Интеграл уравнений полный

Допустим теперь, что мы хотим работать с точностью до величин второго порядка малости по е. Это означает, что уравнение состояния должно быть записано в форме (5-4.87), поскольку вклад второго интеграла в полное напряжение содержит члены порядка е . Функция G имеет матрицу [c.207]

Пользуясь результатами, полученными при решении предыдущей задачи, и свойствами полного интеграла уравнения Якоби — Гамильтона, найти первые интегралы уравнений движения точки. [c.376]

Полный интеграл уравнения (2.18) есть [c.187]

Полный интеграл уравнения (3.11) [c.194]

Теорема Остроградского — Якоби, на которой основывается предложенный ими метод, формулируется так если известен полный интеграл уравнения Остроградского — Якоби, то 2s независимых интегралов канонической системы уравнений (132.5) имеют следующий вид [c.382]

Зная полный интеграл уравнения (140.4), можно найти общий интеграл уравнения (140.1), который имеет следующий вид [c.385]

Тогда полный интеграл уравнения Остроградского—Якоби имеет вид [c.387]

Заметим, что если для системы уравнений (40) известен какой-либо первый интеграл, т. е. функция, которая при движении системы не изменяется, и если эта функция непрерывна в малой окрестности начала координат, положительна в ней и имеет в самом начале координат нулевое значение, то такой интеграл уравнений (40) является для этих уравнений функцией Ляпунова. Действительно, производная от такой функции, вычисленная в силу тех же уравнений (40), заведомо равна нулю. Поэтому наличие первого интеграла, удовлетворяющего указанным выше условиям, гарантирует устойчивость равновесия системы (40) (разумеется, не асимптотическую). Полная энергия консервативной системы как раз является примером интеграла такого рода. Из этого замечания сразу следует, что полная энергия консервативной системы не является единственным примером первого интеграла, который может быть использован для доказательства устойчивости. [c.234]

Любая функция S (q, a, t), обращающая уравнение (132) в тождество, зависящая от п констант а и удовлетворяющая условию (133), называется полным интегралом уравнения (132). Для наших целей достаточно найти любой полный интеграл уравнения Г амильтона — Якоби. [c.323]

Мы не будем здесь входить в детали, связанные с интегрированием уравнений в частных производных, и предположим лишь, что каким-либо образом полный интеграл уравнения (132) определен, т. е. найдена функция S (q, а, t), удовлетворяющая условию (133) н обращающая уравнение (132) в тождество. Тогда, подставляя в формулы преобразования, порожденного функцией S - S, т. е. в формулы (126), новые гамильтоновы переменные (в силу выбора Я ---=0 это константы (130)), получаем формулы преобразования в следующем виде [c.324]

В силу того, что функция S как полный интеграл уравнения (132) зависит только от < , а и t, равенства (134) определяют конечные соотношения между q, р и t, зависящие от 2п констант сб и Ру. Таким образом, равенства (134) задают в неявной форме движение в старых координатах. Они являются, следовательно, интегралами исходной системы уравнений Гамильтона ) [c.324]

Итак, мы реализовали намеченную в начале этого параграфа программу и определили движение системы, обходя интегрирование канонических уравнений Гамильтона. Правда, при этом нам понадобилось найти полный интеграл уравнения в частных производных. [c.324]

Обратим теперь внимание на следующее обстоятельство. В координатном пространстве в каждый момент нас интересует положение лишь одной движущейся в нем точки—она определяется мгновенными значениями обобщенных координат рассматриваемой системы. Между тем полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби в каждый момент определяет функцию S, заданную во всем координатном пространстве и имеющую вполне определенное значение в каждой точке этого пространства. В связи с тем, что функция S зависит также и от времени, можно представить себе ее как некоторую поверхность, заданную в координатном пространстве и непрерывно деформирующуюся (или движущуюся). Каким же образом задание функции, определенной на всем пространстве и изменяющейся во времени, может определить движение той единственной точки, которая интересует нас Как связано движение этой точки с деформирующейся поверхностью [c.324]

Предположим, что каким-либо образом удалось найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби, т. е. функцию V, зависящую от всех q н от п констант, причем последней из этих констант является a = /i. Эта функция V должна удовлетворять условию [c.333]

Уравнения (156) представляют собой в неявной форме конечные уравнения движения рассматриваемой консервативной (обобщенно консервативной) системы. Таким образом, зная полный интеграл уравнения (154), можно сразу получить уравнения движения в конечном виде. [c.333]

При изучении консервативных и обобщенно консервативных систем иногда легко найти полный интеграл уравнения в частных производных (154). Такая возможность возникает в тех случаях, когда гамильтониан Н (q, р) имеет специальный вид, допускающий разделение переменных. Будем говорить, что переменные разделяются, если полный интеграл уравнения (154) можно представить в виде [c.333]

Следовательно, полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби [c.168]

Теорема 9.4.2. (Якоби). Пусть 5(<,91,..., 9п, 1, чОп) — полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби. Тогда соотношения [c.644]

Доказательство. Поскольку 3 есть полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби, то для него [c.645]

Учтем, что 3 есть полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби [c.645]

Вернемся к задаче определения закона движения механической системы с помощью полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби. Для симметрии обозначим [c.649]

Полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби представляется в виде суммы [c.652]

Тогда полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби следует искать в виде [c.653]

Полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби примет вид [c.653]

Может ли полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби не зависеть от каких-либо координат [c.701]

Может ли полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби зависеть от постоянных, число которых меньше числа степеней свободы системы [c.701]

Покажем, что решение задачи интегрирования канонических уравнений сводится к нахождению так называемого полного интеграла уравнения (11.350). [c.356]

В полный интеграл дифференциального уравнения (11.367) войдет аддитивная постоянная, так как это уравнение не содержит функции W вне знаков частных производных. Аддитивная постоянная соответствует постоянной С в формуле (11.364). Предположим, что полный интеграл уравнения (И. 367) имеет следующий вид [c.371]

При i=0 во всех точках, где ЯФО, имеем АТ=0. В точке R=0 при /=0 имеем АГ оо. В правильности выбора постоянного множителя в уравнении (6.1) можно убедиться путем вычисления интеграла, выражающего полное количество введенной теплоты во всем объеме бесконечного тела. Это количество в любой момент времени равно Q, так как тело в данном случае не отдает теплоты в окружающее пространство. Распределение температуры при распространении теплоты от мгновенного источника теплоты, приложенного в точке О на поверхности полубес-конечного тела (рис. 6.1), аналогично (6.1) для бесконечного [c.158]

Хотя интегрнрованпе уравнения Остроградского — Якоби (139.1) в общем случае не упрон 1ает решения задачи, тем не менее, как указывалось выше, во многих случаях проще найти полный интеграл уравнения (139.1), а затем и интегралы канонической системы уравнений Гамильтона (132.5). [c.384]

P = f (<7i = Y2та — m q и полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби имеет вид [c.335]

Решение дифференциального уравнения в частных п]ю-изводных, содержащее столько произвольных постоянных, сколько имеется независимых переменных, называется полным интегралом этого уравнения. Функция ) в уравнение (6.12) входит только 1ерез свои производные. Это значит, что одна произвольная постоянная будет входить в полный интеграл в виде слагаемого, т. е. полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби имеет вид [c.155]

Так 1м образом, мы показали, что если известеи полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби, то нет необходимости интегрировать систему обыкновенных дифференциальных уравнений (6.1), т. е. задача интегрирования системы (6.1) заменяется задачей нахождения полного интеграла у1)авнения (6.12). [c.156]

Ита <, показано, что интегрирование канонических уравнений Гамильтоиа можно заменить нахождением полного интеграла уравнения Гам льто а — Якоби. В общем случае обе эти задачи обладают одинаковой трудностью, одна (о ме Отся динамическ1 е задачи, для которых 1 ахожден е П0. 0Г0 интеграла уравнения Гамильтона— Якоби оказывается более простым, чем интегрирование канонических уравнений Гамильтона. [c.158]

В следующем параграфе мы рассмотрим метод раз-делен 1 переменных, позволяющий в ряде важных случаев получить полный интеграл уравнения Гамильтоиа — Якоб . [c.158]

Как было показано в предыдущих параграфах, применение метода разделения переменных позволяет получить полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби. Однако этот меуод не всегда применим. Поэтому естественно заранее выяснить, при каком виде гамильтоновой функции (или отдельно кинетической и потенциальной энергий) возможно применение метода разде- [c.166]

Метод получения полного интеграла уравнений в частных производных первого порядка, состоящий в последовательном применении теоремы 9.4.3, называется методом Имшенецкого разделения переменных. Рассмотрим несколько примеров на применение этого метода. [c.651]

Полным интегралом уравнения в частных производных первого порядка называется функция, которая удовлетворяет этому уравнению и имеет в своем еоставе такое количество независимых постоянных интегрирования, которое равно количеству независимых переменных, от которых зависит искомая функция. Полный интеграл уравнения (11.350) имеет следующий вид [c.356]

Аргументы t, <71, <72,. .., ( ы — независимые переменные, входящие в уравнение (11.350). Переменные Qu Q2, QN можно рассматривать как постоянные интегрирования. Действительно, функция У, определенная равенством (П.351Ь), должна удовлетворять уравнению (II. 350) при произвольных значениях переменных Q , С 2, , так же, как полный интеграл уравнения в частных производных удовлетворяет этому уравнению при произвольных значениях постоянных интегрирования. [c.357]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...