Гамильтона —Якоби уравнение полный интеграл его

Движение волчка, имеющего одну неподвижную точку О, определяется углами Эйлера ф, 0 и ср. Пользуясь результатами рещения задачи 49.11, составить уравнение в частных производных Якоби — Гамильтона и найти полный интеграл его. [c.376]

Зависимость функции W от старых координат qi определяется уравнением (9.20), которое является дифференциальным уравнением в частных производных и подобно уравнению Гамильтона — Якоби (9.3). Полный интеграл его опять будет содержать п независимых постоянных, одна из которых опять будет аддитивной. Остальные постоянные 2,. .., п могут вместе с 1 быть приняты за новые постоянные импульсы. Полагая в первой половине уравнений (9.21) / = О, мы можем связать п постоянных а с начальными значениями Qi и р,-. Наконец, разрешая равенства (9.22Ь) относительно qu мы можем получить их как функции at, Pi и t, чем и заканчивается решение задачи. Следует заметить, что при i ф 1 уравнения (9.22Ь) не содержат времени. Поэтому они позволяют выразить все координаты qi [c.309]

Свободная точка единичной массы движется в вертикальной плоскости ху под действием силы тяжести. Составить дифференциальное уравнение в частных производных Якоби— Гамильтона и найти его полный интеграл (ось у направлена вертикально вверх). [c.376]

Физический маятник массы М вращается вокруг неподвижной горизонтальной оси. Момент инерции маятника относительно этой оси равен /, расстояние от центра масс маятника до оси равно I. Составить дифференциальное уравнение Якоби — Гамильтона, найти его полный интеграл и первые интегралы движения маятника (нулевой уровень потенциальной энергии взять на уровне оси маятника). [c.376]

Пример 2 (Движение стержня, опирающегося на горизонтальную плоскость и ВЕРТИКАЛЬНУЮ ось). Пусть в однородном поле тяжести движется бесконечно тонкий однородный стержень длиной 21 и массой т. Нижний конец стержня перемещается по гладкой горизонтальной плоскости, а верхний его конец на рассматриваемой стадии движения опирается на гладкую вертикальную ось 0Z (рис. 143). Найдем полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби в этой задаче. [c.366]

Точка массы т движется но гладкой сфере радиуса г в однородном ноле тяжести (сферический маятник). Составить уравнение Гамильтона-Якоби, найти его полный интеграл и получить закон движения точки в квадратурах. [c.261]

Гладкая плоскость вращается с постоянной угловой скоростью со вокруг неподвижной горизонтальной оси, лежащей в этой плоскости. В плоскости движется однородный стержень массы т и длины I. Составить уравнение Гамильтона-Якоби для относительного движения стержня и найти его полный интеграл. [c.263]

В задачах 24.32-24.35 система задается своим гамильтонианом Я(q, р, t). Подвергнуть систему такому каноническому преобразованию, чтобы в новых переменных полный интеграл соответствуюш его уравнения Гамильтона-Якоби можно было найти методом разделения переменных. Пайти этот полный интеграл и закон движения q t), p t) в исходных переменных. [c.264]

Составить уравнение Гамильтона-Якоби, найти его полный интеграл и найти движение, р 1) в квадратурах для систем, заданных в задачах 24.36-24.47 гамильтонианами. [c.264]

Составить уравнение Гамильтона-Якоби и найти его полный интеграл в квадратурах. [c.267]

Если в равенстве (4.1,72) заменить на Ри то, согласно методу Якоби, оно будет полным дифференциалом функции 5, Его интегрирование дает нам полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби, так как найденная функция 5 зависит от t, Яи Я2, , Як, 2,. .., аь- [c.319]

Полным интегралом уравнения (37.1) называют такое его решение, которое содержит столько же независимых произвольных постоянных, сколько имеется независимых переменных в этом уравнении. В уравнении Гамильтона — Якоби такими переменными являются обобщенные координаты да и время t. Поэтому полный интеграл указанного уравнения должен содержать s + 1 произвольную постоянную, если рассматриваемая система имеет s степеней свободы. При этом одна из указанных постоянных входит в полный интеграл уравнения (37.1) аддитивным образом, так как неизвестная функция действия S (д, t) входит в уравнение (37.1) только через свои производные. [c.207]

Таким образом, алгоритм решения динамической задачи, основанный на использовании уравнения (37.1), сводится к следующему ряду операций. По заданному гамильтониану системы составляют уравнение Гамильтона — Якоби (37.1) и каким-либо способом отыскивают его полный интеграл (37.3). Дифференцируя этот интеграл по произвольным постоянным а, и приравнивая частные производные новым произвольным постоянным , получают [c.208]

Содержание теоремы Якоби следует из уравнений (9.47), которые аналогично уравнениям (8.12) образуют систему уравнений, определяющую траектории. Практически это означает следующее для того чтобы получить систему уравнений, описывающих траектории, надо найти полный интеграл S уравнения Гамильтона — Якоби, продифференцировать его по независимым постоянным ак и приравнять частные производные новым постоянным Рк. [c.58]

Тем более подобные ситуации возможны при распространении метода Гамильтона — Якоби на системы с неголономными связями. Мы проиллюстрировали предложенный нами описанный способ применения метода Гамильтона — Якоби к неголономным системам на примере частного случая задачи Каратеодори — Чаплыгина, а также на примере движения без скольжения однородного шара по горизонтальной плоскости. Для данной задачи уравнение Гамильтона — Якоби было составлено в нормальных неголономных координатах, полный интеграл был найден и с его помощью выявлен один первый интеграл уравнений движения — неизменность проекции угловой скорости шара на вертикаль. Этого было достаточно для решения всей задачи в силу наличия двух дифференциальных уравнений связей, интеграла энергии и вытекавшей из элементарных соображений общей механики прямолинейности движения центра тяжести шара. Наши работы по данному вопросу получили в дальнейшем отклик. В конце сороковых годов итальянский механик Пиньедоли опубликовал статью по данному вопросу с той же методикой. В настоящее время данной проблемой занимались в своих кандидатских диссертациях молодые научные работники (Назнев X. А., Титкова С. И.). [c.8]

Приходим к теореме Якоби задача разыскания общего интеграла канонической системы уравнений (4) эквивалентна задаче построения полного интеграла уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби (6), т. е, решения его, содержащего п произвольных постоянных и удовлетворяющего условию необращения в нуль якобиана (8). Зная этот полный интеграл, находим общий интеграл канонической системы, решив составляемую по нему систему конечных уравнений (9). [c.537]

Составить уравнение Гамильтона-Якоби, онределить его полный интеграл и найти закон движения материальной точки массы т в однородном ноле тяжести а) в декартовых б) в цилиндрических координатах. [c.260]

Составить уравнение Гамильтона-Якоби, онределить его полный интеграл и найти закон движения свободной (нри отсутствии сил) точки массы т нри следующих начальных условиях ж(0) = жо, [c.260]

Составить уравнение Гамильтона-Якоби для одномерного линейного осциллятора (плоский маятник нри малых отклонениях, колебания груза на пружине, Ь(7-контур). Онределить его полный интеграл и найти закон движения. [c.260]

Составить уравнение Гамильтона-Якоби осциллятора. Онределить его полный интеграл и найти закон движения, если заданы начальные координаты и скорости. [c.260]

Составить уравнение Гамильтона-Якоби, онределить его полный интеграл и найти закон движения системы, лагранжиан которой в сферических координатах имеет вид [c.263]

Гамильтона-Якоби и найти его полный интеграл. Но полному интегралу онределить уравнение траектории частицы. [c.263]

Для системы с лагранжианом Ь = + + Р составить уравнение Гамильтона-Якоби, онределить его полный интеграл и найти закон движения в квадратурах. [c.264]

Составить уравнение Гамильтона-Якоби, онределить его полный интеграл и найти движение д( ), р 1) для систем, заданных в задачах 24.48-24.59 своими лагранжианами. [c.265]

Гамильтониан //(7, р , Ь) является однородной функцией первой степени относительно обобш енных импульсов рг. Показать, что если 8[дг,аг,1)— полный интеграл соответствуюш его уравнения Гамильтона-Якоби, то , )) тоже будет полным интегралом, где ф( ) — произвольная функция, производная которой не обраш а-ется в нуль. [c.270]

Интегрирование уравнения Гамильтоиа-Якоби. Вообще говоря, интегрирование нелинейных уравнений с частными производными первого порядка представляет очень трудную и сложную задачу. Поэтому интегрировать уравнение Гамильтона-Якоби почти никогда не удается, Только в некоторых наиболее простых случаях оказывается возможным получить полный интеграл каким-нибудь искусственным способом. Эти случаи в небесной механике немногочисленны, и характерно то, что эти же случаи могут быть исследованы и непосредственно, не прибегая к помощи теоремы Гамильтона-Якоби. Неизвестно пока ни одного случая, который допускал бы разрешение только этим методом, так что эффективность его весьма невелика. Однако с теоретической стороны он представляет большой интерес, и не исключена возможность, что в будущем метод Гамильтона-Якоби позволит решать такие задачи, которые не поддаются разрешению никакими другими методами. [c.405]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...