Интеграл механической системы

Но обращение [Я, G] в нуль, как известно, означает, что G — первый интеграл механической системы, задаваемой каноническими уравнениями [c.234]

Применение принципа Гамильтона — Остроградского к установлению действительного движения механической системы в промежутке времени от ti до связано с определением экстремума криволинейного интеграла [c.401]

Каждое из этих семи всеобщих уравнений движения выглядит так или иначе, в зависимости от того, для какого объекта оно составлено, написано ли оно для одной материальной точки, для твердого тела, совершающего определенное движение, или для изменяемой механической системы. Они могут быть написаны в конечном или в дифференциальном виде. В зависимости от условий задачи приходится выбирать уравнение и форму его, соответствующую заданным условиям. При этом полезно иметь в виду, что если проекции силы являются функциями времени, то часто бывает возможно проинтегрировать уравнения проекций количества движения. Уравнение кинетической энергии дает интеграл в тех случаях, когда силы являются функциями расстояния. Этим часто определяется выбор того или другого уравнения для решения задачи. Выводу семи всеобщих уравнений движения для различных движущихся объектов посвящены 35—37. [c.132]

Вернемся к задаче определения закона движения механической системы с помощью полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби. Для симметрии обозначим [c.649]

Таким образом, определяется движение механической системы в конечной форме и отпадает необходимость интегрирования дифференциальных уравнений движения системы. Если известно меньше 6/г первых интегралов, то вопрос интеграции исходных уравнений движения упрощается. Например, если рассматривать движение свободной материальной точки и известно три первых интеграла [c.70]

Заметим, наконец, что равенство (I. 113) позволяет найти интеграл энергии также для движения свободной материальной системы относительно ее центра инерции, если в относительных координатах выполняется равенство (I. 119). Если рассматривается движение несвободной материальной системы относительно ее центра инерции, то и для движения этой системы можно найти интеграл энергии в том случае, когда в относительных координатах связи идеальные и стационарные. Конечно, может оказаться, что связи, идеальные в абсолютной системе координат, не будут идеальными в относительной системе, рассматриваемой при изучении движения механической системы относительно ее центра инерции, и наоборот. [c.100]

Если рассматривать подынтегральное выражение в (37,8) как функцию Лагранжа одномерной механической системы (причем играет роль обобщенной координаты, ф — роль времени), то (37,12) есть интеграл энергии. [c.199]

Мы здесь при рассмотрении твердого тела требование сплошности опускаем и твердое тело рассматриваем лишь как неизменяемую систему весьма большого, но конечного числа п материальных точек. Для краткости опустили и знак интеграла, но его всегда нужно подразумевать, если неизменяемая механическая система образует сплошное твердое тело. [c.558]

Равенство (14), или (15) выражает в аналитической форме закон сохранения количества движения механической системы и представляет собой первый векторный интеграл дифференциальных уравнений движения (3, 102) для того случая, когда главный вектор внешних сил равен нулю. [c.576]

Это и есть принцип Гамильтона . Он утверждает, что движение произвольной механической системы происходит таким образом, что определенный интеграл А приобретает стационарное значение по отношению к любым возможным вариациям положения системы, при которых начальное и конечное положения остаются фиксированными. [c.139]

Резюме. При параметрическом задании движения время является дополнительной координатой, которая может принять участие в процессе варьирования. Импульс, соответствующий временной координате, является полной энергией, взятой с обратным знаком. Для склерономных систем время становится циклической координатой, а соответствующий импульс — константой. Это приводит к теореме сохранения энергии для консервативных систем. Исключение времени как циклической координаты позволяет сформулировать новый принцип, определяющий лишь путь механической системы, а не ее движение во времени. Это — принцип Якоби, аналогичный принципу Ферма в оптике. Этот же принцип может быть сформулирован как принцип наименьшего действия . В последнем случае интеграл по времени от удвоенной кинетической энергии минимизируется с дополнительным условием, что при движении и вдоль истинного, и вдоль проварьированного пути должна выполняться теорема о сохранении энергии. Если этот принцип рассматривать с помощью метода неопределенных множителей, то в качестве результирующих уравнений получаются уравнения движения Лагранжа. [c.165]

Из уравнений (8.3.6) видно, что для систем с разделяющими переменными полный интеграл уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби можно получить в квадратурах. Возникает такая необычная ситуация, что сопряженные переменные qk,Pk в каждой паре связаны непосредственно друг с другом без участия остальных переменных. Механическая система с п степенями свободы может рассматриваться как суперпозиция п систем с одной степенью свободы. Однако истинные уравнения движения такие [c.278]

Остановимся сначала на задаче о консервативной механической системе. Это в действительности общий случай, так как путем добавления времени t к числу позиционных переменных и введения в пространство конфигураций дополнительной оси t, а также замены слов независящая от времени h словами независящая от параметра т любая механическая система может быть сделана консервативной. Соединим точки qi,..., qn и <7i,..., траекторией, которая приводит к стационарному значению интеграл [c.292]

Сохранение энергии. Формула (3.4.5), выражающая классический интеграл энергии, играет важную роль во всей механике. Ее значение не ограничивается рамками классической механики и распространяется буквально на все области физических наук. Например, работа, затрачиваемая на растяжение струны, переходит в энергию натянутой струны. Если один конец струны закреплен, а другой соединен с частицей, то при освобождении струны запасенная в ней энергия переходит в кинетическую энергию частицы. Общий закон о сохранении энергии занимает столь важное место в нашем представлении о физическом мире, что, даже встречаясь с динамической задачей, в которой энергия не сохраняется, мы предпочитаем говорить, что энергия не уничтожается, а переходит в другую форму, отличную от кинетической или потенциальной энергии механической системы (например, в тепло). Тем не менее, несмотря на всеобъемлющий характер этого принципа для физики в целом, не следует придавать уравнению (3.4.5) большее значение, чем оно имеет в действительности. Мы будем рассматривать его как чрезвычайно простой первый интеграл уравнений движения. [c.47]

Криволинейный интеграл Pr qr сохраняет свое значение, когда кривая у движется описанным выше образом. Двин ению кривой в д-нространстве соответствуют возможные движения механической системы. Этот результат имеет сходство с известными теоремами классической гидродинамики о сохранении циркуляции скорости. [c.273]

Разделение переменных. Некоторые механические системы, описываемые определенной системой лагранжевых координат, допускают разделение переменных. Иными словами, написанное для такой системы модифицированное уравнение в частных производных (16.5.4) имеет полный интеграл в виде суммы п функций, каждая из которых зависит от одной из п координат. Подобные системы обладают рядом важных и интересных свойств, изучение которых составит предмет этой главы. Возможность разделения переменных зависит как от самой изучаемой системы, так и от выбранной для ее описания системы координат. Естественно, возникает вопрос каковы условия, при которых возможно разделение переменных, и каковы свойства систем, допускающих это разделение Б дальнейшем мы ограничимся рассмотрением натуральных систем с п степенями свободы, для описания которых используются п лагранжевых координат. [c.303]

К более точному предложению для величины энергия-время мы придем, если будем следовать термину квант действия , весьма удачно выбранному Планком. Этот термин указывает на временной интеграл J (Т — V) (И, который встречается в принципе Гамильтона это — так называемое действие. Здесь Т — кинетическая, 17 — потенциальная энергия рассматриваемой механической системы. В случаях, когда нельзя провести разделение энергии на кинетическую и потенциальную, Планк пишет вместо этого Н (11 к называет величину Н вместе с Гельмгольцем кинетическим потенциалом. [c.779]

Математическая связь состоит в том, что решение краевой задачи или задачи Коши для дифференциального уравнения, описывающего поведение данной механической системы, оказывается эквивалентным проблеме отыскания функции, минимизирующей определенный интеграл, которым выражается потенциальная энергия системы. Если иметь в виду, что минимизация определенного интеграла (функционала) является предметом вариационного исчисления, можно сказать, что решение краевой задачи или задачи Коши для дифференциального уравнения эквивалентно решению соответствующей вариационной проблемы. [c.438]

Во многих практически важных случаях цепная механическая система машинного агрегата является простой и разомкнутой (см. рис. 26, а и рис. 95, а). Система линейных интегро-дифферен-циальных уравнений (10.1) описывает динамические процессы в машинном агрегате при заданных внешних воздействиях. [c.346]

Элементы 5 ,-/ матрицы S называются импульсными функциями системы и описывают поведение i-й сосредоточенной массы при нулевых начальных условиях ф (0) = ф (0) = О и при воздействии на /-ю массу единичного импульса [58]. При использовании выражения (6.6) требование непрерывности и дифференцируемости вектор-функции / (t) при > О не является обязательным. Уравнение (6.6) формально позволяет решить задачу о вынужденных колебаниях механической системы с линеаризованными упруго-диссипативными характеристиками при действии на нее практически любых встречающихся возмущающих сил. Интеграл (6.6), называемый интегралом Дюамеля, может быть вычислен в общем случае одним из приближенных методов интегрирования. [c.166]

Уже в 30-е годы было начато изучение устойчивости более общих систем, чем у Ляпунова, что соответствует переходу от пространств конечного числа измерений с евклидовой метрикой к пространствам бесконечно большого числа измерений и метрикой общего характера. Эти исследования были продолжены и значительно продвинуты за последние два десятилетия с широким использованием методов функционального анализа. Переход к пространствам бесконечного числа измерений и общим метрикам дал возможность расширить теорию устойчивости на механические системы, описываемые не обыкновенными дифференциальными уравнениями, а бесконечными системами конечноразностных уравнений, уравнениями с запаздывающим или опережающим аргументом, уравнениями в частных производных и интегро-дифференциальными уравнениями и т. д. Такие системы все чаще встречаются в технике и физике, в теории устойчивости их удельный вес, несомненно, будет расти. Для таких систем подход к проблеме устойчивости в духе Ляпунова имеет особое значение, потому что для них весьма важен правильный учет начальных возмущений и распределение решений по типам и классам в зависимости от начальных условий. Опыт показывает, что здесь встречается гораздо большее разнообразие зон начальных условий, которым соответствуют разные по характеру решения, т. е. разное поведение физической системы. [c.132]

Следствие. В случае, если механическая система консервативна стационарна, автономна) и дН/д1 = О, то полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби можно искать в виде [c.203]

Принцип Лагранжа. Пусть имеется механическая система материальных точек, на которые наложены голономные идеальные связи, не зависящие явно от времени, а силы обладают силовой функцией V. Для такой системы существует интеграл живых сил [c.502]

Ограничение содержания аналитической динамики изучением непрерывных групп преобразований, по отношению к которым известные динамические показатели движения механической системы являются инвариантными показателями. Эта тенденция вызывается тем, что с помощью бесконечно малых преобразований, оставляющих действие по Гамильтону инвариантным до дивергенции, можно получить первые интегралы канонических уравнений, используя теорему Нетер. А канонические преобразования с заданным гамильтонианом преобразованной системы, как уже было отмечено, позволяют составить уравнения в частных производных, полный интеграл которых определяет искомые первые интегралы. Усилению этой тенденции способствует еще и возможность интерпретации самого движения механической системы как последовательность бесконечно малых преобразований координат и импульсов системы. [c.43]

Кинетической энергией ( 10) механической системы называется следующий интеграл [c.113]

Пример. Механическая система х = у, у = — х, описывающая движение линейного одномерного осциллятора, имеет глобальный первый интеграл [c.120]

Механическая система называется интегрируемой, если она имеет глобальный первый интеграл. [c.121]

Эта натуральная механическая система рассматривалась в 4 гл. III. Она имеет три степени свободы, конфигурационное пространство есть группа S0 3). Задача инвариантна при действии группы вращении g (s [О, 2тг)) относительно оси симметрии силового поля. Группе g" соответствует циклический интеграл — интеграл площадей. Через j обозначим его постоянную. [c.143]

Функция Лагранжа не зависит явно от времени, следовательно, функция Гамильтона также не будет зависеть от времени. При этих условиях функция Я будет равна (Т+У), т. е. полной механической энергии системы. Если в выражении кинетической энергии обобщенные скорости г и ф заменим обобщенными импульсами Ри р2, то мы получим первый интеграл канонической системы. [c.516]

I. Мерой механического движения в вариационном принципе наименьшего действия является функционал 8ь, называемый действием по Лагранжу. Чтобы выявить экстремальные свойства действия 8ь для реальных движений механических систем, нужно установить процедуру выбора пучка близких траекторий в пространстве конфигураций и произвести для них вычисление функционала 81,. Мы будем предполагать, что рассматриваемые механические системы консервативны и для них имеет место интеграл энергии, т. е. [c.133]

Из дальнейшего будет ясно, что законы сохранения импульса, кинетического момента и энергии приводят к так называемым интегралам движения. Интегралом движения называется такая функция времени, координат и скоростей точек, которая при движении механической системы сохраняет постоянное значение, определяемое начальными условиями. Таким образом, интеграл движения определяет соотношение вида [c.60]

Подчеркнем, что при выводе свойства (9.127) было использовано выражение вариации 65, справедливое для систем, движение которых подчинено уравнениям (9.14) или (9.15). Поэтому можно утверждать, что для механической системы с обобщенно-потенциальными силами и голономными идеальными связями величина интеграла [c.422]

Таким образом, инвариантность интеграла Пуанкаре — Кр.р-тана является необходимым и достаточным условием того, чтобы механическая система подчинялась каноническим уравнениям Гамильтона (9.15), т. е. была гамильтоновой системой. [c.425]

Пусть механическая система является обобщенно-консервативной, а хотя бы один набор канонических переменных разделяется, причем либо каждая из соответствующих переменных 7г, pi является периодической функцией времени с одинаковым периодом, либо каждый импульс рх является периодической функцией координаты в то -время как сама координата не является периодической функцией времени. Движение первого типа обычно называется либрацией, а второго типа — вращением. Примером либрации могут служить колебания неизотропного осциллятора (см. пример 9.9), а примером вращения — движение математического маятника при достаточно большом значении начальной энергии. В самом деле, получая из интеграла энергии маятника обобщенный импульс [c.438]

Возможность постановки подобных задач показывает, что в самом общем случае действие механической системы следует рассматривать и как явную функцию времени. Чтобы найти частную производную д8 д1, необходимо вычислить полную вариацию интеграла (36.1), обусловленную как варьированием обобщенных координат д , так и варьированием конечного момента времени 2 = Можно, однако, поступить проще, если определить действие механической системы как неопределенный ин- [c.204]

Мы сталкиваемся здесь с задачей, аналогичной стандартной задаче лагранжевой механики, а именно с определением движения механической системы с помощью минимизации зависящего от времени интеграла от функции Лагранжа L. Функция F может быть, таким образом, интерпретирована с механичеекой точки зрения как функция Лагранжа L ана.1итической механики. [c.321]

Для механической системы имеем так называемый интеграл Якоби—Пенлеве [c.224]

Для начала рассмотрим весьма простую задачу, которая, хотя и не имеет непосредственного отношения к статистико-механическим системам, весьма ярко демонстрирует фантастическую сложность поведения тривиальных на первый взгляд систем. Эта задача рассматривалась в пионерской работе Хенона и Хейлеса (1963) она касается движения в пространстве одиночной точки под влиянием цилиндрически симметричного потенциала. (Такая задача моделирует движение звезды в среднем поле галактики.) После учета тривиальных интегралов движения, таких, как полная энергия и полный момент количества движения, задача сводится к движению частицы в плоскости, т. е. в четырехмерном фазовом пространстве. Для такой редуцированной задачи имеется дополнительный изолирующий интеграл [c.365]

Второе направление, тесно связанное с первым, представлено работами по теории возмущений небесной механики. Наибольшее значение здесь имели исследования Ж. Лагранжа и П. С. Лапласа. Математический аппарат и методы теоретического исследования тут по сути те же, что и в теории малых колебаний. Однако в идейном отношении существенно то, что рассматривается устойчивость некоторого состояния движения и что само содержание понятия устойчивости в связи с этим изменялось. Сдвиг в сторону динамики демонстрирует нам и еще один важный результат, полученный механикой XVIII в.,— теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия механической системы, соответствующего максимуму силовой (или минимуму потенциальной) функции. Доказательство теоремы, логически проведенное небезупречно, основано на применении интеграла живых сил. [c.119]

Вместе с развитием неголономных связей и теории общего их вида приобретают значение новые методы в поисках решений классических задач аналитической механики. Такие новые методы базируются, можно сказать, на двух теоремах. Первая теорема высказана в работах П. В. Воронца в первых десятилетиях нашего века в следующей формулировке каждый первый интеграл уравнений движения некоторой механической системы может считаться уравнением связи, наложенной на систему с соответствующими реакциями, равными нулю . Действительно, примем данный первый интеграл за связь и составим уравнения движения с множителем. Далее, учитывая, что первый интеграл тождественно удовлетворяет левым частям всех уравнений с множителем, мы придем к тому, что данный множитель должен быть равен нулю. Обратная же теорема должна читаться следующим образом. Положим, дана механическая система с заданными, пусть идеальными в смысле Лагранжа — Даламбера, связями и активными силами. Имеются динамические дифференциальные уравнения данной системы. Положим, требуется найти янтеграл заданного вида для дайной системы уравнений. Тогда, 1при-няв данный интеграл за уравнение дополнительной связи, будем составлять уравнения движения с подобной связью. Интеграл же может быть любой аналитической структуры, поскольку мы умеем уже составлять уравнения движения при связях любой, если можно так сказать, неголономности. Далее, если мы решим расширенную систему уравнений движения, т. е. уравнений с множителем вместе с уравнением связи, то могут быть две возможности находятся уравнения движения системы, т. е. обобщенные координаты основной задачи в функциях времени и вместе с ними определяется множитель в функции времени. Но, если при каких-либо параметрах системы, или предполагаемого первого интеграла, или при некоторых начальных данных, множитель обратится в ноль, то тогда действительно уравнение связи окажется первым интегралом данной задачи. Возьмем, к примеру, классическую задачу о движении твердого тела вокруг неподвижной точки. Мы знаем, с каким трудом добывались решения этой задачи и как, по существу, их мало. Всего три случая — общего решения, да и общность относится только к начальным условиям, а на другие параметры — распределение масс и положение центра тяжести — налагаются определенные условия. Частных интегралов больше, но все они находились с трудом (вспомним, например, случай Гесса). Данные же методы наиболее естественны нри выяснении вопроса, является ли заданная связь -первым интегралом уравнений движения данной системы как свободной. [c.13]

Если система консервативна, то Ti = То = О и обобщенный интеграл энергии совпадает с полной энергией Тг + П = onst и выражает тем самым закон сохранения полной энергии в консервативных механических системах. [c.122]

Механическая система, описываемая уравнением (27), консервативна (существует нетривиальный первый интеграл уравнения (27) на всей фазовой плоскости). Положим 2ko — 7г — + 2п7г, тогда уравнение (27) преобразуется к виду [c.347]

Инвариантные множества стационарных движений. В этом параграфе мы будем рассматривать консервативные механические системы с п степенями свободы, допускающие /г-параметрическую группу симметрий [к < п). Пусть vGM nrGM — квазискорости (в частности, импульсы или обобщенные скорости) и существенные координаты системы соответственно, М — конфигурационное пространство существенных координат dim М гг. Данная механическая система допускает интеграл энергии [c.432]

Рассмотрим частный случай механической системы, когда функция Гамильтона не содержит времени в явном виде. В этом случае одним из первых интегралов будет интеграл энергии Я = сопз1 = Ао. Предположим, что известен второй интеграл ка ионической системы, содерж ий время t в явном виде [c.528]

Уравнения движения определяют действительное изменение механического состояния системы за бесконечно малый элемент времени и тем самым (если заданы начальные условия) определяют изменение состояния оистемы на конечном интервале времени. В связи с этим становится возможным отыскание, как гово-рят, и нтегр а л ьн ых принципов, характеризующих движение механической системы на таких кО Нечяых интервалах. Примером интегрального принципа может служить утверждение об инвариантности интеграла Пуанкаре — Картана инвариантности этого интеграла была установлена с помощью полной вариации функции действия. При этом, по существу, производилась сопоставление значений функции действия на различных действительных траекториях механической системы. Однако возможно соответствующее сопоставление значения какой-либо функции на действительной траектории с ее значениями на виртуальных траекториях. Такое сопоставление (как будет видно) также приводит к некоторому интегральному принципу. [c.449]

Принцип Гамильтона — Остроградского можно обобщить и на голономные системы с некхтсервативными активными силами, т. е. на такие системы, обобщенные силы которых нельзя представить в виде (29.4). Для указанного класса голономных систем принцип Гамильтона — Остроградского утверждает для действительного перемещения механической системы с неконсервативными активными силами должен обращаться в нуль интеграл от суммы вариации кинетической энергии и виртуальной работы всех активных сил, обусловленной этой вариацией, т. е. [c.185]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...