Резюме

Резюме. Резюмируя изложенное, получаем следующую таблицу [c.41]

Резюме. Сформулируем теперь четыре основных пункта, по которым имеется различие между векторной и аналитической механикой [c.28]

Резюме. Проблемы изучения движения аналитическими методами требуют обобщения первоначальной концепции декартовых координат. В качестве системы координат может быть выбрана любая совокупность параметров, характеризующая положение механической системы. Эти параметры называются обобщенными координатами системы. [c.34]

Резюме. Наглядная картина -мерного пространства дает возможность распространить механику одной материальной точки на сколь угодно сложные механические системы. Такая система заменяется одной точкой, движение которой и изучается. Однако пространство, в котором находится эта точка, уже не является обычным физическим пространством. Это абстрактное пространство, количество измерений которого определяется условиями задачи. [c.36]

Резюме. Ввиду произвола в выборе координат одна система обобщенных координат может быть заменена другой. Это преобразование координат может мыслиться геометрически как отображение -мерного пространства самого на себя. Отображение не сохраняет углов и расстояний. Прямые линии преобразуются в кривые, однако в бесконечно малой области, в окрестности некоторой точки, отображение выпрямляется прямые линии переходят в прямые, параллельные — в параллельные, и сохраняется отношение объемов. [c.38]

Резюме. Кинематические условия не всегда имеют вид конечных соотношений между координатами, иначе говоря, не всегда являются голономными . Может случиться, что связи представимы лишь в виде соотношений между дифференциалами от координат. Такие связи называют неголономными . Подобные связи возникают, например, при качении твердого тела без скольжения по некоторой поверхности. [c.49]

Резюме. Задача о нахождении точки, в которой некоторая функция имеет относительный максимум или минимум, приводит к необходимости исследования бесконечно малой окрестности этой точки. Это исследование должно показать, что функция обладает стационарным значением в рассматриваемой точке. Хотя это утверждение само по себе без дополнительных условий и не может гарантировать наличия экстремума, для общих задач динамики его достаточно задачи движения требуют лишь нахождения стационарных значений, а не обязательно минимумов некоторого определенного интеграла. [c.60]

Резюме. Необходимым и достаточным условием наличия стационарного значения функции F п переменных в некоторой точке Р является обращение в нуль в этой точке всех ее п частных производных. [c.62]

Резюме. При выполнении условия существования стационарного значения дальнейшие критерии наличия экстремума связаны со знаком второй вариации. Для существования экстремума достаточно, чтобы знак второй вариации сохранялся при всех возможных бесконечно малых виртуальных перемещениях положительный знак при этом соответствует минимуму, а отрицательный — максимуму. Если вторая вариация положительна для одних перемещений и отрицательна для других, то в стационарной точке функция не имеет экстремума. [c.64]

Резюме. Экстремум функции требует стационарного значения лишь в случае перемещений, обратимых по направлению. На границах области пространства конфигураций, где обратимость не имеет места, экстремум может достигаться и не в стационарных точках. [c.65]

Резюме. Метод неопределенных множителей Лагранжа сводит вариационную задачу с дополнительными условиями к свободной вариационной задаче. Функция F, для которой ищется стационарное значение, преобразуется путем прибавления левых частей дополнительных условий, каждая из которых умножается предварительно на некоторый неопределенный множитель К. Вариационная задача для преобразованной функции решается как свободная. Получающиеся условия стационарности вместе с имеющимися дополнительными условиями определяют искомые значения переменных и множители X. [c.70]

Резюме. Метод Лагранжа применим также и при неголономных условиях. Левые части этих условий умножаются на некоторые неопределенные множители X и прибавляются к вариации исследуемой функции F. Все это выражение приравнивается нулю, причем все вариации считаются здесь свободными. [c.72]

Резюме. Задача минимизации определенного интеграла, содержащего неизвестную функцию и ее производную, может быть сведена к элементарной задаче минимизации функции многих переменных. Для этого интеграл заменяется суммой, а производная — отношением приращений. Условия, при выполнении которых первая вариация обращается в нуль, принимают форму разностного уравнения, которое в пределе переходит в дифференциальное уравнение Эйлера — Лагранжа. [c.76]

Резюме. Вариационное исчисление рассматривает виртуальное бесконечно малое изменение функции y= f(x). Вариация Ьу означает произвольное бесконечно малое изменение значения у при фиксированном значении х. Независимая переменная х не принимает участия в процессе варьирования. [c.79]

Резюме. Операция варьирования обладает двумя характерными свойствами. [c.80]

Резюме. Необходимым и достаточным условием стационарности интеграла ь [c.83]

Резюме. Если из условия стационарности определенного интеграла, содержащего не одну, а несколько неизвестных функций, требуется найти эти функции, то можно варьировать эти функции независимо друг от друга. Поэтому для каждой функции в отдельности можно написать дифференциальное уравнение Эйлера — Лагранжа. В результате получается система п дифференциальных уравнений второго порядка. Решение этой системы уравнений определяет п искомых функций, которые оказываются выраженными через независимую переменную (время t) и 2п констант интегрирования. [c.85]

Резюме. Метод неопределенных множителей Лагранжа позволяет избежать исключения лишних переменных при наличии дополнительных условий и учитывает дополнительные условия без уменьшения числа переменных. Подинтегральное выражение L заданной вариационной задачи преобразуется путем прибавления левых частей имеющихся дополнительных условий, каждое из которых умножается предварительно на множитель X. Полученная новая задача рассматривается как свободная вариационная задача. Множители Я определяются затем как функции t путем удовлетворения имеющихся дополнительных условий. [c.88]

Резюме. Вариационную задачу с неголономными дополнительными условиями нельзя привести к такому. виду, чтобы решение получилось путем приравнивания к нулю вариации какой-то определенной величины. Однако уравнения движения можно получить при помощи метода неопределенных множителей так же, как и в случае голономных условий. [c.89]

Резюме. Метод множителей Лагранжа можно обобщить на случай дополнительных условий, заданных в виде некоторого определенного интеграла, значение которого не должно меняться при варьировании. Результирующие уравнения имеют тот же вид, что и при алгебраических дополнительных условиях. Единственное различие состоит в том, что в этом случае коэффициенты к — не функции времени, а константы. [c.91]

Резюме. Принцип виртуальных перемещений требует, чтобы в состоянии равновесия равнялась нулю работа приложенных сил при любой бесконечно малой вариации конфигурации системы, при которой не нарушаются наложенные кинематические связи. Для моно-генных сил это приводит к следующему условию в состоянии равновесия потенциальная энергия должна иметь стационарное значение по отношению ко всем кинематически возможным вариациям. [c.100]

Резюме. Произвольное движение твердого тела складывается из поступательного движения и вращения. При равновесии для исключения возможности поступательного движения требуется равенство нулю суммы всех сил, а для исключения возможности вращения — равенство нулю суммы всех моментов. [c.103]

Резюме. Физический смысл метода неопределенных множителей Лагранжа заключается в том, что этот метод позволяет получить силы реакции, возникающие вследствие наличия кинематических связей. В случае голономных связей эти силы можно получить из некоторой силовой функции в случае неголономной связи такой функции не существует, однако силы реакции можно получить и в этом случае. [c.110]

Резюме. Обычная формулировка принципа виртуальных перемещений сумма всех виртуальных работ равна нулю справедлива только для обратимых перемещений. Для необратимых перемещений на границе пространства конфигураций условие равна нулю следует заменить — меньше или равна нулю . [c.111]

Резюме. Принцип Даламбера вводит новую силу, силу инерции, определенную как произведение массы на ускорение, взятое с обратным знаком. Добавив эту силу к активным силам, получим равновесие, означающее выполнение условия принципа виртуальных перемещений. Действие последнего распространяется таким образом из области статики на область динамики. [c.116]

Резюме. Если в принципе Даламбера отождествить вариации с действительными перемещениями, происходящими за время dt, то полученное уравнение можно проинтегрировать. Это приводит к закону сохранения энергии, который утверждает, что в процессе движения сумма кинетической и потенциальной энергий остается постоянной. Для справедливости этого вывода необходимо, чтобы в процессе движения массы час-тиц были постоянными, а силовая функция и заданные связи системы были склерономными, т. е. не зависели от времени. [c.120]

Резюме. Ускоренное движение системы отсчета вызывает эффект, эквивалентный появлению некоторых дополнительных внешних сил. Эти силы называются силами Даламбера или фиктивными силами , потому что они образуются вследствие движения системы отсчета и отсутствуют в абсолютной системе. Фиктивная сила, возникаюш,ая при движении системы отсчета с постоянным ускорением, аналогична однородному гравитационному полю. [c.124]

Резюме. Во вращающейся системе координат появляются фиктивные силы центробежная и кориолисова. Если к тому же скорость вращения непостоянна, то появляется третья фиктивная сила, сила Эйлера . [c.127]

Резюме. Закон, по которому движется центр масс твердого тела, может быть получен из того факта, что приложенные силы и силы Эйнштейна, действующие в системе отсчета, жестко связанной с телом, находятся в равновесии. [c.128]

Резюме. Уравнения Эйлера, описывающие величину изменения вектора угловой скорости вращения твердого тела относительно осей координат, жестко связанных с телом и направленных вдоль его главных осей инерции, могут быть интерпретированы как условия обращения в нуль результирующего момента сил следующих трех категорий сил Эйлера, центробежных сил и внешних сил. [c.130]

Резюме. При помощи вариаций особого вида Гауссу удалось преобразовать принцип Даламбера в подлинно минимальный принцип, в котором отыскивается минимум некоторой скалярной величины, названной Гауссом мерой принуждения при этом ускорения рассматриваются как переменные вариационной задачи. Будучи принципом минимума, принцип наименьшего принуждения аналогичен принципу наименьшего действия. Он проще, чем этот последний, так как не требует вариационного исчисления, поскольку отыскивается не минимум определенного интеграла, а минимум обычной функции. Большим недостатком принципа наименьшего принуждения является то, что он требует вычисления ускорений. Это, вообще говоря, приводит к гораздо более громоздким и трудоемким вычислениям. В то же время в принципе наименьшего действия все выводится- из скалярной функции, не содержащей производных выше первого порядка. [c.135]

Резюме. При помощи интегрирования по времени виртуальная работа сил инерции может быть преобразована в истинную вариацию. Таким образом, принцип Даламбера может быть математически переформулирован в принцип Гамильтона последний требует стационарности определенного интеграла, взятого по времени, от функции Лагранжа L, где L — разность между кинетической и потенциальной энергиями. Варьирование должно производиться при фиксированных граничных положениях системы (н фиксированном интервале времени). [c.140]

Глава заканчивается кратким резюме (разд. VIII), за которым следует список литературы и библиография. [c.245]

Резюме. Возможность введения произвольных координатных систем и инвариантность уравнений механики относительно преобразований координат тесно связывают аналитическую механику с идеями и методами римановой геометрии. Движение произвольной механической системы мол<ет рассматриваться как движение свободной частицы в соответствующем п-мерном пространстве с определенной римановой структурой. Кинетическая энергия системы определяет ри-манов линейный элемент пространства конфигураций. [c.46]

Резюме. При аналитическом подходе существенной величиной в механике является не сила, а работа, совершаемая действующими силами на произвольном бесконечно малом перемещении. Вариационные методы дают особенно полезные результаты в случае сил, определяемых одной скалярной величиной, силовой функцией У. Такие силы можно назвать моноген-ными . Если силовая функция не зависит от времени, мы получаем класс сил, называемых консервативными , поскольку они удовлетворяют закону сохранения энергии. В распространенном случае, когда силовая функция не зависит ни от времени, ни от скоростей, эта функция, взятая с обратным знаком, может быть интерпретирована как потенциальная энергия сила при этом является градиентом потенциальной энергии, взятым с обратным знаком. Силы, не имеющие силовой функции, тоже могут быть охарактеризованы работой, совершенной на бесконечно малом перемещении, но к ним не применима общая процедура нахождения минимума, характерная для аналитической механики. [c.53]

Резюме. Может случиться, что две основные величины механики, кинетическая энергия и силовая функция, содержат время в явном виде. Это происходит, когда некоторые из имеющихся кинематических связей зависят от времени, а также когда силовая функция есть явная функция времени (или, быть может, скоростей). Если и кинетическая энергия, и силовая функция склероно.уны, т. е. не зависят от времени, то из уравнений движения вытекает фундаментальная теорема, называемая законом сохранения энергии. Если хотя бы одна из основных величин реономна, т. е. зависит от времени, то такой закон сохранения не может быть получен. [c.56]

Резюме. Решение дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений не единственно, если не добавлено нужное количество граничных условий. Задачи, связанные с нахождением стационарного значения определенного интеграла, всегда имеют нужное число граничных условий. Если условия задачи не дают достаточного количества граничных условий, то недостаюш,ие условия получаются из самой вариационной задачи, потому что граничный член в вариации б/ добавляет некоторые естественные условия к имеющимся условиям, наложенным извне . Задача об упругом стержне с различными способами закрепления концов прекрасно иллюстрирует это положение. [c.96]

Резюме. Принцип Даламбера требует введения полигенной величины для составления виртуальной работы сил инерции поэтому он, в отличие от принципа наименьшего действия, не дает возможности использовать преимущества криволинейных координат. Однако этот принцип чрезвычайно полезен в задачах, где возможно использование кинематических переменных (неголономные скорости) и движущихся систем отсчета. [c.117]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...