главным осям инерции тела (см. гл. V), а А, В, С — константы. В гл. V перманентными вращениями были названы движения, которые происходят в одном из следующих трех случаев [c.234]

Иначе говоря, перманентными называются вращения, которые происходят с постоянной угловой скоростью вокруг одной из [c.234]

В гл. V было показано, что коэффициенты А, В и С представляют собой моменты инерции относительно осей т], соответственно. Отсюда сразу следует, что при движении тела с неподвижной точкой перманентное вращение вокруг тех главных осей, относительно которых момент инерции наименьший и наибольший, будет устойчивым. Применяя теорему Четаева о неустойчивости, можно показать, что перманентное вращение вокруг третьей оси (момент инерции относительно которой — средний по величине) неустойчиво. [c.235]

Перманентная и мгновенная оси вращения. Если скорости точек тела, лежащих на оси АВ, равны нулю ао все время движения, то эта ось называется перманентной или постоянной осью вращения. Изложенные выше результаты относятся именно к этому случаю. Если же скорости точек тела, лежащих на некоторой оси, равны нулю только в данный момент времени, то эта ось называется мгновенной осью вращения. Значения скоростей всех точек тела в этом случае также определяются формулой (21), где векторная величина о, направленная по мгновенной оси вращения, называется мгновенной угловой скоростью тела, В отличие от перманентной оси, мгновенная ось вращения, а с ней и вектор мгновенной угловой скорости 0) непрерывно изменяют свое направление как в самом теле, так и по отношению к основной системе отсчета. [c.100]

Пример показывает, что пара вращений может быть эквивалентна не только мгновенному, но и перманентному поступательному движению. Рис. 143. [c.145]

Следствие 6.7.2. Главные оси инерции служат перманентными (постоянными) осями вращения твердого тела вокруг неподвижной точки (см. 6.3). [c.471]

Уравнения (13) допускают следующие три частных решения, определяющих перманентные вращения тела относительно главных осей [c.211]

Пусть вдоль оси 0 исследуемого перманентного вращения расположена большая или малая ось эллипсоида инерции. Поскольку величины А, В и С обратно пропорциональны квадратам осей эллипсоида инерции, это означает, что А а В, С или А>В, С. Возьмем в качестве функции Ляпунова функцию [c.211]

Можно было бы показать, что перманентное вращение относительно средней оси эллипсоида инерции неустойчиво, но для этого следовало бы воспользоваться критерием неустойчивости Четаева ). [c.211]

Пример 1. Тело вращения может свободно вращаться вокруг точки О, лежащей на его оси. Найти условие установившегося (перманентного) враще-i ния вокруг вертикали, проведенной через О вверх. [c.132]

Примерз. Найти возможные случаи установившегося (перманентного) вращения твердого тела около неподвижной точки О при действии на тело только силы тяжести. [c.157]

В случае симметрии около оси А = В, я = 6 = 0) конус (21) делается неопределенным. Тут всякая прямая, проходящая через точку О, может быть сделана осью перманентного вращения. [c.158]

Перманентное вращение. Посмотрим, имеются ли между бесконечно разнообразными движениями по Пуансо, возможными для твердого тела, закрепленного в точке О, равномерные вращения. Это равносильно вопросу возможно ли удовлетворить уравнениям Эйлера (5 ) или эквивалентному векторному уравнению (18 ). полагая ш равным постоянному вектору в теле (а следовательно, также и в пространстве т. I, гл. IV, п. 11) Но а таком, случае в силу [c.88]

Определенные только что равномерные вращения твердого тела, закрепленного в своей точке О (и находящегося под действием активных сил с результирующим моментом относительно О, равным нулю), так же как и соответствующие оси вращения (главные оси инерции относительно точки О), называются соответственно перманентными вращениями и перманентными осями. [c.89]

Центробежные моменты инерции (моменты девиации). Остановимся на только что отмеченном обстоятельстве если прямая а, проходящая через точку О, не является перманентной осью вращения, а начальная угловая скорость совпадает с ней по направлению, то ось мгновенного вращения при движении тела по инерции будет смещаться тотчас же после начала движения из своего начального положения а. Чтобы несколько выяснить причины этого явления, посмотрим, нельзя ли добавить (к возможным внешним активным силам с результирующим моментом относительно точки О, равным нулю) новую силу, которая препятствовала бы оси а перемещаться и вынуждала бы твердое тело перманентно вращаться вокруг нее с заданной начальной угловой скоростью. [c.90]

Мы предполагаем здесь исследовать на основе критериев, установленных в 4 гл. IV, устойчивость или неустойчивость перманентных вращений, которые, как мы видели в предыдущем параграфе, возможны для всякого твердого тела, закрепленного в одной из своих точек О, относительно которой результирующий момент внешних активных сил постоянно равен нулю заметим также, что все, что мы скажем в этом случае, можно будет непосредственно повторить и в применении к перманентным вращениям относительно осей, проходящих через центр тяжести свободного твердого тела, находящегося под действием внешних сил, результирующий момент которых относительно центра тяжести постоянно равен нулю. [c.94]

Мы знаем, что в этом случае для твердого тела возможны перманентные вращения (с произвольной постоянной угловой скоростью) вокруг каждой из трех главных осей инерции х, у, г если введем, как обычно, проекции р, q, г угловой скорости о), то перманентные вращения твердого тела определятся равенствами [c.94]

Покажем теперь, что вращения Oj, а , т. е. перманентные вращения вокруг наибольшей оси х и наименьшей оси z эллипсоида инерции, будут устойчивыми, а перманентные вращения вокруг средней оси у, т е. вращения Од, будут неустойчивыми. [c.94]

Устойчивые перманентные вращения. Мы будем исходить в нашем исследовании из интеграла моментов количеств движения и интеграла живых сил [c.95]

Предположим теперь, что решение о соответствует начальным условиям, получаемым путем незначительного возмущения любого перманентного вращения Oj вокруг оси х, т. е. предположим, что д и Tq являются произвольно малыми, а Pf близко к значению р, определяющему вращение Oj. Значения постоянной с , а следовательно и осей эллипса (26) будут ничтожно малыми мы видим таким образом, что при движении, определяемом из решения а, проекции д к г будут сколь угодно долго оставаться близкими к д=г = 0. [c.95]

Аналогично доказывается и устойчивость любого решения <3д, т. е. устойчивость всякого перманентного вращения вокруг наименьшей оси эллипсоида инерции (фиг. 15). [c.96]

Неустойчивое перманентное ВРАЩЕНИЕ. Перейдем теперь к ис- [c.96]

Легко убедиться, что предположение об устойчивости решения Og приводит к противоречию. В самом деле, предположим, что в некотором решении а, вначале близком к решению ад, величина q даже при беспредельном возрастании времени остается близкой K.q — угловой скорости этого перманентного вращения. В этом предположении q сохраняет сколь угодно долго знак q, что же касается абсолютной величины q, то ее всегда можно считать большей q /2. Тогда, имея из уравнений (5 ) [c.96]

Таким образом, мы заключаем, что перманентные вращения вокруг средней оси эллипсоида инерции, соответствующие решению Од, неустойчивы (фиг. 15). [c.97]

Случай тела с гироскопической структурой. Предыдущие результаты получены в предположении, что три главных момента инерции относительно точки О неравны между собой поэтому нужно отдельно рассмотреть случай, когда некоторые из моментов инерции совпадают. Однако бесполезно останавливаться на предположении Л = В = С (эллипсоид инерции, сводящийся к шару), при котором, как мы знаем, все возможные движения твердого тела сводятся к перманентным вращениям, так что устойчивость каждого из них очевидна. [c.97]

Остается, следовательно, гироскопический случай, характеризуемый равенством А = В (С может быть, безразлично, больше или меньше общего значения величин А и В). В этом предположении возможны, как мы видели, перманентные вращения (с постоянной произвольной угловой скоростью) вокруг бесконечного множества осей гироскопической оси г и всех экваториальных осей. Мы покажем здесь, что устойчивыми будут перманентные вращения вокруг гироскопической оси, и неустойчивыми — все остальные. [c.97]

Обращаясь теперь к любому перманентному вращению а г = г, p = q = Q) вокруг гироскопической оси, мы увидим, что для любой регулярной прецессии а, вначале близкой к а, т. е. такой, что и близки к нулю, изображающая точка для р, q движется сколь угодно долго по окружности с весьма малым радиусом (21"), а потому ряд остаются всегда близкими к нулю, и устойчивость вращения а, таким образом, доказана. [c.98]

Наоборот, рассмотрим любое перманентное вращение вокруг какой-нибудь экваториальной оси, которую, не нарушая общности, мы можем предположить совпадающей с осью х, т. е. обратимся к решению 3j(/ = p, q = r = 0). Для какой-нибудь регулярной прецессии о, вначале близкой к Oj, т. е. имеющей р и соответственно близкими крик нулю, окружность (21") будет иметь радиус не ничтожно малый, а близкий к р, так что при движении по ней изображающей точки проекция q изменяется по гармоническому закону в интервале, близком к интервалу от рло — ри, следовательно, большем конечного интервала от pj2 до—jo/2, не зависящего от начальной разности между решениями оно. [c.98]

Это вполне ясно показывает неустойчивость всякого перманентного вращения вокруг экваториальной оси [ ]. [c.98]

Перманентные вращения тяжелого тела, закрепленного в одной из его точек. То обстоятельство, что мы не мОжем найти общий интеграл уравнений движения тяжелого твердого тела, закрепленного в одной из его точек, не исключает, конечно, возможности найти какие-нибудь частные их решения. Даже не вводя каких-либо ограничительных предположений о материальной структуре твердого тела, можно показать, как при помощи совсем элементарных средств удается выявить класс частных решений уравнений (34), (35), зависящий от одной произвольной постоянной. [c.104]

Прежде всего легко видеть, что ось перманентного вращения в пространстве может быть только вертикалью. Действительно, речь идет о том, чтобы показать, возможно ли удовлетворить уравнениям (34), (35) и, следовательно, их первым интегралам (28), (32), предполагая в них постоянной в пространстве угловую скорость о . Но в таком случае, как мы знаем (т. I, гл. IV, п. 11), эта угловая скорость будет постоянной также и в теле, откуда следует на основании соотношений между векторами ю и К, что будет постоянным в теле также и момент ЛГ количеств движения достаточно принять во внимание интеграл живых сил (32), который можно написать в виде [c.104]

Заметим, кстати, что если при движении тяжелого твердого тела, закрепленного в одной точке, остается постоянным в теле момент АГ, то постоянной (в теле) будет в силу соотношения между w и АГ и угловая скорость в а так как она будет тогда неизменной и в пространстве, то мы опять приходим к перманентным вращениям, которые поэтому можно определить как такие движения, в которых сохраняется постоянным внутри тела результирующий момент АГ количеств движения. [c.105]

Исключая теперь эти два случая равновесия, т. е. предполагая фО, заметим, как это следует из уравнения (37), что необходимое условие для того, чтобы (й = VX давало угловую Р скорость перманентного вращения твердого тела, заключается в том, чтобы [c.106]

Пример. В качестве примера решения задачи об устойчивости движения путем надлежащего выбора функции Ляпунова V рассмотрим задачу об устойчивости перманентных вращений твердого тела, движущегося по инерции относительно неподвижной точки. В гл. V было показано, что уравргения движения по инерции тела с неподвижной точкой можно записать так [c.234]

Легко видеть, что эта функция непрерывна, обращается в нуль в начале координат и положительна в остальных точках вблизи него. Следовательно, функция V удовлетворяет условиям, при которых она может служить функцией Ляпунова для рассматриваемой задачи. С другой стороны, легко видеть, что производная dVidt, вычисленная в силу уравнений движения, тождественно обращается в нуль, т. е. выбранная функция является первым интегралом уравнений движения. Хотя теперь функция V и не является полной энергией системы, мы, применяя теорему Ляпунова, сразу устанавливаем, что перманентное вращение 1 устойчиво. [c.235]

Поступательная скорость параллельна оси вращения. В этом случае результирующее движеике тела будет или перманентным, или мгновенным винтовым движением. [c.146]

Оси, вращение вокр>уг которых при отсутствии внещних сил не вызывает появления реакции одной из закрепленных точек, называются постоянными (перманентными) осями вращения. Очевидно, что свободные оси будут также и постоянными осями. [c.456]

Случай Штауде касается вопроса какие оси, будучи расположены вертикально, могут являться перманентными осями вращения Оказывается, что эти оси лежат в теле на конусе второго порядка, содержащем, кроме трех главных осей, также и центральную ось (проходящую через центр тяжести). Каждой оси соответствует определенная (с точ- [c.184]

Если, в еще более чаогном случае, эллипсоид инерции сводится к шару, то перманентными осями будут все прямые, выходящие из неподвижной точки в этом предположении всякое движение по инерции твердого тела будет равномерным вращением, как это следует из предыдущего и как- это уже было подтверждено в п. 8 на осно- вании дифференциальных уравнений движения. [c.90]

Выберем на конусе Штауде образующую q, ориентированную по юдному из своих направлений и имеющую относительно твердого тела направляющие косинусы fg) Tfa и предположим, что она совпадает (также и по стороне) с нисходящей вертикалью, проходящей через точку О. По предположению, направляющие косинусы fa, Ys Удовлетворяют уравнению (39 ), и все сводится к тому, чтобы убедиться, можно ли при соблюдении условия (39 ) определить, по крайней мере, одно действительное значение v, которое удовлетворяло бы уравнению (37). Это векторное соотношение, после проектирования на подвижные оси, дает три линейных уравнения относительно (уравнения Эйлера перманентного вращения тяжелого твердого тела) [c.109]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...