Пуанкаре

Интегральным инвариантом называется интегральное выражение, зависящее от координат и импульсов и сохраняющееся неизменным на некоторым образом выделенных множествах прямых путей. Различные интегральные инварианты отличаются один от другого тем, какие множества прямых путей рассматриваются и как формулируются интегральные свойства, неизменные на этих множествах. Из интегральных инвариантов классической механики в этом параграфе будут рассмотрены лишь три интегральный инвариант Пуанкаре — Картана, универсальный интегральный инвариант Пуанкаре и инвариант фазовый объем . [c.293]

Обратим теперь внимание на следующую особенность интегрального инварианта Пуанкаре — Картана. Если в дифференциальных уравнениях движения —все равно в уравнениях Лагранжа или Гамильтона — время t было выделено и входило иначе, чем координаты, так как по времени велось дифференцирование, то в контурный интеграл (85) дифференциал dt входит совершенно так же, как дифференциалы dqj. Если бы мы рассматривали время как дополнительную координату <7 +i, а в качестве импульса, соответствующего зтой координате, взяли гамильтониан с обратным знаком 1), то контурный интеграл (85) можно было бы переписать так [c.296]

В этом смысле контурный интеграл (86) является универсальным, не зависящим от того, каково потенциальное поле, в котором движется система ), и поэтому называется универсальным интегральным инвариантом Пуанкаре ). [c.298]

Обратные теоремы теории интегральных инвариантов. Для интегральных инвариантов Пуанкаре и Пуанкаре — Картана верно обратное утверждение. [c.298]

Первое утверждение теоремы доказано — система (87) гамильтонова. Но тогда для нее имеет место интегральный инвариант Пуанкаре — Картана [c.299]

В силу этой теоремы интегральный инвариант Пуанкаре — Картана (так же, как и принцип Гамильтона) может быть положен в основу механики. Действительно, если бы мы в качестве исходного постулата приняли существование интегрального инварианта Пуанкаре — Картана, то отсюда сразу следовало бы, что движение описывается уравнениями Гамильтона, а при условии [c.300]

В тех случаях, когда интегральный инвариант относится к какому-либо замкнутому контуру, он называется относительным. Интегральные инварианты Пуанкаре Картана и Пуанкаре являются относительными, а инвариант фазовый объем таковым не является. [c.305]

Инварианты, не содержащие гамильтониана и, следовательно, сохраняющиеся для всех динамических систем, движущихся в потенциальных нолях, называются универсальными. Инвариант Пуанкаре и инвариант фазовый объем — универсальные, а инвариант Пуанкаре — Картана не относится к универсальным. [c.305]

Универсальный интегральный инвариант Пуанкаре имеет вид [c.305]

Доказательство. Докажем сначала необходимость условий теоремы. Пусть преобразование (113) каноническое. Тогда оно преобразует старую гамильтонову систему в новую гамильтонову систему. Для преобразованной, новой системы имеет место универсальный интегральный инвариант Пуанкаре [c.313]

Для системы с гамильтонианом Я имеет место интегральный инвариант Пуанкаре — Картана. Поэтому интеграл в правой части выписанного равенства не зависит от выбора контура С на трубке прямых путей этой системы. Значит, не зависит от выбора этого контура и интеграл в левой части равенства [c.317]

Это равенство устанавливает интегральный инвариант Пуанкаре—Картана для новой гамильтоновой системы, и в силу обратной теоремы теории интегральных инвариантов функция р, t) является гамильтонианом этой системы. Теорема доказана. [c.317]

Мы установим сначала, какую форму принимает для таких систем интегральный инвариант Пуанкаре — Картана после этого рассмотрим, как записать для них систему уравнений, вид которой напоминает уравнения Лагранжа или уравнения Гамильтона, но порядок ниже (за счет использования интеграла энергии) далее выясним, как выглядят в этом случае вариационный принцип Гамильтона и уравнение Гамильтона — Якоби и какие возможности открываются для определения полного интеграла этого уравнения. [c.326]

Этот метод развит Пуанкаре. [c.259]

Заметим, что основное содержание методов малого параметра [34] и асимптотических методов [20] может трактоваться как исследование специфических бифуркаций и возмущений. Так, теория периодических движений Пуанкаре решает вопрос о рождении периодических движений от семейств периодических движений, теория квазилинейных систем с быстровращающимися фазами — вопрос о рождении интегральных тороидальных многообразий от многопараметрических семейств тороидальных многообразий, теория дифференциальных уравнений с малыми параметрами при старших производных исследует сингулярные возмущения решений дифференциальных уравнений и т. д. [c.267]

Отображение окружности в окружность. Отображение окружности на окружность может рассматриваться как частный случай отображения прямой в прямую. Поэтому все сказанное ранее об отображении прямой в прямую применимо и к отображению окружности в окружность. Однако этот частный случай обладает особенностями, заслуживающими дополнительного изучения. Впервые отображение окружности на себя изучал А. Пуанкаре [471 в связи с качественным исследованием фазовых траекторий на двумерном торе. Это исследование было продол- [c.294]

Вращения у зависит от со, как показано на рис. 7.97. Эта зависимость непрерывная и кусочно-постоянная. Каждому отрезку постоянства числа вращения у соответствует синхронизм порядка piq с некоторой областью захвата (м, 65) по частоте и собственных колебаний автономной системы. Если бы фиксировать частоту ш и менять частоту <щ внешнего воздействия, которая была до этого равна единице, то характер зависимости числа вращения Пуанкаре у от Иц будет такой же, как и от со. [c.352]

При дальнейшем изменении параметров после бифуркации слияния седел с узлами происходит быстрая смена различных качественных картинок разбиения. После этого быстрого мельтешения снова на более или менее длительном интервале изменения параметров может установиться устойчивый синхронизм. Характер этой смены достаточно сложен. Для простого синхронизма он определяется зависимостью числа вращения Пуанкаре от параметров. Каждому рациональному значению числа вращения соответствует. некоторый интервал по параметру существования устойчивого синхронизма. Между любыми такими интервалами существует бесчисленное множество других, причем между каждой парой этих других в свою очередь такое же бесчисленное множество. Сказанное в какой-то мере отображается рис. 7.115, где интервалам на оси параметра отвечают области существования устойчивого синхронизма с числом вращения у = piq, где р q — целые числа. [c.366]

Малкин И. Г., Методы Ляпунова и Пуанкаре в теории нелинейных колебаний, Гостехиздат, 1949. [c.383]

Интегральный инвариант Пуанкаре — Картана. Рассмотрим динамическую систему, движущуюся в потенциальном поле и имеющую гамильтониан Н. В (2п1)-мерном расширенном фазовом пространстве q, р, t этой системы выберем произвольный замкнутый несамопересекающийся контур и выберем какую-либо точку на этом контуре, скажем, точку А. Эта точка полностью определяет систему гамильтоновых переменных q , рд и может быть принята за начальную. Тогда при заданной функции Н движение определяется однозначно и, следовательно, однозначно определяется соответствующий прямой путь в рассматриваемом расширенном фазовом пространстве. Теперь возьмем [c.294]

Интеграл (85) назыаают интегральным инвариантом Пуанкаре — Картана. [c.296]

Универсальный интегральный инвариант Пуанкаре. Рассмотрим теперь интегральный инвариант Пуанкаре — Картана (85), взяв в качестве контуров, охватывающих трубку прямых путей, только одновременные контуры, т. е. контуры, которые получаются сечением этой трубки гиперплоскостями / = onst (рис. VI 1.8). Чтобы отличить одновременные контуры от контуров, произвольно проведенных на трубке прямых путей, будем обозначать их через С. Для всех точек такого контура t имеет одно и то же значение и, следовательно, для таких контуров дифференциал времени dt равен нулю. В силу этого интегральный инвариант Пуанкаре — Картана, рассматриваемый только на одновременных контурах, имеет вид [c.297]

Благодаря тому, что гамильтониан Н вообще не входит в выражение для иннарианта Пуанкаре, этот нивариант не зависит от Н, какова бы ни была эта функция от q, р и t. В частности, она может не удовлетворять условию [c.298]

Пуанкаре установил интегральный инвариант именно в такой универсальной форме, и лишь затем Картан, рассмотрев контуры, не расположенные в плоскости ( = oBst, добавил член, содержащий гамильтониан. Поэтому интегральный инвариант (85) и носит название инварианта Пуанкаре —Картана. [c.298]

Классификация интегральных инвариантов. Теорема Ли Хуа-чжуна. Мы рассмотрели лишь три интегральных инварианта — инвариант Пуанкаре — Картана, унииерсальный инвариант Пуанкаре и инвариант фазовый объем . В классической механике вводятся и иные интегральные инварианты, которые мы не будем рассматривать, а остановимся лишь на общей их классификации. [c.305]

Порядок инварианта определяется размерностью множества, по которому производится интегрирование. Инвариант Пуанкаре— Картана и универсальный инвариант Пуанкаре являются инвариантами первого порядка, так как интегрирование в этих инвариантах производится по одномерному множеству (по контуру). Инвариант фазовый объем является инвариантом 2и-го порядка, так как интегрирование производится по 2/ьмерной области — фазовому объему. [c.305]

Естестгенно возникает вопрос существуют ли универсальные относительные инварианты первого порядка Jj, отличные от инварианта Пуанкаре Л Ответ на этот вопрос дает теорема, доказанная Ли Хуачжуном. [c.305]

Равенство (116) верно при любом t. Поэтому его левая часть является универсальным интегральным инвариантом первого порядка. По теореме Ли Хуачжуна такой инвариант может отличаться от инварианта Пуанкаре лишь на постоянный множитель с. Следовательно, [c.313]

Значение энергии определяется фазовыми координатами q и р. Поэтому в расширенном фазовом пространстве q, р, t может 0ыть выделено изоэнергетическое подпространство , соответствующее множеству точек, где выполняется условие (136). Особенностью консервативных и обобщенно консервативных систем является то, что во время движения системы точка, изображающая это движение в расширенном фазовом пространстве, может находиться лишь в этом изоэнергетическом подпространстве . Если при выводе интегральных инвариантов выбрать исходный контур Со в этом подпространстве, то вся трубка прямых путей будет также лежать в этом подпространстве, а сам интегральный инвариант Пуанкаре—Картана примет вид [c.327]

Обращаем внимание читателя на то, что, несмотря на сходство записи, интегральный инвариант Пуанкаре — Картана для консервативных систем (137) не совпадает с универсальным интегральным инвариантом Пуанкаре,— ведь в случае инварианта Пуанкаре интегрирование производится по контуру С, расположенному в плоскости onst, а в формуле (137) контурный интеграл берется по произвольному контуру С, охватывающему трубку прямых путей. [c.327]

Используя это обозначение, можно придать инварианту (137) форму, подобную обычной форме интегрального инварнанта Пуанкаре—Картана для неконсервативных систем [c.328]

Записанный так интегральный инвариант Пуанкаре — Картана для консервативных систем отличается от интегрального И11ва-рианта в общем случае движения в потенциальном поле в трех отношениях во-первых, суммирование в первом члене ведется не от единицы до л, а от двух до п во-вторых, вместо гамильтониана Я в этом выражении стоит функция К, которая получилась, когда интеграл энергии (136) был разрешен относительно импульса Pi (см. выражение (138)) в-третьнх, роль t играет теперь <7i. Таким образом, воспользовавшись тем, что для консервативных и обобщенно консервативных систем гамильтониан не зависит явно от времени, мы исключили время из выражения интегрального инварианта Пуанкаре — Картана. Теперь совершенно так же, как в общих случаях движения систем в потенциальном поле из интегрального инварианта Пуанкаре — Картана следуют канонические уравнения Гамильтона, для консервативных и обобщенно консервативных систем из интегрального инварианта (139) следуют уравнения [c.328]

Эти уравнения отличаются от уравнений Гамильтона в тех же отнсилениях, в каких интегральный инвариант (139) отличается от интегрального инварианта Пуанкаре — Картана роль функции Н играет функция К, вместо t стоит <7, и / меняется не от 1 до п, а от 2 до п. Полученные таким образом уравнения (140) для консервативных систем являются аналогом уравнений Гамильтона и называются уравнениями Уиттекера. Уравнений Уиттекера на два меньше, чем уравнений Гамильтона, и следовательно, использовав интеграл энергии и исключив время, нам удалось снизить порядок системы на две единицы. [c.328]

Под сильно нелинейной с11стемой обычно понимают либо динамическую систему, не допускающую линеаризации в малом, либо систему, в которой проявляются нелинейные эффекты, не обнаруживаемые квазилинейной теорией. К таким системам относятся релейные системы автоматического регулирования, динамические системы с ударным взаимодействием, системы с люфтом и сухим трением и др. Одним из эффективных методов изучения динамики сильно нелинейных систем, поведение которых описывается дифференциальными уравнениями (4.1) с кусочно-гладкими правыми частями, является метод точечных отображений. Этот метод, зарождение которого связано с именем А. Пуанкаре и Дж. Биркгофа, был введен в теорию нелинейных колебаний А. А. Андроновым. Установив связь между автоколебаниями и предельными циклами А. Пуанкаре и опираясь на математический аппарат качественной теории дифференциальных уравнений, А. А. Андронов сущест-Еенно расширил возможности метода припасовывания и сформулировал принципы, которые легли в основу метода точечных отображений и позволили эффективно использовать этот метод при исследовании конкретных систем автоматического регулирования и радиотехники. С помощью метода точечных отображений оказалось возможным полностью решить ряд основных задач теории автоматическою регулирования и, в первую очередь, классическую задачу И. А. Вышнеградского о регуляторе прямого действия с сухим трением в чувствительном элементе [1, 2J. Была рас- [c.68]

Для доказательства существоваиня и единственности предельного цикла на плоскости ху, а также для установления границ его расположения воспользуемся методом кривой контактов и теоремой Пуанкаре—Дюлака. [c.143]

Следовательно, если предельные циклы существуют, то они лежат внутри кольцеобразной области, образуемой окружностями радиусов и / о. Докажем с помощью теоремы Пуанкаре—Дюлака, что в рассматриваемом случае в кольцевой области между крайними кругами топографической системы при > , и С < имеется самое большее один устойчивый предельный цикл. [c.145]

Теорему Пуанкаре—Дюлака можно сформулировать следующим образом. Пусть дана система [c.145]

Отображение кольца в кольцо представляет значительный интерес и довольно часто встречается при исследовании конкретных динамических систем. Изучение ограниченной проблемы трех тел привело А. Пуанкаре к рассмотрению сохраняющего площадь отображения кольца на себя. Он обнаружил, что если при отображении внешний и внутренний контуры вращаются в разных направлениях, то нмезтся неподвижная точка. Это утверждение получило наименование последней геометрической теоремы А. Пуанкаре [431. Ее доказательство было позднее найдено Дж. Биркгофом [191. [c.299]

Теоретическая механика Том 1 (1960) -- [ c.317 ]

Теоретическая механика Том 2 (1960) -- [ c.53 , c.199 , c.410 , c.419 ]

Динамические системы (1999) -- [ c.85 , c.114 , c.148 , c.157 , c.170 , c.179 , c.182 ]

Лекции по аналитической механике (1966) -- [ c.9 , c.136 , c.219 ]

Вариационные принципы механики (1965) -- [ c.393 ]

Курс теоретической механики Том 2 Часть 1 (1951) -- [ c.168 ]

Курс теоретической механики Том 2 Часть 2 (1951) -- [ c.294 , c.295 , c.303 , c.347 , c.454 ]

Аналитическая динамика (1999) -- [ c.111 , c.480 ]

Термодинамическая теория сродства (1984) -- [ c.78 ]

Динамические системы (1999) -- [ c.157 , c.182 ]

Устойчивость вращающихся масс жидкости (2001) -- [ c.15 , c.16 , c.20 , c.22 , c.176 , c.232 , c.233 , c.235 ]

Небесная механика (1965) -- [ c.128 ]

Общие свойства динамических систем (1970) -- [ c.5 , c.6 , c.138 ]

голоморфная динамика (2000) -- [ c.10 , c.12 , c.30 ]

Термодинамика и статистическая физика Теория равновесных систем (1991) -- [ c.9 , c.25 , c.66 , c.76 , c.297 , c.501 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...