Непрерывные группы

Контактные преобразования. Движение динамической системы определяет непрерывную группу преобразований фазового пространства ( 21.3). Эти преобразования переводят изображающую точку из положения [c.487]

Пусть — некоторая конечная или бесконечная непрерывная группа тогда можно достигнуть того, что тождественному преобразованию будут соответствовать нулевые значения параметров е или соответственно произвольных функций р(х) ). Следовательно, наиболее общее преобразование будет иметь вид [c.615]

Будем считать сначала конечной непрерывной группой так как, по предположению. Ли и Лх линейны относительно параметров. .., то на основании (9) то же самое имеет место и для вариации Ьи и ее производных таким образом, Л и В линейны относительно е. Поэтому, если я положу [c.616]

Пусть теперь — бесконечная непрерывная группа тогда опять ди и ее производные, а следовательно, и В будут линейными относительно произвольных функций р(х) и их производных ) предположим, что путем [c.616]

В непрерывной группе объединены обе эти операции. Группа Ли является конкретным понятием теории топологических групп, в котором уже в определении заключено условие дифференцируемости функций, дающих операцию перемножения элементов группы. [c.905]

Ли подробно изучил такие непрерывные группы преобразований. Элементом непрерывной группы является преобразование, переводящее каждую точку п-мерного пространства в другую такую же точку. Таким образом, каждое преобразование задается системой п функций от п переменных [c.905]

Это равенство известно в механике и в теории непрерывных групп как тождество Якоби. [c.916]

За непрерывной группой стана расположены двое ножниц с максимальным усилием резания 630 т. Склад заготовок имеет холодильники, оборудованные сталкивателями заготовок с рольгангов на стеллажи. [c.860]

Стан состоит (фиг. 11) из двух непрерывных групп и отличается от заготовочного непрерывного стана наличием двух клетей с вертикальными валками и двух дополнительных клетей дуо с горизонтальными валками в первой непрерывной группе и двух клетей с вертикальными валками — во второй. [c.861]

Прокатка в непрерывных группах рабочих клетей без подпора или большого натяжения возможна только при равенстве постоянной калибровки всех клетей в каждой группе НЗС. Расстояние между группами рабочих клетей принимается несколько большим, чем длина раската, выходящего из последней клети предыдущей группы НЗС, и добиваться постоянства между группами клетей не требуется. Регулирование постоянной калибровки [c.307]

Предельной для групп п и п т является непрерывная группа, изображаемая символом < т. [c.15]

Предельной для рассматриваемых групп является непрерывная группа т, имеющая ось бесконечного порядка и бесчисленное множество продольных плоскостей. [c.16]

Предельной для введенных групп является рассмотренная выше непрерывная группа т °о т. [c.18]

Эти ограничения следуют из того, что поворот вокруг оси на угол е -f- 2я рад идентичен повороту на угол е. Эта группа называется трехмерной группой чистых вращений К и имеет бесконечное число элементов, т. е. является бесконечной группой. Такую группу, элементы которой определяются непрерывно изменяющимися параметрами (в нашем случае — параметрами а, Р, y). называют непрерывной группой. Две другие непрерывные группы вращения — Соо и D . Группа С является группой вращения конуса, а D — цилиндра. [c.42]

Пространственная группа К(П), введенная в гл. 3, является бесконечной (непрерывной) группой, имеющей бесконечное число [c.106]

Понятие бесконечно малых преобразований (и, в частности, бесконечно малых канонических преобразований), на которых базируется представление о непрерывной группе, несомненно имело корни в геометрии и даже в механике, Так, например, бесконечно малые движения рассматривались уже Пуансо в Новой теории вращения тел (1834 г.) [c.232]

В свете новых пдей измеренные постоянные ре.иаксацни представляются некоторыми средними непрерывной группы релаксационных постоянных. [c.403]

Марий Софус Л и родился в 1842 г. в Нордфиорде в Норвегии, умер в 1899 г., в Осло. После одного года преподавания в шведском университете в Лунде, он перешел в 1872 г. в университет в Осло, из которого в 1886 г. был приглашен заменить Клейна в Лейпцигском университете. Здесь в течение двенадцати лет он собрал вокруг себя большую группу учеников разных национальностей. В 1898 г., когда здоровье его было уже подорвано болезнью, приведшей его к могиле, он с большими почестями был приглашен на родину на кафедру теории групп преобразований, созданную им в университете в Осло. Он любил связывать свои работы с работами Понселе и Плюккера с одной стороны, и с работами Галуа — с другой. Но благодаря смелой новизне взглядов, силе геометрической интуиции и независимости мысли, не-подчиняющейся чьему бы то ни было влиянию, С. Ли занимает в истории математики совершенно самостоятельное место. Благодаря новой принадлежащей ему концепции задачи интегрирования дифференциальных уравнений он пришел, с одной стороны, к открытию преобразований прикосновения и к теории инвариантов этих преобразований, а с другой стороны, к теории конечных непрерывных групп преобразований, которая благодаря совершенной полноте, изяществу методов и результатов я неисчерпаемой возможности приложений остается вечным памятником его имени. [c.252]

Речь идет о вариационных задачах, которые допускают непрерывную группу (в смысле Ли) вытекающие отсюда следствия для соответствующих дифференциальных уравнений находят свое наиболее общее выражение в теоремах, которые формулируются в 1 и доказываются в последующих параграфах. Относительно этих дифференциальных уравнений, возникающих из вариационных задач, возможны высказывания, значительно более точные, нежели относительно любых допускающих группу дифференциальных уравнений, которые являются предметом исследований Ли. Итак, последующее изложение базируется на объединении методов формального вариационного исчисления с методами теории групп Ли. Для специальных групп и для вариационных задач это объединение методов не ново я упомяну Гамеля и Герглоца (Herglotz), занимавшихся специальными конечными группами, Лоренца и его учеников (например, Фоккера), Вейля и Клейна, занимавшихся специальными бесконечными группами ). Вторая статья Клейна и настоящая работа в особенности взаимно повлияли друг на друга в связи с этим я хотела бы указать на заключительные замечания в статье Клейна. [c.611]

Под группой преобразований , как известно, понимают такую систему преобразований, при которой каждому преобразованию соответствует обратное преобразование, принадлежащее той же системе, и преобразование, составленное из любых двух преобразований системы, принадлежит также данной системе. Группа называется конечной непрерывной группой, если ее преобразования все заключены в наиболее общем преобразовании, зависящем аналитически от р существенных параметров р (т. е. эти р параметров не могут быть представлены как р функций меньщего числа параметров). [c.611]

В соответствии с этим под бесконечной непрерывной группой оов понимают такую группу, для которой наиболее общие преобразования зависят от р существенных произвольных функций р (х) и их производных или аналитически, или, по крайней мере, так, что эта зависимость выражается непрерывными функциями, допускающими конечное число непрерывных производных. Промежуточное положение занимает группа, зависящая от бесконечно большого числа параметров, но не от произвольных функций. Наконец, сжшанной группой называют такую, которая зависит как от произвольных функций, так и от параметров ). [c.612]

В 1851 г. Сильвестр впервые ввел понятие об инвариантах алгебраических форм. В так называемой Эрлангенской программе Ф. Клейн, сформулировал принцип, что каждое многообразие (в том числе различные геометрии) задается системой инвариантов относительно некоторой группы преобразований. С другой стороны, в 70-х годах XIX в. Софус Ли установил связь между интегралами дифференциальных уравнений и инвариантами непрерывных групп. Отсюда вытекает возможность интерпретации механики в терминах непрерывной группы и ее инвариантов. Основываясь на объединении вариационного исчисления и методов теории групп Ли, Э. Нетер в 1918 г. дала алгоритм, позволяющий найти систему инвариантов любой физической теории, формулируемой при помощи лагранжева или гамильтонова формализма. [c.863]

Для работы Софуса Ли характерно глубокое развитие понятия непрерывной группы. Первоначально понятие непрерывной (топологической) группы возникло в связи с рассмотрением групп непрерывных преобразований. [c.905]

На возможное возражение, что группа сама по себе является априорным понятием, можно указать, что понятие группы является результатом абстрагирования от различных подвижных инструментов циркуль, линейка и т. д., являющихся орудием геометрического исследования ). Напомним, что уже в геометрии Евклида неявно предполагалось, что все геометрические построения следует проводить с помощью только циркуля и линейки. Смысл этого требования становится ясен только с точки зрения программы Клейна. Геометрические свойства тел выражаются, таким образом, в терминах инвариантов группы и допускают изоморфную подстановку элементов пространства, в котором реализуется группа, и, следовательно, совершенно не зависят от самих геометрических объектов. Укажем, например, на реализацию геометрии Лобачевского на плоскости, предложенную А. Пуанкаре. Приведенный пример указывает на большую методологическую ценность программы Клейна. Аналогичный подход возможен также и в физике, где различные законы сохранения интерпретируются как свойства симметрии относительно различных групп. Основными группами современной физики являются группа Лоренца, заданная в пространстве Минковского, и группа непрерывных преобразований, заданная в криволинейном пространстве общей теории относительности, коэффициенты метрической формы которого определяют поле гравитации. В релятивистской квантовой механике мы переходим от группы Лоренца к ее представлениям, определяющим преобразования волновых функций. Как было показано П. Дираком, два числа I и 5, задающих неприводимое представление группы Лоренца, можно интерпретировать как константы движения угловой момент и внутренний момент частицы (спин). Иначе говоря, операторы, соответствующие этим инвариантам, перестановочны с гамильтонианом (квантовые скобки Пуассона от гамильтониана и этих операторов равны нулю). Числа, обладающие этими свойствами, называются квантовыми числами. В работах Э. Нетер дается общий алгоритм, позволяющий найти полную систему инвариантов любой физической теории, формулируемой в терминах лагранжева или гамильтонова формализмов. В основу алгоритма положена указанная выше связь между инвариантами группы Ли и константами движения уравнений Гамильтона или Лагранжа. В качестве простейшего примера рассмотрим вывод закона сохранения углового момента механической системы, заданной лагранжианом Г(х, X, (). Вводим непрерывную группу вращения, заданную системой инфи- [c.912]

Движение какого-либо звена / плоского механизма относительно другого 2, связанного с ним цилиндрическим ншрниром, может рассматриваться как непрерывная группа вращений. Элементами такой группы являются последовательные положения первого звена при вращении относительно второго (рис. 7). Очевидно, каждому положению движущегося звена может быть поставлена в соответствие матрица j/llt преобразования координат точек, [c.50]

Для прокатки более сложных профилей, как, например, уголков, швеллеров и др., непрерывные станы ввиду сложности их настройки распространения не получили. В этом случае непрерывное расположение сохраняется для обжимных и черновых клетей, а подготовительные и чистовые клети располагаются линейно, в одну линию или ступеиями. Эти станы называются полунепрерывными. В станах этого типа первые проходы осуществляются в непрерывной группе клетей, а последние, где требуется частая регулировка вал- [c.854]

Первая непрерывная группа состоит из восьми клетей дуо с горизонтальными валками и двух клетей с вертикальными валками. Перед второй непрерывной группой установлены маятниковые ножницы. Вторая группа состоит из шести клетей дуо с горизонтальными валками и двух клетей с вертикальными валками. Привод валков каждых двух клетей производится через общий редуктор и шестерённые клети.Скорость прокатки в последней клети — до 3,5 м1сек (см. табл. 8). [c.861]

Перед черновой группой расположены нолшицы горячей резки. Кантование в непрерывной группе производится геликоидальными проводками чистовая линия имеет с задней стороны обводные аппараты. За последней линией расположены моталки для сматывания мелкого сорта в бунты весом до 140 кг. Уборка бунтов производится подвесным крюковым транспортёром. [c.866]

Фиг. 24. Схема расположения оборудования полунепрерывного листового стана для прокатки дуралюмина /— отделение нагревательных колодцев //— отделение фрезеровки слябов ///—здание стана /И—машинный зал V - отделение печей VI — отделение отделки / — нагревательные колодцы 2 — клеть кварто 3050 мм с приводом рабочих валков от двигателя 5СОО с. 3 — ставки для фрезеровки слябов 4 — ножницы 5 — подогревательные печи 6 — клеть кварто 2850 мм с приводом рабочих валков от двигателя 5000 л. с. 7 — дисковые ножницы < —непрерывная группа горячей прокатки 9 — трёлроликовая моталка 10 — отжигательные печи и — станы холодной прокатки 12 — вертикальные закалочные печи 13 — дрессировочные клети414 — комбинированные ножницы.

Непрерывная группа, . . . Чистовые клети кварто 710/1370 аочо 4X 4000 175—350 [c.869]

Обжимная клеть кварто имеет поворотный стол для поворота слитка на 90 и прокатки его в поперечном направлении с целью его уширения. После прокатки в обжимной клети слябы подвергаются обрезке концов на ножницах, повторному нагреву в электропечах и прокатке на черновой клети кварто. После обрезки концов и боковых кромок полосы производится прокатка её в чистовой непрерывной группе и сматывание в рулоны, которые потом поступают в отделение холодной прокатки. Скорость прокатки в последней клети непрерывной группы — от 2,1 до 4,6 м1сек. [c.869]

Существуют разл. формулировки Г. т. Для мн. приложений достаточна следуюхцая. Пусть локальная трансляционно-инвариантная теория поля инвариантна относительно непрерывной группы G, описываемой я сохраняющимися токами /д (jt), —О [х — про- [c.501]

ГОЛДСТОУНОВСКИЕ БОЗОНЫ — бозоны с пулевой массой и нулевым спином, существование к-рых в теориях со спонтанным нарушением непрерывной группы симметрии (см. Спонтанное нарушение симметрии) вытекает из Голдстоуна теоремы. Примеры Г. б. в нерелятивистской квантовой теории ын. тел спонтанному нарушению симметрии изотропного ферромагнетика относительно вращений трёхмерного пространства соответствуют магноны, спонтанному нарушению калибровочной симметрии в сверхтекучем гелии — фонопы и т. д. [c.501]

Критические свойства двумерных систем. При достаточно низких темп-рах ср. значение параметра порядка (намагниченности) системы с дискретной абелевой группой симметрии отлично от нуля. При высоких темп-рах система находится в ыеупорядоч, состоянии. В системах с непрерывной группой симметрии намагниченность отсутствует во всём диапазоне темп-р. [c.568]

Продельная группа °°/°° состоит из бесчисленного множества осей бесконечного порядка, наи-равлеппых во все стороны. Существенно, что эта непрерывная группа не имеет плоскостей симметрии. [c.20]

Важную роль играет понятие инфинитезималъного преобразования непрерывной группы зто предел преобразования U (6f) при 6f- 0. Очевидно, что [c.23]

Принципиально новым шагом в развитии взаимосвязи симметрия — сохранение были открытие и разработка Софусом Ли теории бесконечно малых канонических преобразований и установление на этом пути канонического варианта обсуждаемой взаимосвязи. С. Ли вошел в историю науки, прежде всего, как создатель теории непрерывных групп. Но основной движуш вй силой этих его исследований было стремление разработать обш,ую теорию интегрирования дифференциальных уравнений, аналогичную теории Галуа для алгебраических уравнений Благодаря новой принадлежаш,ей ему концепции задачи интегрирования дифференциальных уравнений он пришел, с одной стороны, к открытию преобразований прикосновения (или,что то же самое, касательных или контактных преобразований, совпадающих в механике с каноническими преобразованиями. — В. В.) и к теории инвариантов этих преобразований, а с другой стороны, к теории конечных непрерывных групп преобразований... Основные понятия и первые применения тео-232 рии канонических преобразований связаны с именем Якоби (см. гл. XI). Но наиболее глубокие результаты в развитии этой теории были, достигнуты лишь благодаря введению Софусом Ли бесконечно малых преобразований. В 1899 г. Дарбу писал в некрологе, посвященном С. Ли [c.232]

С другой стороны, вариации координат (или виртуальные перемещения), широко используемые впервые Лагранжем,можносчитатьирообразами лиев-ских бесконечно малых преобразований непрерывных групп. Больше того, представление об евклидовой симметрии пространства, восходящее к геометрии Евклида и постепенно утвердившееся ко времени Ньютона в физике, в сочетании с представлением о непрерывности пространства приводили естественным образом к понятию бесконечно малых движений пространства. Введя бесконечно малые канонические преобразования и открыв их групп о- вую природу, С. Ли нашел тем самым ключ ко всей гамильтоновой динамике как теории групп . Основное значение в этом новом понимании механики имела теорема, которой С. Ли придавал фундаментальное значение и которая представляет собой нечто иное, как своеобразный канонический вариант взаимосвязи симметрия — сохранение . [c.232]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...